Lib-Robinson chegaralari - Lieb-Robinson bounds

Bu maqola fizika bo'yicha mutaxassisning e'tiboriga muhtoj. Muayyan muammo: Maqola quyi darajadagi auditoriya uchun ko'proq tushuntirish / xulosaga hamda joriy natijalar uchun yangilanishlarga muhtoj (munozara sahifasiga qarang). WikiProject Fizika mutaxassisni jalb qilishda yordam berishi mumkin. (2018 yil aprel)

The Lib-Robinson bog'langan ning nazariy yuqori chegarasi hisoblanadi tezlik unda ma `lumot tarqalishi mumkinrelyativistik kvant tizimlar. Ma'lumotlar kvant nazariyasida bir zumda sayohat qila olmasligini, hatto nisbiylik chegaralari yorug'lik tezligi e'tiborga olinmaydi. Bunday cheklangan tezlikning mavjudligi matematik ravishda kashf etilgan Elliott Lib va Derek Uilyam Robinzon 1972 yilda.^[1] Bu jismoniy tizimlarning joylashuv xususiyatlarini ushbu tezlikning mavjudligiga va yuqori chegarasiga aylantiradi. Bog'lanish endi Lieb-Robinson bog'langan, tezlik esa Lieb-Robinson tezligi deb nomlanadi. Ushbu tezlik ko'rib chiqilayotgan tizim tafsilotlariga qarab har doim cheklangan, lekin universal emas. Sonli diapazon uchun, masalan. eng yaqin qo'shni, o'zaro ta'sirlar, bu tezlik bosib o'tgan masofadan doimiy ravishda mustaqil. Uzoq masofali o'zaro ta'sir qiluvchi tizimlarda bu tezlik cheklangan bo'lib qoladi, lekin bosib o'tgan masofa bilan u ko'payishi mumkin.^[2][3]

Kabi kvant tizimlarini o'rganishda kvant optikasi, kvant axborot nazariyasi, atom fizikasi va quyultirilgan moddalar fizikasi borligini bilish muhimdir a cheklangan ma'lumotni tarqatish tezligi. Nisbiylik nazariyasi shuni ko'rsatadiki, bu uchun hech qanday ma'lumot yoki boshqa narsalar yorug'lik tezligidan tezroq harakatlana olmaydi. Relyativistik bo'lmagan mexanika ko'rib chiqilganda, (Nyuton tenglamalari harakat yoki Shredinger tenglamasi (kvant mexanikasi)) ma'lumotlarning tarqalish tezligida hech qanday cheklov yo'q deb o'ylashgan edi. Bu ko'pincha kvant spin tizimlari deb ataladigan panjarada joylashgan atomlarning kvant tizimlarining ayrim turlari uchun bunday emas. Bu kontseptual va amaliy jihatdan muhimdir, chunki bu qisqa vaqt ichida tizimning uzoq qismlari mustaqil ravishda harakat qilishini anglatadi.

Lieb-Robinson chegaralarining amaliy qo'llanilishlaridan biri kvant hisoblash. Atomga o'xshash birliklardan tashkil topgan kvant kompyuterlarini qurish bo'yicha joriy takliflar, ma'lumotlarning juda tez tarqalishidan himoya qilish uchun, asosan, ushbu tarqalish tezligining mavjudligiga bog'liq.^[4][3]

Taqriz maqolalarini quyidagi ma'lumotnomalarda topish mumkin, masalan,^[5][6][7]

Qattiq va zamonaviy kirish bilan tanishish mumkin.^[8]

Sozlash

Chegarani aniqlash uchun birinchi navbatda har biri cheklangan o'lchovli bir necha birlikdan tashkil topgan kvant mexanik tizimlari haqida asosiy ma'lumotlarni bayon qilish kerak. Hilbert maydoni.

Lieb-Robinson chegaralari a ${ displaystyle nu}$- o'lchovli panjara (${ displaystyle nu = 1,2}$ yoki ${ displaystyle 3}$) ${ displaystyle Gamma}$, masalan, kvadrat panjara${ displaystyle Gamma = mathbb {Z} ^ { nu}}$.

