Koenigs funktsiyasi - Koenigs function

Yilda matematika, Koenigs funktsiyasi da paydo bo'lgan funktsiya kompleks tahlil va dinamik tizimlar. 1884 yilda frantsuz matematikasi tomonidan kiritilgan Gabriel Koenigs, a ning kengayishi sifatida kanonik tasvirni beradi bir xil holomorfik xaritalash yoki a yarim guruh xaritalari, ning birlik disk ichida murakkab sonlar o'zida.

Koenigs funktsiyasining mavjudligi va o'ziga xosligi

Ruxsat bering D. bo'lishi birlik disk murakkab sonlarda. Ruxsat bering f bo'lishi a holomorfik funktsiya xaritalash D. o'z ichiga, 0 nuqtasini o'rnatib, bilan f bir xil emas 0 va f ning avtomorfizmi emas D., ya'ni a Mobiusning o'zgarishi SU (1,1) da matritsa bilan aniqlangan.

Tomonidan Denjoy-Vulf teoremasi, f har bir diskni o'zgarmas qoldiradi |z | < r va takroriyliklar f kompakt ustiga teng ravishda 0 ga yaqinlashadi: aslida 0 r < 1,

${ displaystyle | f (z) | leq M (r) | z |}$

uchun |z | ≤ r bilan M(r ) <1. Bundan tashqari f '(0) = λ 0 <| bilanλ| < 1.

Koenigs (1884) noyob holomorfik funktsiya mavjudligini isbotladi h bo'yicha belgilangan D., deb nomlangan Koenigs funktsiyasi, shu kabi h(0) = 0, h '(0) = 1 va Shreder tenglamasi mamnun,

${ displaystyle h (f (z)) = f ^ { prime} (0) h (z) ~.}$

Funktsiya h bu The yagona chegara kuni ixcham normallashgan takrorlanishlar, ${ displaystyle g_ {n} (z) = lambda ^ {- n} f ^ {n} (z)}$.

Bundan tashqari, agar f bir xil, xuddi shunday h.^[1][2]

Natijada, qachon f (va shuning uchun h) bir xil, D. ochiq domen bilan aniqlanishi mumkin U = h(D.). Ushbu konformal identifikatsiya ostida xaritalash f tomonidan ko'paytma bo'ladi λ, kengayish bo'yicha U.

Isbot

• O'ziga xoslik. Agar k bu yana bir echim, shunda analitiklik bilan buni ko'rsatish kifoya k = h yaqin 0. Let

${ displaystyle H = k circ h ^ {- 1} (z)}$

yaqin 0. Shunday qilib H(0) =0, H '(0) = 1 va | uchun |z | kichik,

${ displaystyle lambda H (z) = lambda h (k ^ {- 1} (z)) = h (f (k ^ {- 1} (z)) = h (k ^ {- 1} ( lambda z) = H ( lambda z) ~.}$

Uchun quvvat qatoriga almashtirish H, bundan kelib chiqadiki H(z) = z yaqin 0. Shuning uchun h = k 0 ga yaqin.

• Mavjudlik. Agar ${ displaystyle F (z) = f (z) / lambda z,}$ keyin Shvarts lemma

${ displaystyle | F (z) -1 | leq (1+ | lambda | ^ {- 1}) | z | ~.}$

Boshqa tarafdan,

${ displaystyle g_ {n} (z) = z prod _ {j = 0} ^ {n-1} F (f ^ {j} (z)) ~.}$

Shuning uchun g_n uchun teng ravishda birlashadiz| ≤ r tomonidan Weierstrass M-testi beri

${ displaystyle sum sup _ {| z | leq r} | 1-F circ f ^ {j} (z) | leq (1+ | lambda | ^ {- 1}) sum M ( r) ^ {j} < infty.}$

• Yagonalik. By Xurvits teoremasi, har biridan beri gⁿ univalent va normalizatsiya qilingan, ya'ni 0 ni tuzatadi va u erda lotin 1 ga ega, ularning chegarasi h ham bir xil emas.

Yarim guruhning koenigs funktsiyasi

Ruxsat bering f_t (z) ning holomorfik bir xil bo'lmagan xaritalashlarining yarim guruhi bo'ling D. uchun belgilangan 0-ni o'z ichiga oladi t ∈ [0, ∞) shu kabi

• ${ displaystyle f_ {s}}$ uchun avtomorfizm emas s > 0
• ${ displaystyle f_ {s} (f_ {t} (z)) = f_ {t + s} (z)}$
• ${ displaystyle f_ {0} (z) = z}$
• ${ displaystyle f_ {t} (z)}$ birgalikda uzluksizdir t va z

Har biri f_s bilan s > 0 xuddi shu Koenigs funktsiyasiga ega, qarang. takrorlanadigan funktsiya. Aslida, agar h ning Koenigs funktsiyasi f = f₁, keyin h(f_s(z)) Shreder tenglamasini qondiradi va shuning uchun unga mutanosib bo'ladi h.

