Majburiy tushunchalar ro'yxati - List of forcing notions

Matematikada, majburlash yangi modellarni qurish usuli hisoblanadi M[G] ning to'plam nazariyasi umumiy pastki to'plamni qo'shish orqali G a poset P modelga M. Pozet P ishlatilgan yangi koinotda qanday bayonotlar mavjudligini aniqlaydi ("kengaytma"); qiziqish to'g'risidagi bayonotni majburlash uchun mos keladigan qurilishni talab qiladi P. Ushbu maqolada ba'zi posetslar ro'yxati keltirilgan P Ushbu qurilishda ishlatilgan.

Notation

P bu
V barcha to'plamlarning koinotidir
M to'plamlar nazariyasining hisoblanadigan o'tish davri modeli
G ning umumiy qismidir P ustida M.

Ta'riflar

P qondiradi hisoblanadigan zanjir holati agar har bir antichain bo'lsa P eng ko'p hisoblash mumkin. Bu shuni anglatadiki V va V[G] bir xil kardinallarga (va bir xil maxfiyliklarga) ega.
Ichki to‘plam D. ning P deyiladi zich agar har biri uchun bo'lsa p ∈ P ba'zilari bor q ∈ D. bilan q ≤ p.
A filtr kuni P bo'sh bo'lmagan kichik to'plam F ning P agar shunday bo'lsa p < q va p ∈ F keyin q ∈ Fva agar bo'lsa p ∈ F va q ∈ F keyin ba'zi bor r ∈ F bilan r ≤ p va r ≤ q.
Ichki to‘plam G ning P deyiladi umumiy ustida M agar bu har bir quyi to'plamga javob beradigan filtr bo'lsa P yilda M.

Amoeba majburlash

Amyobani majburlash amyoba tartibi, va o'lchovni qo'shadi 1 tasodifiy reallarning to'plami.

Koenni majburlash

Koenni majburlashda (nomi bilan nomlangan) Pol Koen ) P $ Delta $ ning cheklangan kichik qismidan funktsiyalar to'plami₂ × ω dan {0,1} gacha va p < q agar p ⊇ q.

Ushbu poset hisoblanadigan zanjir shartini qondiradi. Ushbu poset bilan majburlash ω ni qo'shadi₂ modelga xos realliklar; bu Koen tomonidan doimiylik gipotezasining mustaqilligini asl isbotida ishlatgan poset edi.

Umuman olganda, $ Delta $ o'rnini bosishi mumkin₂ har qanday kardinal by tomonidan, shuning uchun doimiylik kamida κ o'lchamga ega bo'lgan modelni tuzing. Bu erda faqat bitta cheklov - $ infty $ kofinalga ega emas.

Grigorif majburlamoqda

Grigorifni majburlash (Serj Grigorifdan keyin) tekinni yo'q qiladi ultrafilter on da.

Xechlerni majburlash

Xeklerni majburlash (Stiven Xerman Xeklerdan keyin) Martinning aksiomasi shundan iboratki, har bir oila o'zidan kam oilani nazarda tutadi v ω dan ω gacha bo'lgan funktsiyalar oxir-oqibat bunday funktsiyalar tomonidan boshqariladi.

P juftliklar to'plami (s, E) qayerda s - bu natural sonlarning cheklangan ketma-ketligi (cheklangan tartibdan ω gacha funktsiyalar sifatida qaraladi) va E ba'zi bir belgilangan to'plamning cheklangan kichik to'plamidir G ω dan ω gacha funktsiyalar. Element (s, E) nisbatan kuchli (t, F) agar t tarkibida mavjud s, F tarkibida mavjud Eva agar bo'lsa k domenida joylashgan s lekin emas t keyin s(k) > h(k) Barcha uchun h yilda F.

Jokush – Soarni majburlash

Bilan majburlash ${ displaystyle Pi _ {1} ^ {0}}$ sinflar tomonidan ixtiro qilingan Robert Sare va Karl Jokush boshqa natijalar qatori, isbotlash uchun past asosli teorema. Bu yerda P bo'sh bo'lmaganlar to'plamidir ${ displaystyle Pi _ {1} ^ {0}}$ kichik guruhlari ${ displaystyle 2 ^ { omega}}$ (cheksiz yo'llar to'plamini anglatadi, hisoblash mumkin kichik daraxtlar ning ${ displaystyle 2 ^ {< omega}}$ ), inklyuziya bilan buyurtma qilingan.

Qaytadan majburlash

Cheklangan tayanchlar bilan takrorlangan majburlash tomonidan kiritilgan Solovay va Tennenbaum ning izchilligini ko'rsatish uchun Suslin gipotezasi. Iston ni aniqlash uchun takrorlanadigan majburlashning yana bir turini joriy qildi doimiylik funktsiyasining mumkin bo'lgan qiymatlari oddiy kardinallarda. Hisoblanadigan qo'llab-quvvatlash bilan takrorlangan majburlash tekshirildi Laver Borel gumonining izchilligini isbotlagan holda, Baumgartner, Axiom A majburlashni joriy qilgan va Shelah, kim to'g'ri majburlashni joriy qildi. Qayta ko'rib chiqilgan hisoblashni qo'llab-quvvatlash iteratsiyasi tomonidan kiritilgan Shelah Prikry majburlash kabi yarim to'g'ri majburlash va umumlashtirish, xususan Namba majburlash bilan ishlash.