A Hilbert maydoni davlatlarning ${ displaystyle { mathcal {H}} _ {x}}$ har bir nuqta bilan bog'liq ${ displaystyle x in Gamma}$. Ushbu bo'shliqning o'lchami cheklangan, ammo bu 2008 yilda cheksiz o'lchamlarni o'z ichiga olgan holda umumlashtirildi (pastga qarang). Bu deyiladi kvant spin tizimi.

Panjaraning har bir cheklangan pastki qismi uchun, ${ displaystyle X subset Gamma}$, bog'langan Hilbert maydoni tenzor mahsuloti bilan berilgan

${ displaystyle { mathcal {H}} _ {X} = bigotimes _ {x in X} { mathcal {H}} _ {x}}$.

An kuzatiladigan ${ displaystyle A}$ cheklangan to'plamda qo'llab-quvvatlanadi (ya'ni, faqat bog'liq) ${ displaystyle X subset Gamma}$ a chiziqli operator Hilbert makonida ${ displaystyle { mathcal {H}} _ {X}}$.

Qachon ${ displaystyle { mathcal {H}} _ {x}}$ cheklangan o'lchovli, cheklanganni tanlang asos chiziqli operatorlar to'plamini qamrab oluvchi operatorlar ${ displaystyle { mathcal {H}} _ {x}}$. Keyin har qanday kuzatiladigan ${ displaystyle { mathcal {H}} _ {x}}$ ni asosli operatorlarning yig'indisi sifatida yozish mumkin ${ displaystyle { mathcal {H}} _ {x}}$.

The Hamiltoniyalik tizimning o'zaro ta'siri bilan tavsiflanadi ${ displaystyle Phi ( cdot)}$. The o'zaro ta'sir cheklangan to'plamlardan funktsiya ${ displaystyle X subset Gamma}$ ga o'zini o'zi bog'laydigan kuzatiladigan narsalar ${ displaystyle Phi (X)}$ ichida qo'llab-quvvatlanadi ${ displaystyle X}$. O'zaro ta'sir cheklangan oraliq deb qabul qilinadi (bu shuni anglatadiki) ${ displaystyle Phi (X) = 0}$ agar hajmi ${ displaystyle X}$ belgilangan belgilangan hajmdan oshadi) va tarjima o'zgarmas. Keyinchalik bu talablar bekor qilindi.^[2][9]

Odatda tarjima invariantligi taxmin qilinsa-da, buni qilish shart emas. O'zaro ta'sir o'z domenida yuqorida va pastda chegaralangan deb taxmin qilish kifoya. Shunday qilib, chegara hamiltoniyalikning o'zgarishiga toqatli ekanligi nuqtai nazaridan ancha mustahkamdir. Cheklangan diapazon bu ammo muhim. Agar sonli son bo'lsa, o'zaro ta'sir cheklangan diapazon deyiladi ${ displaystyle R}$ har qanday to'plam uchun ${ displaystyle X}$ dan katta diametri bilan ${ displaystyle R}$ o'zaro ta'sir nolga teng, ya'ni ${ displaystyle Phi (X) = 0}$. Shunga qaramay, bu talab keyinchalik bekor qilindi.^[2][9]

Tizimning o'zaro ta'sirga ega bo'lgan Gamiltonian ${ displaystyle Phi}$ rasmiy ravishda quyidagicha belgilanadi:

${ displaystyle H _ { Phi} = sum _ {X subset Gamma} Phi (X)}$.

