Ichki mahsulot - Interior product

Yilda matematika, ichki mahsulot (shuningdek, nomi bilan tanilgan ichki lotin, ichki ko'paytirish, ichki ko'paytirish, ichki lotin, qo'shish operatori, yoki ichki hosila) a daraja −1 (qarshi) hosila ustida tashqi algebra ning differentsial shakllar a silliq manifold. Qarama-qarshi nomlangan ichki mahsulot tashqi mahsulot, bilan aralashtirmaslik kerak ichki mahsulot. Ichki mahsulot i_Xω ba'zan sifatida yoziladi X ⨼ ω.^[1]

Ta'rif

Ichki mahsulot quyidagicha aniqlangan qisqarish a differentsial shakl bilan vektor maydoni. Shunday qilib, agar X bu vektor maydonidir ko'p qirrali M, keyin

${ displaystyle iota _ {X} colon Omega ^ {p} (M) to Omega ^ {p-1} (M)}$

bo'ladi xarita yuboradigan a p-form ω uchun (p−1) -form i_Xω xususiyati bilan belgilanadi

${ displaystyle ( iota _ {X} omega) (X_ {1}, ldots, X_ {p-1}) = omega (X, X_ {1}, ldots, X_ {p-1}) }$

har qanday vektor maydonlari uchun X₁, ..., X_p−1.

Ichki mahsulot noyobdir antiderivatsiya −1 daraja tashqi algebra shunday qilib, bir shakllarda a

${ displaystyle displaystyle iota _ {X} alpha = alpha (X) = langle alfa, X rangle}$,

qayerda ⟨ , ⟩ bo'ladi ikkilik juftligi o'rtasida a va vektor X. Agar aniq bo'lsa β a p-form, keyin

${ displaystyle iota _ {X} ( beta wedge gamma) = ( iota _ {X} beta) wedge gamma + (- 1) ^ {p} beta wedge ( iota _ { X} gamma).}$

Yuqoridagi munosabat, interyer mahsuloti bahoga bo'ysunishini aytadi Leybnits qoidasi. Lineerlik va Leybnits qoidasini qondiradigan operatsiya hosila deyiladi.

Xususiyatlari

Shakllarning antisimmetriyasi bo'yicha,

${ displaystyle iota _ {X} iota _ {Y} omega = - iota _ {Y} iota _ {X} omega}$

va hokazo ${ displaystyle iota _ {X} circ iota _ {X} = 0}$. Bu bilan solishtirish mumkin tashqi hosila d, mulkka ega bo'lgan d ∘ d = 0.

Ichki mahsulot bu bilan bog'liq tashqi hosila va Yolg'on lotin tomonidan differentsial shakllarning Kartan formulasi (a.k.a.) Kartan identifikatori, Kartan homotopiya formulasi^[2] yoki Karton sehrli formulasi):

${ displaystyle { mathcal {L}} _ {X} omega = d ( iota _ {X} omega) + iota _ {X} d omega = left {d, iota _ {X } o'ng } omega.}$

Ushbu o'ziga xoslik tashqi va ichki hosilalar o'rtasidagi ikkilikni belgilaydi. Kartanning o'ziga xosligi muhim ahamiyatga ega simpektik geometriya va umumiy nisbiylik: qarang moment xaritasi.^[3] Cartan homotopiya formulasi nomi berilgan Élie Cartan.^[4]

Ikki vektorli maydonlarning komutatoriga nisbatan ichki mahsulot ${ displaystyle X}$, ${ displaystyle Y}$ o'ziga xosligini qondiradi

${ displaystyle iota _ {[X, Y]} = chap [{ mathcal {L}} _ {X}, iota _ {Y} o'ng].}$

Shuningdek qarang

• Qopqoq mahsulot
• Ichki mahsulot
• Tensorning qisqarishi

Izohlar

Adabiyotlar

• Teodor Frankel, Fizika geometriyasi: kirish; Kembrij universiteti matbuoti, 3-nashr. 2011 yil
• Loring W. Tu, Manifoldlarga kirish, 2e, Springer. 2011 yil. doi:10.1007/978-1-4419-7400-6