Jefferi – Xemel oqimi - Jeffery–Hamel flow

Yilda suyuqlik dinamikasi Jeffri - Xemel oqimi ikki tekislik devorining kesishish nuqtasida suyuqlik hajmining manbai yoki cho'kmasi bilan birlashuvchi yoki ajralib turuvchi kanal tomonidan hosil bo'lgan oqimdir. Uning nomi berilgan Jorj Barker Jeferi (1915)^[1] va Jorj Xemel (1917),^[2] kabi keyinchalik ko'plab yirik olimlar tomonidan o'rganilgan fon Karman va Levi-Civita,^[3] Valter Tollmien,^[4] F. Noether,^[5] Dekan,^[6] Rozenxed,^[7] Landau,^[8] G.K. Batchelor^[9] va boshqalar. To'liq echimlar to'plami tomonidan tavsiflangan Edvard Fraenkel 1962 yilda.^[10]

Oqim tavsifi

Doimiy hajmli oqim tezligiga ega bo'lgan ikkita harakatsiz tekis devorlarni ko'rib chiqing ${ displaystyle Q}$ tekis devorlarning kesishish nuqtasida AOK qilinadi / so'riladi va ikkita devorga burchakka bo'lsin ${ displaystyle 2 alfa}$. Silindrsimon koordinatani oling ${ displaystyle (r, theta, z)}$ bilan tizim ${ displaystyle r = 0}$ kesishish nuqtasini ifodalovchi va ${ displaystyle theta = 0}$ markaziy chiziq va ${ displaystyle (u, v, w)}$ mos keladigan tezlik komponentlari. Olingan oqim, agar plitalar eksenelda cheksiz uzun bo'lsa, ikki o'lchovli bo'ladi ${ displaystyle z}$ yo'nalish yoki plitalar uzunroq, ammo cheklangan, agar chekka effektlarni e'tiborsiz qoldirgan bo'lsa va shu sababli oqimni butunlay radial deb hisoblash mumkin bo'lsa, ya'ni ${ displaystyle u = u (r, theta), v = 0, w = 0}$.

Keyin uzluksizlik tenglamasi va siqilmaydi Navier - Stoks tenglamalari ga kamaytirish

${ displaystyle { begin {aligned} { frac { kısalt (ru)} { qismli r}} & = 0, [6pt] u { frac { qismli u} { qismli r}} va = - { frac {1} { rho}} { frac { qismli p} { qisman r}} + nu chap [{ frac {1} {r}} { frac { qismli} { r r}} chap (r { frac { qisman u} { qisman r}} o'ng) + { frac {1} {r ^ {2}}} { frac { qismli ^ { 2} u} { kısmi teta ^ {2}}} - { frac {u} {r ^ {2}}} o'ng] [6pt] 0 & = - { frac {1} { rho r}} { frac { qismli p} { qisman teta}} + { frac {2 nu} {r ^ {2}}} { frac { qisman u} { qisman teta}} end {hizalangan}}}$

Chegara shartlari toymasin holat ikkala devorda va uchinchi shart, kesishish nuqtasida AOK qilingan / so'rilgan hajm oqimi har qanday radiusda sirt bo'ylab doimiy bo'lishidan kelib chiqadi.

${ displaystyle u ( pm alpha) = 0, quad Q = int _ {- alfa} ^ { alfa} ur , d theta}$

Formulyatsiya

Birinchi tenglama buni aytadi ${ displaystyle ru}$ faqat funktsiyasidir ${ displaystyle theta}$, funktsiyasi quyidagicha aniqlanadi

${ displaystyle F ( theta) = { frac {ru} { nu}}.}$

Turli mualliflar funktsiyani turlicha belgilaydilar, masalan, Landau^[8] funktsiyani omil bilan belgilaydi ${ displaystyle 6}$. Ammo quyidagi Whitham,^[11] Rozenxed^[12] The ${ displaystyle theta}$ momentum tenglamasi bo'ladi