Kvant mexanikasi qonunlari shuni ta'kidlashicha, har bir fizik jihatdan kuzatiladigan miqdorga mos keladigan o'z-o'zidan bog'langan operator mavjud ${ displaystyle A}$.Har bir kuzatiladigan narsa uchun ${ displaystyle A}$ cheklangan qo'llab-quvvatlash bilan Hamiltonian uzluksiz bitta parametrli guruhni belgilaydi ${ displaystyle tau _ {t}}$kuzatiladigan narsalarning o'zgarishi ${ displaystyle tau _ {t}}$tomonidan berilgan

${ displaystyle A (t) = e ^ {itH _ { Phi}} Ae ^ {- itH _ { Phi}}.}$

Bu yerda, ${ displaystyle t}$ vaqtning fizik ma'nosiga ega. (Texnik jihatdan aytganda, bu vaqt evolyutsiyasi normaga yaqinlashuvchi qator sifatida ma'lum bo'lgan kuch ketma-ketligi kengayishi bilan belgilanadi ${ displaystyle A (t) = A + it [H, A] + { frac {(it) ^ {2}} {2!}} [H, [H, A]] + cdots}$, qarang,^[10] Teorema 7.6.2, bu moslashtirilgan.^[11] Batafsil tafsilotlarni topish mumkin.^[1])

Savolning chegarasi isbotlangan^[1] va quyidagilar: Har qanday kuzatiladigan narsalar uchun ${ displaystyle A}$ va ${ displaystyle B}$ cheklangan tayanchlar bilan ${ displaystyle X subset Gamma}$ va ${ displaystyle Y subset Gamma}$navbati bilan va istalgan vaqt uchun ${ displaystyle t in mathbb {R}}$ ba'zi ijobiy konstantalar uchun quyidagilar mavjud ${ displaystyle a, c}$ va ${ displaystyle v}$:

${ displaystyle | , [A (t), B] , | leq c , exp {- a (d (X, Y) -v | t |) },}$

(1)

qayerda ${ displaystyle d (X, Y)}$ to'plamlar orasidagi masofani bildiradi ${ displaystyle X}$ va ${ displaystyle Y}$. Operator ${ displaystyle [A, B] = AB-BA}$ operatorlarning kommutatori deyiladi ${ displaystyle A}$ va ${ displaystyle B}$belgisi esa ${ displaystyle | O |}$ belgisini bildiradi norma yoki operatorning hajmi ${ displaystyle O}$. Shuni ta'kidlash kerakki, bog'langan bilan hech qanday aloqasi yo'q davlat kvant tizimining, lekin faqat dinamikani boshqaradigan Hamiltoninanga bog'liq. Ushbu operator o'rnatilgandan so'ng, u tizimning har qanday holatiga o'tishi shart.

Ijobiy doimiy ${ displaystyle c}$ kuzatiladigan narsalarning me'yorlariga bog'liq ${ displaystyle A}$ va ${ displaystyle B}$, tayanchlarning o'lchamlari ${ displaystyle X}$ va ${ displaystyle Y}$, o'zaro ta'sir, panjara tuzilishi va Xilbert fazosining o'lchamlari ${ displaystyle { mathcal {H}} _ {x}}$. Ijobiy doimiy ${ displaystyle v}$ o'zaro ta'sirga va faqat panjara tuzilishiga bog'liq. Raqam ${ displaystyle a> 0}$taqdim etilgan xohishiga ko'ra tanlanishi mumkin ${ displaystyle d (X, Y) / v | t |}$ etarlicha katta tanlangan. Boshqacha qilib aytganda, uzoqroq yorug'lik konusiga o'tadi, ${ displaystyle d (X, Y) -v | t |}$, parchalanish darajasi ko'rsatkichi qanchalik keskin bo'lsa (keyingi ishlarda mualliflar buni e'tiborga olishgan ${ displaystyle a}$ sobit doimiy sifatida.) doimiy ${ displaystyle v}$ deyiladi guruh tezligi yoki Lieb-Robinson tezligi.

Bog'langan (1) asl qog'ozdagi tenglamadan bir oz boshqacha tarzda keltirilgan tezlikka bog'liq parchalanish tezligi kosmik vaqt davomida nurlar dan katta tezlik bilan ${ displaystyle v_ {LR}}$.^[1] Ushbu aniqroq shakl (1) bog'langanligini isbotidan ko'rish mumkin^[1]

Lib-Robinzon buni bir necha bor ko'rsatib turibdi ${ displaystyle | t |$ o'ng tarafdagi me'yor eksponent jihatdan kichikdir. Bu yuqorida aytib o'tilgan darajada kichik xato.

