Yolg'on teoremasi - Lies theorem

Matematikada, xususan Yolg'on algebralar, Yolg'on teoremasi ta'kidlashicha,^[1] xarakterli nolga teng algebraik yopiq maydon ustida, agar ${ displaystyle pi: { mathfrak {g}} dan { mathfrak {gl}} (V)} gacha$ cheklangan o'lchovli vakillik a hal etiladigan Lie algebra, keyin ${ displaystyle pi ({ mathfrak {g}})}$ barqarorlashadi a bayroq ${ displaystyle V = V_ {0} supset V_ {1} supset cdots supset V_ {n} = 0, operatorname {codim} V_ {i} = i}$ ; "barqarorlashadi" degan ma'noni anglatadi ${ displaystyle pi (X) V_ {i} kichik V_ {i}}$ har biriga ${ displaystyle X in { mathfrak {g}}}$ va men.

Boshqacha qilib aytganda, teorema buning uchun asos borligini aytadi V Shunday qilib, barcha chiziqli o'zgarishlar ${ displaystyle pi ({ mathfrak {g}})}$ yuqori uchburchak matritsalar bilan ifodalanadi.^[2] Bu Frobenius natijasining umumlashtirilishi qatnov matritsalari bir vaqtning o'zida yuqori uchburchak, deb qatnov matritsalari an hosil qiladi abeliyan algebra, bu fortiori hal etilishi mumkin.

Lie teoremasining natijasi shundaki, har qanday cheklangan o'lchovli echiladigan Lie algebrasi 0 xarakteristikasi maydoni bo'yicha nolpotentga ega olingan algebra (qarang # Oqibatlari ). Shuningdek, cheklangan o'lchovli vektor maydonidagi har bir bayroqqa V, a mos keladi Borel subalgebra (bayroqni barqarorlashtiruvchi chiziqli o'zgarishlardan iborat); Shunday qilib, teorema buni aytadi ${ displaystyle pi ({ mathfrak {g}})}$ ning ba'zi Borel subalgebralarida mavjud ${ displaystyle { mathfrak {gl}} (V)}$ .^[1]

Qarama-qarshi misol

Algebraik yopiq xarakterli maydonlar uchun p> 0 Yalang'och teoremasi, agar o'lchovning kattaligi kichik bo'lsa p (quyida keltirilgan dalilga qarang), lekin o'lchovlar uchun muvaffaqiyatsiz bo'lishi mumkin p. Masalan, 1 ga teng bo'lgan uch o'lchovli nilpotent Lie algebra, xva d/dx bo'yicha harakat qilish p- o'lchovli vektor maydoni k[x]/(x^p), u o'z vektorlariga ega emas. Ushbu 3 o'lchovli Lie algebrasining yarim yo'nalishli hosilasini p- o'lchovli vakillik (abeliyalik Lie algebrasi deb qaraladi) echiladigan Lie algebrasini beradi, olingan algebra nolpotent emas.

Isbot

Buning dalili induksiya bo'yicha ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ va bir necha bosqichlardan iborat. (Izoh: dalilning tuzilishi uchun juda o'xshash Engel teoremasi.) Asosiy ish ahamiyatsiz va biz o'lchamini qabul qilamiz ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ ijobiy. Biz ham taxmin qilamiz V nol emas. Oddiylik uchun biz yozamiz ${ displaystyle X cdot v = pi (X) v}$ .

1-qadam: Teorema quyidagi bayonotga teng ekanligiga e'tibor bering.^[3]

Vektor mavjud V bu har bir chiziqli transformatsiya uchun xos vektor ${ displaystyle pi ({ mathfrak {g}})}$ .

Darhaqiqat, teorema, xususan, nolga teng bo'lmagan vektorni qamrab olganligini aytadi

{ displaystyle V_ {n-1}}

barcha chiziqli transformatsiyalar uchun umumiy xususiy vektor hisoblanadi

{ displaystyle pi ({ mathfrak {g}})}

. Aksincha, agar v oddiy xususiy vektor, oling

{ displaystyle V_ {n-1}}

uning oralig'iga va keyin

{ displaystyle pi ({ mathfrak {g}})}

kotirovkada umumiy xususiy vektorni tan oladi

{ displaystyle V / V_ {n-1}}

; argumentni takrorlang.