${ displaystyle { frac {1} { rho}} { frac { qismli p} { qismli theta}} = { frac {2 nu ^ {2}} {r ^ {2}}} { frac {dF} {d theta}}}$

Endi ruxsat beraman

${ displaystyle { frac {p-p _ { infty}} { rho}} = { frac { nu ^ {2}} {r ^ {2}}} P ( theta),}$

The ${ displaystyle r}$ va ${ displaystyle theta}$ momentum tenglamalari ga kamayadi

${ displaystyle P = - { frac {1} {2}} (F ^ {2} + F '')}$

${ displaystyle P '= 2F', quad Rightarrow quad P = 2F + C}$

va buni avvalgi tenglamaga almashtirish (bosimni yo'qotish uchun) natijalarga olib keladi

${ displaystyle F '' + F ^ {2} + 4F + 2C = 0}$

Ko'paytirish ${ displaystyle F '}$ va bir marta integratsiya qilish,

${ displaystyle { frac {1} {2}} F '^ {2} + { frac {1} {3}} F ^ {3} + 2F ^ {2} + 2CF = D,}$

${ displaystyle { frac {1} {2}} F '^ {2} + { frac {1} {3}} (F ^ {3} + 6F ^ {2} + 6CF-3D) = 0}$

qayerda ${ displaystyle C, D}$ chegara shartlaridan aniqlanadigan konstantalardir. Yuqoridagi tenglamani yana uchta doimiy bilan qulay tarzda qayta yozish mumkin ${ displaystyle a, b, c}$ kubik polinomning ildizlari sifatida, faqat ikkita konstantasi o'zboshimchalik bilan bo'lsa, uchinchi doimiy har doim qolgan ikkitasidan olinadi, chunki ildizlarning yig'indisi ${ displaystyle a + b + c = -6}$.

${ displaystyle { frac {1} {2}} F '^ {2} + { frac {1} {3}} (F-a) (F-b) (F-c) = 0,}$

${ displaystyle { frac {1} {2}} F '^ {2} - { frac {1} {3}} (a-F) (F-b) (F-c) = 0.}$

Chegaraviy shartlar gacha kamayadi

${ displaystyle F ( pm alpha) = 0, quad { frac {Q} { nu}} = int _ {- alpha} ^ { alpha} F , d theta}$

qayerda ${ displaystyle Re = Q / nu}$ mos keladi Reynolds raqami. Yechimni quyidagicha ifodalash mumkin elliptik funktsiyalar. Konvergent oqim uchun ${ displaystyle Q <0}$, echim hamma uchun mavjud ${ displaystyle Re}$, lekin divergent oqim uchun ${ displaystyle Q> 0}$, echim faqat ma'lum bir qator uchun mavjud ${ displaystyle Re}$.

Dinamik talqin^[13]

Tenglama o'chirilmagan chiziqsiz osilator bilan bir xil shaklga ega (kubik potentsialga ega) ${ displaystyle theta}$ bu vaqt, ${ displaystyle F}$ bu ko'chirish va ${ displaystyle F '}$ bu tezlik massasi birligi bo'lgan zarrachaning, keyin tenglama energiya tenglamasini ifodalaydi (${ displaystyle K.E. + P.E. = 0}$, qayerda ${ displaystyle K.E. = { frac {1} {2}} F '^ {2}}$ va ${ displaystyle P.E. = V (F)}$ ) nol umumiy energiya bilan, unda potentsial energiya ekanligini ko'rish oson

${ displaystyle V (F) = - { frac {1} {3}} (a-F) (F-b) (F-c)}$

qayerda ${ displaystyle V leq 0}$ harakatda. Chunki zarracha boshlanadi ${ displaystyle F = 0}$ uchun ${ displaystyle theta = - alfa}$ va tugaydi ${ displaystyle F = 0}$ uchun ${ displaystyle theta = alfa}$, ko'rib chiqilishi kerak bo'lgan ikkita holat mavjud.