Lib - Robinzon chegaralarining chap tomonidagi kommutatorni ko'rib chiqishning sababi quyidagilar:

Kuzatiladigan narsalar orasidagi kommutator ${ displaystyle A}$ va ${ displaystyle B}$ Agar ularning qo'llab-quvvatlovchilari ajratilgan bo'lsa, nolga teng.

Buning teskarisi ham to'g'ri: agar kuzatiladigan bo'lsa ${ displaystyle A}$ shundayki, uning kommutatori har qanday kuzatiladigan narsaga ega ${ displaystyle B}$ ba'zi bir to'plam tashqarisida qo'llab-quvvatlanadi ${ displaystyle X}$ nolga teng, keyin ${ displaystyle A}$ to'plam ichida qo'llab-quvvatlovchi mavjud ${ displaystyle X}$.

Ushbu bayonot quyidagi ma'noda ham to'g'ri keladi:^[12] ba'zi birlari bor deb taxmin qiling ${ displaystyle epsilon> 0}$ shu kabi ${ displaystyle | [A, B] | leq epsilon | B |}$ ba'zi birlari uchun kuzatilishi mumkin ${ displaystyle A}$ va har qanday kuzatiladigan ${ displaystyle B}$ to'plamdan tashqarida qo'llab-quvvatlanadi ${ displaystyle X}$. Keyin kuzatiladigan narsa mavjud ${ displaystyle A ( epsilon)}$ to'plam ichida qo'llab-quvvatlash bilan ${ displaystyle X}$ Bu kuzatiladigan narsaga yaqinlashadi ${ displaystyle A}$, ya'ni ${ displaystyle | A-A ( epsilon) | leq epsilon}$.

Shunday qilib, Lib-Robinson chegaralari vaqt evolyutsiyasi kuzatilishi mumkin deb aytadi ${ displaystyle A}$ to'plamda qo'llab-quvvatlash bilan ${ displaystyle X}$ a-da qo'llab-quvvatlanadi (haddan tashqari kichik xatolarga qadar) ${ displaystyle delta}$- to'plamning mahallasi ${ displaystyle X}$, qayerda ${ displaystyle delta$ bilan ${ displaystyle v}$ Lieb-Robinson tezligi bo'lish. Ushbu to'plam tashqarisida hech qanday ta'sir yo'q ${ displaystyle A}$. Boshqacha qilib aytganda, bu chegara kvant spin tizimlarida bezovtalanish tarqalish tezligi chegaralanganligini tasdiqlaydi.

Lieb-Robinson chegaralarini takomillashtirish

Yilda^[13] Robinson cheklanganlikni umumlashtirdi (1) eksponensial ravishda parchalanadigan o'zaro ta'sirlarni (tarjima o'zgarmas bo'lishi kerak emas), ya'ni o'zaro ta'sir kuchi to'plamning diametri bilan eksponent ravishda pasayib ketishini hisobga olgan holda, bu natija batafsil muhokama qilinadi,^[14] 6-bob. Xastingsga qadar 2004 yilgacha Lib-Robinson chegaralariga katta qiziqish bildirilmagan^[15] ularni Lieb-Shults-Mattis teorema, natijada Nachtergaele va Sims^[16] natijalarini kengaytirdi^[13] metrikali vertikallarga modellarni kiritish va hosil qilish korrelyatsiyalarning eksponensial yemirilishi. 2005-2006 yillarda Lieb-Robinson chegaralariga bo'lgan qiziqish korrelyatsiyalarning eksponentsial pasayishiga qo'shimcha dasturlar bilan kuchaytirildi (qarang.^[2][9][17] va quyidagi bo'limlar). Chegaralarning yangi dalillari ishlab chiqildi va xususan, (1) Hilbert makonining o'lchamidan mustaqil ravishda takomillashtirildi.