Derivativlarni qabul qilish beradi

${ displaystyle h (f_ {s} (z)) = f_ {s} ^ { prime} (0) h (z).}$

Shuning uchun h ning Koenigs funktsiyasi f_s.

Univalent yarim guruhlarning tuzilishi

Domenda U = h(D.), xaritalar f_s tomonidan ko'paytirmoq ${ displaystyle lambda (s) = f_ {s} ^ { prime} (0)}$, uzluksiz yarim guruh ${ displaystyle lambda (s) = e ^ { mu s}}$ qayerda m ning noyob aniqlangan echimidir e ^m = λ Re bilanm <0. Bundan kelib chiqadiki, yarim guruh 0 ga teng

${ displaystyle v (z) = kısalt _ {t} f_ {t} (z) | _ {t = 0},}$

holomorfik funktsiya D. bilan v(0) = 0 va v '(0) = m.

Keyin

${ displaystyle kısalt _ {t} (f_ {t} (z)) h ^ { prime} (f_ {t} (z)) = mu e ^ { mu t} h (z) = mu h (f_ {t} (z)),}$

Shuning uchun; ... uchun; ... natijasida

${ displaystyle v = v ^ { prime} (0) {h over h ^ { prime}}}$

va

${ displaystyle kısalt _ {t} f_ {t} (z) = v (f_ {t} (z)), , , , f_ {t} (z) = 0 ~,}$

vektor maydoni uchun oqim tenglamasi.

0 <λ <1 bilan ish bilan cheklash, the h(D.) bo'lishi kerak yulduzcha Shuning uchun; ... uchun; ... natijasida

${ displaystyle Re {zh ^ { prime} (z) over h (z)} geq 0 ~.}$

Xuddi shu natija o'zaro bog'liq bo'lgani uchun,

${ displaystyle Re {v (z) over z} leq 0 ~,}$

Shuning uchun; ... uchun; ... natijasida v(z) shartlarini qondiradi Berkson va Porta (1978)

${ displaystyle v (z) = zp (z), , , , Re p (z) leq 0, , , , p ^ { prime} (0) <0.}$

Aksincha, yuqoridagi qadamlarni teskari yo'naltirish, har qanday holomorfik vektor maydoni v(z) ushbu shartlarni qondirish yarim guruh bilan bog'liq f_t, bilan

${ displaystyle h (z) = z exp int _ {0} ^ {z} {v ^ { prime} (0) over v (w)} - {1 over w} , dw.}$

Izohlar

Adabiyotlar

• Berkson, E .; Porta, H. (1978), "Analitik funktsiyalar va kompozitsion operatorlarning yarim guruhlari", Michigan matematikasi. J., 25: 101–115, doi:10.1307 / mmj / 1029002009
• Karleson, L .; Gamelin, T. D. W. (1993), Murakkab dinamikasi, Universitext: Matematikadagi traktlar, Springer-Verlag, ISBN  0-387-97942-5
• Elin, M.; Shoikhet, D. (2010), Murakkab dinamik tizimlar uchun chiziqli modellar: noyob funktsiyalar mavzusi, funktsional tenglamalar va yarim guruh nazariyasi, Operator nazariyasi: avanslar va ilovalar, 208, Springer, ISBN  978-3034605083
• Koenigs, G.P.X. (1884), "Recherches sur les intégrales de certaines équations fonctionnelles", Ann. Ilmiy ish. École Norm. Sup., 1: 2–41
• Kutsma, Marek (1968). Bitta o'zgaruvchidagi funktsional tenglamalar. Monografie Matematyczne. Varszava: PWN - Polsha ilmiy noshirlari. ASIN: B0006BTAC2
• Shapiro, J. H. (1993), Tarkibi operatorlari va klassik funktsiyalar nazariyasi, Universitext: Matematikadagi traktlar, Springer-Verlag, ISBN  0-387-94067-7
• Shoikhet, D. (2001), Geometrik funktsiyalar nazariyasidagi yarim guruhlar, Kluwer Academic Publishers, ISBN  0-7923-7111-9