• Birinchi holat ${ displaystyle b, c}$ murakkab konjugatlar va ${ displaystyle a> 0}$. Zarracha boshlanadi ${ displaystyle F = 0}$ cheklangan ijobiy tezlik bilan va erishadi ${ displaystyle F = a}$ uning tezligi qaerda ${ displaystyle F '= 0}$ va tezlashtirish bu ${ displaystyle F '' = - dV / dF <0}$ va qaytadi ${ displaystyle F = 0}$ finalda vaqt. Zarrachalar harakati ${ displaystyle 0$ sof chiqib ketish harakatini anglatadi, chunki ${ displaystyle F> 0}$ shuningdek, u nosimmetrikdir ${ displaystyle theta = 0}$.
• Ikkinchi holat ${ displaystyle c$, barcha doimiylar haqiqiydir. Dan harakat ${ displaystyle F = 0}$ ga ${ displaystyle F = a}$ ga ${ displaystyle F = 0}$ oldingi holatdagi kabi sof nosimmetrik chiqishni anglatadi. Va harakat ${ displaystyle F = 0}$ ga ${ displaystyle F = b}$ ga ${ displaystyle F = 0}$ bilan ${ displaystyle F <0}$ hamma vaqt uchun (${ displaystyle - alpha leq theta leq alpha}$) sof nosimmetrik kirishni anglatadi. Bundan tashqari, zarracha o'rtasida tebranishi mumkin ${ displaystyle b leq F leq a}$, kirish va chiqish mintaqalarini ifodalovchi oqim endi simmetrik bo'lishi shart emas ${ displaystyle theta = 0}$.

Ushbu dinamik talqinning boy tuzilishini topish mumkin Rozenxed (1940).^[7]

Sof oqim

Sof chiqishi uchun, beri ${ displaystyle F = a}$ da ${ displaystyle theta = 0}$, boshqaruv tenglamasining integratsiyasi beradi

${ displaystyle theta = { sqrt { frac {3} {2}}} int _ {F} ^ {a} { frac {dF} { sqrt {(aF) (Fb) (Fc)) }}}}$

va chegara shartlari bo'ladi

${ displaystyle alpha = { sqrt { frac {3} {2}}} int _ {0} ^ {a} { frac {dF} { sqrt {(aF) (Fb) (Fc)) }}}, quad Re = 2 { sqrt { frac {3} {2}}} int _ {0} ^ { alpha} { frac {FdF} { sqrt {(aF) (Fb) (Fc))}}}.}$

Tenglamalarni misol uchun berilgan standart transformatsiyalar yordamida soddalashtirish mumkin Jeffriis.^[14]

• Birinchi holat ${ displaystyle b, c}$ murakkab konjugatlar va ${ displaystyle a> 0}$ olib keladi

${ displaystyle F ( theta) = a - { frac {3M ^ {2}} {2}} { frac {1- operatorname {cn} (M theta, kappa)} {1+ operatorname {cn} (M theta, kappa)}}}$

${ displaystyle M ^ {2} = { frac {2} {3}} { sqrt {(ab) (ac)}}, quad kappa ^ {2} = { frac {1} {2} } + { frac {a + 2} {2M ^ {2}}}}$

qayerda ${ displaystyle operatorname {sn}, operatorname {cn}}$ bor Jakobi elliptik funktsiyalari.

• Ikkinchi holat ${ displaystyle c$ olib keladi

${ displaystyle F ( theta) = a-6k ^ {2} m ^ {2} operatorname {sn} ^ {2} (m theta, k)}$

${ displaystyle m ^ {2} = { frac {1} {6}} (a-c), quad k ^ {2} = { frac {a-c} {a-c}}.}$

Cheklash shakli

Cheklash sharti, qachon chiqib ketishning mumkin emasligini ta'kidlash orqali olinadi ${ displaystyle F '( pm alpha) = 0}$, bu shuni anglatadiki ${ displaystyle b = 0}$ boshqaruv tenglamasidan. Shunday qilib, ushbu muhim shartlardan tashqari, hech qanday echim yo'q. Muhim burchak ${ displaystyle alpha _ {c}}$ tomonidan berilgan