Doimiy ravishda yana bir necha takomillashtirish ${ displaystyle c}$ ichida (1) qilingan.^[18]2008 yilda Lieb-Robinson bog'langan holda har biriga tegishli bo'lgan holatga qadar kengaytirildi ${ displaystyle H_ {x}}$ cheksiz o'lchovli.^[19]Yilda^[19] joyida cheksiz bezovtaliklar Lieb-Robinson chegarasini o'zgartirmasligi ko'rsatildi. Ya'ni, quyidagi shakldagi gamiltoniyaliklarni cheklangan kichik to'plamda ko'rib chiqish mumkin ${ displaystyle Lambda subset Gamma}$:

${ displaystyle H _ { Lambda} = sum _ {x in Lambda} H_ {x} + sum _ {X subset Lambda} Phi (X),}$

qayerda ${ displaystyle H_ {x}}$ o'zini o'zi bog'laydigan operator ${ displaystyle { mathcal {H}} _ {x}}$, bu chegaralanmasligi kerak.

Garmonik va anharmonik gamiltoniyaliklar

Lib-Robinson chegaralari ma'lum uzluksiz kvant tizimlariga, ya'ni umumiy harmonik Hamiltonga,^[19] bu cheklangan hajmda ${ displaystyle Gamma _ {L} = (- L, L) ^ {d} cap mathbb {Z} ^ {d},}$, qayerda ${ displaystyle L, d}$ musbat tamsayılar bo'lib, quyidagi shaklni oladi:

${ displaystyle sum _ {x in Gamma _ {L}} p_ {x} ^ {2} + omega ^ {2} q_ {x} ^ {2} + sum _ {x in Gamma _ {L}} sum _ {j = 1} ^ { nu} lambda _ {j} (q_ {x} -q_ {x + e_ {j}}) ^ {2},}$

bu erda davriy chegara shartlari o'rnatiladi va ${ displaystyle lambda _ {j} geq 0}$, ${ displaystyle omega> 0}$. Bu yerda ${ displaystyle {e_ {j} }}$ ichida kanonik asosli vektorlar mavjud ${ displaystyle mathbb {Z} ^ {d}}$.

Joyida va ko'p joyida bezovtalik bo'lgan anharmonik gamiltoniyaliklar ko'rib chiqildi va ular uchun Lib-Robinson chegaralari chiqarildi,^[19][20]Garmonik panjarani yanada umumlashtirish muhokama qilindi,^[21][22]

Qaytarib bo'lmaydigan dinamikasi

Lib-Robinson chegaralarining yana bir umumlashtirilishi qaytarilmas dinamikada amalga oshirildi, bu holda dinamika Hamilton qismiga, shuningdek dissipativ qismga ega. Dissipativ qism Lindblad shaklidagi atamalar bilan tavsiflanadi, shuning uchun dinamikasi ${ displaystyle tau _ {t}}$ qondiradi Lindblad-Kossakovskiy asosiy tenglama.

Lib-Robinsonning qaytarilmas dinamikasi uchun chegaralari ko'rib chiqildi^[17] klassik kontekstda va tomonidan^[23] cheklangan diapazonli o'zaro ta'sirga ega kvant panjarali tizimlar klassi uchun. Lieb-Robinson, hamamiltonian tomonidan yaratilgan, ham kosmosda tezkor parchalanishga ega bo'lgan dissipativ o'zaro ta'sirlar dinamikasiga ega bo'lgan va vaqtga bog'liq bo'lishi mumkin bo'lgan panjara modellari uchun chegaralarni tasdiqladi,^[24] Bu erda ular cheksiz dinamikaning mavjudligini to'liq ijobiy xaritalarni saqlaydigan birlikning kuchli uzluksiz sikli sifatida isbotladilar.

