Kaplanskiy zichligi teoremasi - Kaplansky density theorem

Nazariyasida fon Neyman algebralari, Kaplanskiy zichligi teoremasi, sababli Irving Kaplanskiy, fundamental taxminiy teorema. Ushbu texnik vositaning ahamiyati va keng tarqalishi olib keldi Gert Pedersen uning kitoblaridan biriga izoh berish^[1] bu,

Zichlik teoremasi - Kaplanskiyning insoniyat uchun buyuk sovg'asi. Uni har kuni, yakshanba kunlari esa ikki marta ishlatish mumkin.

Rasmiy bayonot

Ruxsat bering K⁻ ni belgilang kuchli operatorni yopish to'plamning K yilda B (H), Hilbert fazosidagi chegaralangan operatorlar to'plami Hva ruxsat bering (K)₁ ning kesishishini belgilang K ning to'pi bilan B (H).

Kaplanskiy zichligi teoremasi.^[2] Agar ${ displaystyle A}$ da operatorlarning o'z-o'zidan bog'langan algebrasi ${ displaystyle B (H)}$, keyin har bir element ${ displaystyle a}$ ning kuchli operatori yopilishining birlik to'pida ${ displaystyle A}$ ning to'pi kuchli operatorning yopilishida ${ displaystyle A}$. Boshqa so'zlar bilan aytganda, ${ displaystyle (A) _ {1} ^ {-} = (A ^ {-}) _ {1}}$. Agar ${ displaystyle h}$ o'z-o'zidan bog'langan operator ${ displaystyle (A ^ {-}) _ {1}}$, keyin ${ displaystyle h}$ o'z-o'ziga qo'shilgan operatorlar to'plamining kuchli operatori yopilishida ${ displaystyle (A) _ {1}}$.

Kaplanskiy zichligi teoremasidan ga nisbatan ba'zi taxminlarni shakllantirish uchun foydalanish mumkin kuchli operator topologiyasi.

1) agar h ijobiy operator bu (A⁻)₁, keyin h o'z-o'ziga qo'shilgan operatorlar to'plamining kuchli operatori yopilishida (A⁺)₁, qayerda A⁺ ichida ijobiy operatorlar to'plamini bildiradi A.

2) agar A a C * - algebra Hilbert fazosida harakat qilish H va siz A da unitar operator hisoblanadi⁻, keyin siz unitar operatorlar to'plamining kuchli operatori yopilishida A.

Yuqoridagi zichlik teoremasida va 1) radiusli to'pni hisobga olsak, natijalar ham saqlanib qoladi r > 0, birlik to'pi o'rniga.

Isbot

Oddiy dalil, haqiqatan ham cheklangan doimiy real qiymat funktsiyasidan foydalanadi f kuchli operator doimiy. Boshqacha qilib aytganda, tarmoq uchun {a_a} ning o'z-o'zidan bog'langan operatorlar yilda A, doimiy funktsional hisob a → f(a) qondiradi,

${ displaystyle lim f (a _ { alfa}) = f ( lim a _ { alfa})}$

ichida kuchli operator topologiyasi. Bu shuni ko'rsatadiki, birlik to'pining o'ziga biriktirilgan qismi A⁻ o'z-o'zidan bog'langan elementlar tomonidan kuchli ravishda taxmin qilinishi mumkin A. Matritsani hisoblash M₂(A) yozuvlarni o'z-o'ziga bog'laydigan operatorni ko'rib chiqish 0 diagonalda va a va a^* boshqa pozitsiyalarda, keyin o'z-o'ziga qo'shilish cheklovini olib tashlaydi va teoremani isbotlaydi.

Shuningdek qarang

• Jeykobson zichligi teoremasi

Izohlar

Adabiyotlar

• Kadison, Richard, Operator algebralari nazariyasining asoslari, jild. Men: Boshlang'ich nazariya, Amerika matematik jamiyati. ISBN  978-0821808191.
• V.F.R.Jones fon Neyman algebralari; kursdan to'liq bo'lmagan yozuvlar.
• M. Takesaki Operator algebralari I nazariyasi ISBN  3-540-42248-X