${ displaystyle { begin {aligned} alpha _ {c} & = { sqrt { frac {3} {2}}} int _ {0} ^ {a} { frac {dF} { sqrt {F (aF) (F + a + 6))}}}, & = { sqrt { frac {3} {2a}}} int _ {0} ^ {1} { frac {dt } { sqrt {t (1-t) {1+ (1 + 6 / a) t }}}}, & = { frac {K (k ^ {2})} {m ^ { 2}}} end {hizalangan}}}$

qayerda

${ displaystyle m ^ {2} = { frac {3 + a} {3}}, quad k ^ {2} = { frac {1} {2}} chap ({ frac {a} {) 3 + a}} o'ng)}$

qayerda ${ displaystyle K (k ^ {2})}$ bo'ladi birinchi turdagi to'liq elliptik integral. Ning katta qiymatlari uchun ${ displaystyle a}$, muhim burchakka aylanadi ${ displaystyle alpha _ {c} = { sqrt { frac {3} {a}}} K chap ({ frac {1} {2}} right) = { frac {3.211} { sqrt {a}}}}$.

Tegishli tanqidiy Reynolds raqami yoki hajm oqimi tomonidan berilgan

${ displaystyle { begin {aligned} Re_ {c} = { frac {Q_ {c}} { nu}} & = 2 int _ {0} ^ { alpha _ {c}} (a-6k ^ {2} m ^ {2} operator nomi {sn} ^ {2} m theta) , d theta, & = { frac {12k ^ {2}} { sqrt {1-2k ^ {2}}}} int _ {0} ^ {K} operator nomi {cn} ^ {2} tdt, & = { frac {12} { sqrt {1-2k ^ {2}}} } [E (k ^ {2}) - (1-k ^ {2}) K (k ^ {2})] end {hizalanmış}}}$

qayerda ${ displaystyle E (k ^ {2})}$ bo'ladi ikkinchi turdagi to'liq elliptik integral. Ning katta qiymatlari uchun ${ displaystyle a, chap ( k ^ {2} sim { frac {1} {2}} - { frac {3} {2a}} o'ng)}$, muhim Reynolds soni yoki hajmi oqimi bo'ladi ${ displaystyle Re_ {c} = { frac {Q_ {c}} { nu}} = 12 { sqrt { frac {a} {3}}} chap [E chap ({ frac {1) } {2}} o'ng) - { frac {1} {2}} K chap ({ frac {1} {2}} o'ng) o'ng] = 2.934 { sqrt {a}}}$.

Sof oqim

Sof oqim uchun yopiq eritma tomonidan beriladi

${ displaystyle theta = { sqrt { frac {3} {2}}} int _ {b} ^ {F} { frac {dF} { sqrt {(aF) (Fb) (Fc)) }}}}$

va chegara shartlari bo'ladi

${ displaystyle alpha = { sqrt { frac {3} {2}}} int _ {b} ^ {0} { frac {dF} { sqrt {(aF) (Fb) (Fc)) }}}, quad Re = 2 { sqrt { frac {3} {2}}} int _ { alpha} ^ {0} { frac {FdF} { sqrt {(aF) (Fb) (Fc))}}}.}$

Sof doimiy oqim faqatgina barcha doimiylar haqiqiy bo'lganda mumkin ${ displaystyle c$ va yechim tomonidan berilgan

${ displaystyle F ( theta) = a-6k ^ {2} m ^ {2} operatorname {sn} ^ {2} (Km theta, k) = b + 6k ^ {2} m ^ {2} operatorname {cn} ^ {2} (Km theta, k)}$

${ displaystyle m ^ {2} = { frac {1} {6}} (a-c), quad k ^ {2} = { frac {a-c} {a-c}}}$

qayerda ${ displaystyle K (k ^ {2})}$ bo'ladi birinchi turdagi to'liq elliptik integral.