Kuch-qonunning o'zaro ta'siri

Lieb-Robinson chegaralari kuch-qudrat sifatida yemiriladigan o'zaro ta'sirlar uchun ham umumlashtirildi, ya'ni o'zaro ta'sir kuchi yuqori chegarada ${ displaystyle 1 / r ^ { alpha},}$ qayerda ${ displaystyle r}$ to'plamning diametri va ${ displaystyle alpha}$ ijobiy doimiy.^{[2][25][26][3]} Mahalliylikning qonun bilan o'zaro ta'sirida davom etadimi yoki yo'qligini tushunish tuzoqqa tushgan ionlar, Rydberg atomlari, ultrakold atomlari va molekulalari kabi tizimlarga jiddiy ta'sir qiladi.

Axborot faqat doimiy tezlikda harakatlanishi mumkin bo'lgan cheklangan intervalli tizimlardan farqli o'laroq, kuch-qonunchilikning o'zaro ta'siri axborot masofaga qarab ortib boradigan tezlikda harakatlanishiga imkon beradi.^[27] Shunday qilib, kuch-qonun ta'sirida bo'lgan Lieb-Robinson chegaralari odatda chegarada asimptotik ravishda chiziqli bo'lgan pastki chiziqli yorug'lik konusini hosil qiladi. ${ displaystyle alpha rightarrow infty.}$ Yaqinda o'tkazilgan tahlil^{[qachon? ]} kvant simulyatsiya algoritmidan foydalangan holda yorug'lik konusini nazarda tutgan ${ displaystyle t gtrsim r ^ {( alfa -2D) ( alfa -D)}}$, qayerda ${ displaystyle D}$ tizimning o'lchamidir.^[3] Quvvat va qonunlarning o'zaro ta'siri uchun yorug'lik konusini mahkamlash hali ham faol tadqiqot sohasidir.

Ba'zi ilovalar

Lib-Robinson chegaralari matematik fizikaning ko'plab sohalarida qo'llaniladi. Bog'lanishning asosiy dasturlari orasida kvant simulyatsiya algoritmlarida xatoliklar chegaralari, termodinamik chegaraning mavjudligi, korrelyatsiyalarning eksponensial parchalanishi va Lib-Shuls-Mettis teoremasi mavjud.

Raqamli kvant simulyatsiya algoritmlari

Raqamli kvant simulyatsiyasining maqsadi eng kam elementar kvant eshiklaridan foydalangan holda kvant tizimining dinamikasini simulyatsiya qilishdir. Bilan eng yaqin qo'shni o'zaro aloqa tizimi uchun ${ displaystyle n}$ uning dinamikasini vaqtga taqlid qilib, zarralar ${ displaystyle t}$ yordamida Yolg'on mahsulot formulasi talab qiladi ${ displaystyle O (n ^ {2} t ^ {2})}$ kvant eshiklari. 2018 yilda Haah va boshq.^[4] faqat ishlatadigan optimal optimal kvant algoritmini taklif qildi ${ displaystyle O (nt log (nt))}$ kvant eshiklari. G'oya tizimning dinamikasini uning kichik tizimlari dinamikasi bilan taqqoslashdir, ularning ba'zilari fazoviy ravishda ajratilgan. Yaqinlashuv xatosi asl Lib-Robinson chegarasi bilan chegaralangan. Keyinchalik algoritm kuch-qonun ta'sirida umumlashtiriladi va keyinchalik yanada kuchli Lib-Robinson bog'lanishini olish uchun ishlatiladi.^[3]

Dinamikaning termodinamik chegarasi

Katta miqdordagi moddaning xususiyatlarini tavsiflash uchun mo'ljallangan har qanday modelning muhim xususiyatlaridan biri bu termodinamik chegaraning mavjudligi. Bu shuni aytadiki, tizimning ichki xususiyatlari har qanday eksperimental o'rnatishda cheklangan bo'lgan tizimning o'lchamidan qat'iy nazar mustaqil bo'lishi kerak.