2-qadam: Ideal toping ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ kod o'lchovi bir ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ .

Ruxsat bering

{ displaystyle D { mathfrak {g}} = [{ mathfrak {g}}, { mathfrak {g}}]}

bo'lishi olingan algebra. Beri

{ displaystyle { mathfrak {g}}}

hal etiladigan va ijobiy o'lchovga ega,

{ displaystyle D { mathfrak {g}} neq { mathfrak {g}}}

va shuning uchun kotirovka

{ displaystyle { mathfrak {g}} / D { mathfrak {g}}}

nolinchi abelian Lie algebrasi bo'lib, u albatta bitta kod kodining idealini o'z ichiga oladi va ideal yozishmalar bo'yicha u bitta o'lchov idealiga mos keladi

{ displaystyle { mathfrak {g}}}

.

3-qadam: Ba'zi bir chiziqli funktsional mavjud ${ displaystyle lambda}$ yilda ${ displaystyle { mathfrak {h}} ^ {*}}$ shu kabi

{ displaystyle V _ { lambda} = {v in V | X cdot v = lambda (X) v, X in { mathfrak {h}} }}

nolga teng emas.

Bu induktiv gipotezadan kelib chiqadi (xususiy qiymatlarning chiziqli funktsionallikni aniqlashini tekshirish oson).

4-qadam: ${ displaystyle V _ { lambda}}$ a ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ -modul.

(E'tibor bering, ushbu qadam umumiy haqiqatni isbotlaydi va to'lov qobiliyatini o'z ichiga olmaydi.)

Ruxsat bering

{ displaystyle Y}

ichida bo'lish

{ displaystyle { mathfrak {g}}}

,

{ displaystyle v in V _ { lambda}}

va rekursiv ravishda o'rnatiladi

{ displaystyle v_ {0} = v, , v_ {i + 1} = Y cdot v_ {i}}

. Har qanday kishi uchun

{ displaystyle X in { mathfrak {h}}}

, beri

{ displaystyle { mathfrak {h}}}

ideal,

{ displaystyle X cdot v_ {i} = lambda (X) v_ {i} + lambda ([X, Y]) v_ {i-1}}

.

Bu shunday deydi

{ displaystyle X}

(anavi

{ displaystyle pi (X)}

) bilan cheklangan

{ displaystyle U = operator nomi {span} {v_ {i} | i geq 0 }}

diagonal bo'lgan matritsa bilan ifodalanadi

{ displaystyle lambda (X)}

takrorlangan. Shuning uchun,

{ displaystyle dim (U) lambda ([X, Y]) = operator nomi {tr} ([ pi (X) | _ {U}, pi (Y) | _ {U}]) = 0 }

. Beri

{ displaystyle dim (U)}

qaytarib bo'lmaydigan,

{ displaystyle lambda ([X, Y]) = 0}

va

{ displaystyle Y cdot v}

uchun maxsus vektor X.

5-qadam: Umumiy xususiy vektorni topib, dalillarni yakunlang.

Yozing

{ displaystyle { mathfrak {g}} = { mathfrak {h}} + L}

qayerda L bir o'lchovli vektorli pastki bo'shliqdir. Asosiy maydondan beri k algebraik tarzda yopilgan, o'ziga xos vektor mavjud

{ displaystyle V _ { lambda}}

ning ba'zi (shuning uchun ham) nolga teng bo'lmagan elementlari uchun L. Ushbu vektor har bir element uchun o'ziga xos vektor bo'lgani uchun

{ displaystyle { mathfrak {h}}}

, dalil to'liq.