Cheklash shakli

Reynolds soni oshgani sayin (${ displaystyle -b}$ kattalashadi), oqim bir xil bo'lishga intiladi (shunday qilib yaqinlashadi) potentsial oqim eritma), devorlar yaqinidagi chegara qatlamlari bundan mustasno. Beri ${ displaystyle m}$ katta va ${ displaystyle alpha}$ berilgan, echimidan ko'rinib turibdiki ${ displaystyle K}$ shuning uchun katta bo'lishi kerak ${ displaystyle k sim 1}$. Ammo qachon ${ displaystyle k taxminan 1}$, ${ displaystyle operatorname {sn} t approx tanh t, c approx b, a approx -2b}$, hal bo'ladi

${ displaystyle F ( theta) = b left {3 tanh ^ {2} left [{ sqrt {- { frac {b} {2}}}} ( alfa - theta) + tanh ^ {- 1} { sqrt { frac {2} {3}}} o'ng] -2 o'ng }.}$

Bu aniq ${ displaystyle F taxminan b}$ qalinlikning chegara qatlamidan tashqari hamma joyda ${ displaystyle O chap ({ sqrt {- { frac {b} {2}}}} o'ng)}$. Ovoz oqimi ${ displaystyle Q / nu taxminan 2 alfa b}$ Shuning uchun; ... uchun; ... natijasida ${ displaystyle | Re | = O (| b |)}$ va chegara qatlamlari klassik qalinlikka ega ${ displaystyle O chap (| Qayta | ^ {1/2} o'ng)}$.

Adabiyotlar

1. ^ Jefferi, G. B. "L. yopishqoq suyuqlikning ikki o'lchovli barqaror harakati". London, Edinburg va Dublin falsafiy jurnali va Journal of Science 29.172 (1915): 455-465.
2. ^ Xemel, Georg. "Spiralförmige Bewegungen zäher Flüssigkeiten." Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 25 (1917): 34-60.
3. ^ fon Karman va Levi-Civita. "Vorträge aus dem Gebiete der Hydro-und Aerodynamik." (1922)
4. ^ Valter Tollmien "Handbuch der Experimentalphysik, 4-jild." (1931): 257.
5. ^ Fritz Noether "Handbuch der physikalischen und technischen Mechanik, 5-jild." Leypsig, JA Barch (1931): 733.
6. ^ Dean, W. R. "LXXII. Suyuqlikning turlicha oqimi to'g'risida eslatma." London, Edinburg va Dublin falsafiy jurnali va Journal of Science 18.121 (1934): 759–777.
7. ^ ^{a b} Lui Rozenxed "Ikki moyil tekislik devorlari orasidagi yopishqoq suyuqlikning barqaror ikki o'lchovli radial oqimi." London Qirollik jamiyati materiallari: matematik, fizika va muhandislik fanlari. Vol. 175. No 963. Qirollik jamiyati, 1940 yil.
8. ^ ^{a b} Lev Landau va E. M. Lifshits. "Suyuqlik mexanikasi pergamoni". Nyu-York 61 (1959).
9. ^ G.K. Batchelor. Suyuqlik dinamikasiga kirish. Kembrij universiteti matbuoti, 2000 yil.
10. ^ Fraenkel, L. E. (1962). Bir oz egri devorlari bo'lgan nosimmetrik kanallarda laminar oqim, I. tekislik devorlari orasidagi oqim uchun Jeffery-Hamel eritmalarida. London Qirollik jamiyati materiallari. Matematika va fizika fanlari seriyasi, 267 (1328), 119-138.
11. ^ Whitham, G. B. "Laminar chegara qatlamlarida III bob." (1963): 122.
12. ^ Rozenxed, Lui, ed. Laminar chegara qatlamlari. Clarendon Press, 1963 yil.
13. ^ Drazin, Filipp G. va Norman Riley. Navier-Stoks tenglamalari: oqimlar tasnifi va aniq echimlar. № 334. Kembrij universiteti matbuoti, 2006 y.
14. ^ Jeffreys, Xarold, Berta Svirles va Filipp M. Morz. "Matematik fizika usullari". (1956): 32-34.