Muvozanat nuqtai nazaridan statik termodinamik limit Lib-Robinzon bog'lanishi isbotlanmasdan ancha oldin aniqlandi, qarang.^[10] masalan. Ayrim hollarda, ning termodinamik chegarasi mavjudligini aniqlash uchun Lib-Robinson bilan bog'lanish mumkin dinamikasi, ${ displaystyle tau _ {t} ^ { Gamma}}$, cheksiz panjara uchun ${ displaystyle Gamma}$ cheklangan panjara dinamikasining chegarasi sifatida. Cheklov odatda cheklangan pastki to'plamlarning ko'payib borayotgan ketma-ketligi bo'yicha ko'rib chiqiladi ${ displaystyle Lambda _ {n} subset Gamma}$, ya'ni buning uchun ${ displaystyle n$, qo'shilish mavjud ${ displaystyle Lambda _ {n} subset Lambda _ {m}}$. Cheksiz dinamikaning mavjudligini isbotlash uchun ${ displaystyle tau _ {t} ^ { Gamma}}$ kuchli uzluksiz, bitta parametrli avtomorfizmlar guruhi sifatida isbotlangan ${ displaystyle { tau _ {t} ^ { Lambda _ {n}} } _ {n}}$ Koshi ketma-ketligi va natijada konvergent. Elementar mulohazalarga ko'ra, termodinamik chegaraning mavjudligi keyin keladi. Termodinamik limit haqida batafsilroq ma'lumotni topish mumkin^[28] 6.2-bo'lim.

Robinson birinchi bo'lib eksponensial ravishda parchalanadigan o'zaro ta'sirlar uchun termodinamik chegaraning mavjudligini ko'rsatdi.^[13] Keyinchalik, Nachtergaele va boshq.^[9][20][24] Yuqoridagi "Lib-Robinson chegaralarini takomillashtirish" bo'limida tasvirlangan deyarli har qanday o'zaro ta'sir turi uchun cheksiz hajm dinamikasi mavjudligini ko'rsatdi.

Korrelyatsiyalarning eksponensial yemirilishi

Ruxsat bering ${ displaystyle langle A rangle _ { Omega}}$ ni belgilang kutish qiymati kuzatiladigan narsalardan ${ displaystyle A}$ davlatda ${ displaystyle Omega}$. Ikki kuzatiladigan narsa o'rtasidagi o'zaro bog'liqlik funktsiyasi ${ displaystyle A}$ va ${ displaystyle B}$ sifatida belgilanadi ${ displaystyle langle AB rangle _ { Omega} - langle A rangle _ { Omega} langle B rangle _ { Omega}.}$

Lib-Robinzon chegaralari o'zaro bog'liqlik tizim bilan masofa bo'yicha eksponentsial ravishda yemirilishini ko'rsatish uchun ishlatiladi. degeneratsiyalanmagan asosiy holatdan yuqori energiya oralig'i ${ displaystyle Omega}$, qarang.^[2][16] Boshqacha qilib aytganda, tengsizlik

${ displaystyle | langle AB rangle _ { Omega} - langle A rangle _ { Omega} langle B rangle _ { Omega} | leq K | A | | B | min (| X |, | Y |) e ^ {- a , d (X, Y)},}$

kuzatiladigan narsalar uchun ushlab turiladi ${ displaystyle A}$ va ${ displaystyle B}$ to'plamlarda qo'llab-quvvatlash bilan ${ displaystyle X}$ va ${ displaystyle Y}$ navbati bilan. Bu yerda ${ displaystyle K}$ va ${ displaystyle a}$ ba'zi bir doimiy

Shu bilan bir qatorda davlat ${ displaystyle Omega}$ mahsulot holati sifatida qabul qilinishi mumkin, bu holda korrelyatsiyalar asosiy holatdan yuqori energiya oralig'ini hisobga olmagan holda eksponentsial ravishda pasayadi.^[9]

Bunday yemirilish relyativistik dinamika uchun uzoq vaqtdan beri ma'lum bo'lgan, ammo faqat Nyuton dinamikasi haqida taxmin qilgan. Lib-Robinson chegaralari relyativistik simmetriyani Hamiltonian bo'yicha mahalliy taxminlar bilan almashtirishga muvaffaq bo'ldi.