{ displaystyle square}

Oqibatlari

Teorema, xususan qo'shma vakillik ${ displaystyle operatorname {ad}: { mathfrak {g}} to { mathfrak {gl}} ({ mathfrak {g}})}$ (cheklangan o'lchovli) echiladigan Lie algebrasi ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ ; Shunday qilib, asosni tanlash mumkin ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ bunga nisbatan ${ displaystyle operatorname {ad} ({ mathfrak {g}})}$ yuqori uchburchak matritsalardan iborat. Bu har bir kishi uchun osonlikcha keladi ${ displaystyle x, y in { mathfrak {g}}}$ , ${ displaystyle operatorname {ad} ([x, y]) = [ operatorname {ad} (x), operatorname {ad} (y)]}$ nollardan tashkil topgan diagonalga ega; ya'ni, ${ displaystyle operatorname {ad} ([x, y])}$ nilpotent matritsa. By Engel teoremasi, bu shuni anglatadiki ${ displaystyle [{ mathfrak {g}}, { mathfrak {g}}]}$ a nilpotent yolg'on algebra; teskari tomon ham aniq. Bundan tashqari, chiziqli transformatsiya nilpotent bo'ladimi yoki yo'qmi, asosiy maydonni uning algebraik yopilishiga qadar kengaytirilgandan so'ng aniqlanishi mumkin. Shunday qilib, bitta bayonot tugaydi:^[4]

Cheklangan o'lchovli algebra ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ xarakterli nol maydonida, agar olingan algebra bo'lsa, hal qilinadi ${ displaystyle D { mathfrak {g}} = [{ mathfrak {g}}, { mathfrak {g}}]}$ nolpotent.

Yolg'on teoremasi ham bitta yo'nalishni belgilaydi Kartanning to'lov qobiliyati mezonlari: agar V xarakteristikasi nol maydoniga nisbatan cheklangan o'lchovli vektor va ${ displaystyle { mathfrak {g}} subset { mathfrak {gl}} (V)}$ yolg'on subalgebra, keyin ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ va agar shunday bo'lsa, hal qilinadi ${ displaystyle operatorname {tr} (XY) = 0}$ har bir kishi uchun ${ displaystyle X in { mathfrak {g}}}$ va ${ displaystyle Y [{ mathfrak {g}}, { mathfrak {g}}]} da$ .^[5]

Darhaqiqat, yuqoridagi kabi, asosiy maydonni kengaytirgandan so'ng, implikatsiya ${ displaystyle Rightarrow}$ osongina ko'rinadi. (Suhbatni isbotlash qiyinroq.)

Yolg'on teoremasi (har xil uchun V) bayonotga teng:^[6]

Eritiladigan Lie algebra uchun ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ , har bir cheklangan o'lchovli oddiy ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ -modul (ya'ni, tasavvur sifatida qisqartirilmaydi) o'lchovga ega.

Darhaqiqat, Lie teoremasi ushbu bayonotni aniq anglatadi. Aksincha, bayonot haqiqat deb taxmin qiling. Sonli o'lchovli berilgan ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ -modul V, ruxsat bering ${ displaystyle V_ {1}}$ maksimal bo'lish ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ -submodule (o'lchovning aniqligi bilan mavjud). Keyin, maksimal darajada, ${ displaystyle V / V_ {1}}$ oddiy; Shunday qilib, bir o'lchovli. Endi induksiya dalilni tugatadi.

Bayonotda aytilishicha, cheklangan o'lchovli oddiy modul an abeliyan algebra bir o'lchovli; bu haqiqat bazaviy maydon xarakterli nolga ega bo'lishini taxmin qilmasdan turib qoladi.^[7]

Mana yana bir foydali dastur:^[8]

Ruxsat bering ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ xarakterli nolga teng algebraik yopiq maydon ustida cheklangan o'lchovli Lie algebrasi bo'ling radikal ${ displaystyle operatorname {rad} ({ mathfrak {g}})}$ . Keyin har bir cheklangan o'lchovli oddiy tasvir ${ displaystyle pi: { mathfrak {g}} dan { mathfrak {gl}} (V)} gacha$ bo'ladi tensor mahsuloti ning oddiy tasviri ${ displaystyle { mathfrak {g}} / operatorname {rad} ({ mathfrak {g}})}$ ning bir o'lchovli tasviri bilan ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ (ya'ni, Lie qavslarida chiziqli funktsional yo'qolish).

