Kalman – Yakubovich – Popov lemmasi - Kalman–Yakubovich–Popov lemma

The Kalman – Yakubovich – Popov lemmasi natijasi tizim tahlili va boshqaruv nazariyasi qaysi: Raqam berilgan ${displaystyle gamma> 0}$ , ikkita n-vektor B, C va an n x n Xurvits matritsasi A, agar juftlik bo'lsa ${displaystyle (A, B)}$ to'liq boshqariladigan, keyin nosimmetrik matritsa P va qondiruvchi Q vektor

{displaystyle A ^ {T} P + PA = -QQ ^ {T}}

{displaystyle PB-C = {sqrt {gamma}} Q}

mavjud bo'lsa va mavjud bo'lsa

{displaystyle gamma + 2Re [C ^ {T} (jomega I-A) ^ {- 1} B] geq 0}

Bundan tashqari, to'plam ${displaystyle {x: x ^ {T} Px = 0}}$ juftlik uchun kuzatib bo'lmaydigan pastki bo'shliqdir ${displaystyle (C, A)}$ .

Lemma-ni umumlashtirish sifatida ko'rish mumkin Lyapunov tenglamasi barqarorlik nazariyasida. Bu $ a $ o'rtasidagi munosabatni o'rnatadi chiziqli matritsa tengsizligi bilan bog'liq davlat maydoni A, B, C va ichida shartni tuzadi chastota domeni.

Birinchi marta 1962 yilda tuzilgan va isbotlangan Kalman-Popov-Yakubovich lemmasi Vladimir Andreevich Yakubovich^[1] bu erda qat'iy chastota tengsizligi uchun aytilgan. Qat'iy bo'lmagan chastota tengsizligi to'g'risidagi ish e'lon qilindi 1963 yilda Rudolf E. Kalman tomonidan.^[2] Ushbu maqolada Lure tenglamalarining echiluvchanligi bilan bog'liqligi ham o'rnatildi. Ikkala hujjat ham skaler tizimlarni hisobga olgan. Nazoratning o'lchovliligi cheklovi 1964 yilda Gantmaxer va Yakubovich tomonidan olib tashlandi^[3] va mustaqil ravishda Vasile Mixay Popov.^[4] Mavzuni keng ko'lamli ko'rib chiqishda topishingiz mumkin.^[5]

Ko'p o'zgaruvchan Kalman-Yakubovich-Popov lemmasi

Berilgan ${displaystyle Ain mathbb {R} ^ {n imes n}, Bin mathbb {R} ^ {n imes m}, M = M ^ {T} in mathbb {R} ^ {(n + m) imes (n + m) )}}$ bilan ${displaystyle det (jomega I-A) eq 0}$ Barcha uchun ${displaystyle omega in mathbb {R}}$ va ${displaystyle (A, B)}$ boshqariladigan, quyidagilar teng:

Barcha uchun ${displaystyle omega in mathbb {R} stakan {infty}}$
${displaystyle left [{egin {matrix} (jomega IA) ^ {- 1} B Iend {matrix}} ight] ^ {*} Mleft [{egin {matrix} (jomega IA) ^ {- 1} B Iend {matrix}} ight] leq 0}$
matritsa mavjud ${displaystyle Pin mathbb {R} ^ {n imes n}}$ shu kabi ${displaystyle P = P ^ {T}}$ va
${displaystyle M + chap [{egin {matrix} A ^ {T} P + PA & PB B ^ {T} P & 0end {matrix}} ight] leq 0.}$

Qattiq tengsizliklar uchun mos keladigan ekvivalentlik, agar shunday bo'lsa ham bo'ladi ${displaystyle (A, B)}$ nazorat qilinmaydi. ^[6]

Adabiyotlar

^ Yakubovich, Vladimir Andreevich (1962). "Avtomatik boshqarish nazariyasidagi ma'lum bir matritsa tengsizligining echimi". Dokl. Akad. Nauk SSSR. 143 (6): 1304–1307.
^ Kalman, Rudolf E. (1963). "Lyapunov Lur'e muammosini avtomatik boshqarishda ishlaydi" (PDF). Milliy fanlar akademiyasi materiallari. 49 (2): 201–205. Bibcode:1963 yil PNAS ... 49..201K. doi:10.1073 / pnas.49.2.201. PMC 299777. PMID 16591048.
^ Gantmaker, F.R. va Yakubovich, V.A. (1964). Lineer bo'lmagan boshqariladigan tizimlarning mutlaq barqarorligi, Proc. II Butunittifoq Konf. Nazariy amaliy mexanika. Moskva: Nauka.CS1 maint: bir nechta ism: mualliflar ro'yxati (havola)
^ Popov, Vasile M. (1964). "Bir nechta boshqarish funktsiyalari bilan avtomatik tizimlarning giperstabilligi va maqbulligi". Ruhoniy Sci. Texnik. 9 (4): 629–890.
^ Gusev S. V. va Likhtarnikov A. L. (2006). "Kalman-Popov-Yakubovich lemma va S-protsedura: tarixiy insho". Avtomatlashtirish va masofadan boshqarish. 67 (11): 1768–1810. doi:10.1134 / s000511790611004x.
^ Anders Rantzer (1996). "Kalman-Yakubovich-Popov lemmasida". Tizimlar va boshqaruv xatlari. 28 (1): 7–10. doi:10.1016/0167-6911(95)00063-1.

B. Brogliato, R. Lozano, M. Maschke, O. Egeland, Dissipativ tizimlarni tahlil qilish va boshqarish, Springer Nature Switzerland AG, 3rd Edition, 2020 (3-bob, s.81-262), ISBN 978-3-030-19419-2

[1] Yakubovich, Vladimir Andreevich (1962). "Avtomatik boshqarish nazariyasidagi ma'lum bir matritsa tengsizligining echimi". Dokl. Akad. Nauk SSSR. 143 (6): 1304–1307.

[Kalman1963-2] Kalman, Rudolf E. (1963). "Lyapunov Lur'e muammosini avtomatik boshqarishda ishlaydi" (PDF). Milliy fanlar akademiyasi materiallari. 49 (2): 201–205. Bibcode:1963 yil PNAS ... 49..201K. doi:10.1073 / pnas.49.2.201. PMC 299777. PMID 16591048.

[3] Gantmaker, F.R. va Yakubovich, V.A. (1964). Lineer bo'lmagan boshqariladigan tizimlarning mutlaq barqarorligi, Proc. II Butunittifoq Konf. Nazariy amaliy mexanika. Moskva: Nauka.CS1 maint: bir nechta ism: mualliflar ro'yxati (havola)

[4] Popov, Vasile M. (1964). "Bir nechta boshqarish funktsiyalari bilan avtomatik tizimlarning giperstabilligi va maqbulligi". Ruhoniy Sci. Texnik. 9 (4): 629–890.

[5] Gusev S. V. va Likhtarnikov A. L. (2006). "Kalman-Popov-Yakubovich lemma va S-protsedura: tarixiy insho". Avtomatlashtirish va masofadan boshqarish. 67 (11): 1768–1810. doi:10.1134 / s000511790611004x.

[Rantzer1996-6] Anders Rantzer (1996). "Kalman-Yakubovich-Popov lemmasida". Tizimlar va boshqaruv xatlari. 28 (1): 7–10. doi:10.1016/0167-6911(95)00063-1.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]