Lib-Shults-Mettis teoremasi

Lib-Shults-Mettis teorema shuni anglatadiki, Heisenberg antiferromagnitining izomorfik tagliklari bilan ikki tomonlama panjarada asosiy holati degeneratlanmagan, ya'ni noyob, ammo bo'shliq juda kichik bo'lishi mumkin.^[29]

Yagona uzunlikdagi va yarim integral Spin Affleck va Lib bilan bir o'lchovli va kvazi bir o'lchovli tizimlar uchun^[30] Lib, Shultz va Mettisning dastlabki natijalarini umumlashtirish,^[31] bo'shliq ekanligini isbotladi ${ displaystyle gamma _ {L}}$ spektrda asosiy holat yuqorida chegaralangan

${ displaystyle gamma _ {L} leq c / L,}$

qayerda ${ displaystyle L}$ panjaraning kattaligi va ${ displaystyle c}$ doimiy. Ushbu natijani kengaytirishga ko'p urinishlar qilingan yuqori o'lchamlar, ${ displaystyle d> 1}$,

Liv-Robinzon bog'langanidan Xastings foydalandi^[15] va Nachtergaele-Sims tomonidan^[32] yuqori o'lchovli holatlar uchun Lib-Shultz-Mettis teoremasining isboti sifatida bo'shliqning quyidagi chegarasi olingan:

${ displaystyle gamma _ {L} leq c log (L) / L.}$.

Gauss-Quadrature qoidalari orqali doimiylikni diskretlashtirish

2015-yilda, Lieb-Robinson bog'langanligi, shuningdek, hozirgi Hamiltoniyaliklar kontekstidan tashqarida dasturlarga ega bo'lishi mumkinligini ko'rsatdi. The Spin-Boson modeli osilatorlarning doimiyligi bilan birlashtirilgan spinning dinamikasini tavsiflaydi. U juda batafsil o'rganilgan va kvant tizimlarining keng doirasidagi kvant dissipativ ta'sirini tushuntiradi. Ruxsat bering ${ displaystyle H}$ Spin-Boson modelidagi Hamiltoniyani doimiy ravishda bosonik hammom bilan belgilang va ${ displaystyle H_ {L}}$ hammomni qo'shish uchun ajratilgan Spin-Boson modelini belgilang ${ displaystyle L in mathbb {N} ^ {+}}$ mos ravishda tanlangan chastotali garmonik osilatorlar Gauss kvadrati qoidalari. Barcha kuzatiladigan narsalar uchun ${ displaystyle A}$ Spin Hamiltonian bo'yicha kutish qiymatidagi xato ${ displaystyle A}$ Spin-Boson modelini diskretlashtirish yo'li bilan yuqoridagi diskretlashtirish sxemasi bo'yicha chegaralangan^[33]

${ displaystyle | { text {tr}} [e ^ {itH} Ae ^ {- itH}] - { text {tr}} [e ^ {itH_ {L}} Ae ^ {- itH_ {L}} ] | leq c , e ^ {- a (Lv | t |)},}$

()

qayerda ${ displaystyle c, a}$ ijobiy konstantalar va ${ displaystyle v}$ bu holda to'g'ridan-to'g'ri mutanosib bo'lgan Lieb-Robinson tezligi ${ displaystyle omega _ {max}}$, Spin-Boson modelidagi cho'milishning maksimal chastotasi. Bu erda diskret rejimlarning soni ${ displaystyle L}$ masofa rolini o'ynaydi ${ displaystyle d (X, Y)}$ Quyida keltirilgan tenglama (1). Bundan tashqari, harmonik osilatorlarning mahalliy Fok kosmik kesilishi natijasida kelib chiqadigan xatoni cheklash mumkin^[34]

Tajribalar

Lieb-Robinzon tezligini birinchi eksperimental kuzatish Cheno va boshq.^[35]

Adabiyotlar