Lie teoremasi bo'yicha biz chiziqli funktsional topa olamiz ${ displaystyle lambda}$ ning ${ displaystyle operatorname {rad} ({ mathfrak {g}})}$ shuning uchun vazn oralig'i mavjud ${ displaystyle V _ { lambda}}$ ning ${ displaystyle operatorname {rad} ({ mathfrak {g}})}$ . Lie teoremasining isbotining 4-bosqichida ${ displaystyle V _ { lambda}}$ ham ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ -modul; shunday ${ displaystyle V = V _ { lambda}}$ . Xususan, har biri uchun ${ displaystyle X in operatorname {rad} ({ mathfrak {g}})}$ , ${ displaystyle operatorname {tr} ( pi (X)) = dim (V) lambda (X)}$ . Uzaytirish ${ displaystyle lambda}$ chiziqli funktsional holatga ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ yo'q bo'lib ketadi ${ displaystyle [{ mathfrak {g}}, { mathfrak {g}}]}$ ; ${ displaystyle lambda}$ keyin ning bir o'lchovli tasviridir ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ . Hozir, ${ displaystyle ( pi, V) simeq ( pi, V) otimes (- lambda) otimes lambda}$ . Beri ${ displaystyle pi}$ bilan mos keladi ${ displaystyle lambda}$ kuni ${ displaystyle operatorname {rad} ({ mathfrak {g}})}$ , bizda shunday ${ displaystyle V otimes (- lambda)}$ ahamiyatsiz ${ displaystyle operatorname {rad} ({ mathfrak {g}})}$ va shunday qilib (ning) vakilligini cheklash ${ displaystyle { mathfrak {g}} / operatorname {rad} ({ mathfrak {g}})}$ . ${ displaystyle square}$

Shuningdek qarang

Engel teoremasi bilan bog'liq bo'lgan nilpotent yolg'on algebra.
Yolg'on-Kolchin teoremasi, bu (bog'langan) hal qilinadigan chiziqli algebraik guruh haqida.

Adabiyotlar

^ ^a ^b Serre, Teorema 3
^ Hamfreylar, Ch. II, § 4.1., Xulosa A.
^ Serre, Teorema 3
^ Hamfreylar, Ch. II, § 4.1., Xulosa S.
^ Serre, 4-teorema
^ Serre, Teorema 3 '
^ Jeykobson, Ch. II, § 6, Lemma 5.
^ Fulton va Xarris, Taklif 9.17.

Manbalar

Fulton, Uilyam; Xarris, Jou (1991). Vakillik nazariyasi. Birinchi kurs. Matematikadan aspirantura matnlari, Matematikadan o'qishlar. 129. Nyu-York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. JANOB 1153249. OCLC 246650103.
Hamfreyz, Jeyms E. (1972), Yolg'on algebralari va vakillik nazariyasiga kirish, Berlin, Nyu-York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90053-7.
Jeykobson, Natan, Yolg'on algebralar, 1962 yilgi asl nusxaning respublikasi. Dover Publications, Inc., Nyu-York, 1979 yil. ISBN 0-486-63832-4
Jan-Per Ser: Kompleks Semisimple Lie Algebras, Springer, Berlin, 2001 yil. ISBN 3-5406-7827-1

[Serre_theorem-1] Serre, Teorema 3

[2] Hamfreylar, Ch. II, § 4.1., Xulosa A.

[3] Serre, Teorema 3

[4] Hamfreylar, Ch. II, § 4.1., Xulosa S.

[5] Serre, 4-teorema

[6] Serre, Teorema 3 '

[7] Jeykobson, Ch. II, § 6, Lemma 5.

[8] Fulton va Xarris, Taklif 9.17.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]