Laver majburlash

Laver majburlash tomonidan ishlatilgan Laver hammasini aytadigan Borelning gumonini ko'rsatish kuchli o'lchov nol to'plamlari hisoblash mumkin, ZFC bilan mos keladi. (Borelning gumoni doimiy gipotezaga mos kelmaydi.)

P bu inklyuziya bilan buyurtma qilingan Laver daraxtlari to'plamidir.

A Laver daraxti p tabiiy sonlarning cheklangan ketma-ketliklari to'plamidir

p daraxt: p ning har qanday elementining har qanday boshlang'ich ketma-ketligini o'z ichiga oladi p
p o'zakka ega: maksimal tugun s(p) = s ∈ p shu kabi s ≤ t yoki t ≤ s Barcha uchun t yilda p,
Agar t ∈ p va s ≤ t keyin t cheksiz sonli vorislarga ega tn yilda p uchun n ∈ ω.

Agar G uchun umumiydir (P, ≤), keyin haqiqiy {s(p): p ∈ G}deb nomlangan Laver-real, noyob tarzda belgilaydi G.

Laverni majburlash qondiradi Laver mulki.

Levi yiqilib tushmoqda

Ushbu posetlar turli xil kardinallarni yiqitadi, boshqacha qilib aytganda ularni kattaligi jihatidan kichik kardinallarga teng bo'lishga majbur qiladi.

Kardinalni ω ga qulab tushirish: P - berilgan inal kardinaldan kichik bo'lgan barcha sonli tartibli tartiblarning to'plami. Agar $ p $ hisoblanmasa, unda bu poset bilan majburlash $ to infty $ ga tushadi.
Kardinalni boshqasiga qulatish: P - κ dan λ gacha bo'lgan (fixed va κ sobit kardinallar uchun) inal dan kichik bo'lgan kardinallikning pastki qismidan barcha funktsiyalar to'plami. Ushbu poset bilan majburlash λ dan κgacha qulaydi.
Levi yiqilib: Agar κ muntazam va λ ga kirish imkoni bo'lmasa, u holda P funktsiyalar to'plamidir p ning pastki to'plamlari bo'yicha λ × κ domen hajmi κ va dan kam bo'lgan holda p(a, b) har bir kishi uchun (a, b) domenida p. Ushbu poset barcha kardinallarni λ dan κ gacha yiqitadi, ammo λ ni κ ning o'rnini egallaydi.

Levi qulab tushishi uchun nom berilgan Azriel Levi.

Magidor majburlash

Tomonidan ishlab chiqilgan ko'plab majburiy tushunchalar orasida Magidor, eng yaxshi tanilganlardan biri bu kardinalning kofinalligini ma'lum kichikroq kardinalga o'zgartirish uchun ishlatiladigan Prikry majburlashning umumlashtirilishi.

Mathias majburlash

Ning elementi P cheklangan to'plamdan iborat juftlikdir s natural sonlar va cheksiz to'plam A ning har bir elementi kabi tabiiy sonlarning soni s ning har bir elementidan kam A. Buyurtma tomonidan belgilanadi

(t, B) dan kuchliroq (s, A) ((t, B) < (s, A)) agar s ning boshlang'ich segmentidir t, B ning pastki qismi Ava t tarkibida mavjud s ∪ A.

Mathias majburlash nomi berilgan Adrian Matias.

Namba majburlash

Namba majburlash (Kanji Nambadan keyin) ω ning maxfiyligini o'zgartirish uchun ishlatiladi₂ ga ω holda qulab tushmoqda ω₁.

P barcha daraxtlarning to'plamidir ${ displaystyle T subseteq omega _ {2} ^ {< omega}}$ (ω dan kam sonli tartibli tartiblar to'plamining bo'sh bo'lmagan pastga yopiq kichik to'plamlari₂) har qanday mulkka ega s yilda T ning kengaytmasi bor T qaysi bor ${ displaystyle aleph _ {2}}$ darhol vorislar. P inklyuziya bilan buyurtma qilinadi (ya'ni, daraxtlar kuchliroq shartlardir). Umumiy filtrdagi barcha daraxtlarning kesishishi ω kofinal bo'lgan hisoblanadigan ketma-ketlikni belgilaydi₂.

Namba 'majburlashning pastki qismidir P Shunday qilib, quyida buyurtma chiziqli va har bir tugunga ega bo'lgan tugun mavjud ${ displaystyle aleph _ {2}}$ darhol vorislar.

Magidor va Shelah agar CH ushlab tursa, Namba majburlashning umumiy ob'ekti Namba 'tomonidan umumiy kengaytmada mavjud emas va aksincha.^[1]^[2]

Prikri majburlash

Prikrida majburlash (Karel Prikridan keyin) P juftliklar to'plami (s, A) qayerda s sobit o'lchanadigan kardinal κ ning cheklangan kichik to'plami va A sobit normal o'lchov elementidir D. on da. Shart (s, A) dan kuchliroq (t, B) agar t ning boshlang'ich segmentidir s, A tarkibida mavjud Bva s tarkibida mavjud t ∪ B. Ushbu majburiy tushunchadan barcha kardinallarni saqlagan holda $ mathbb {co} $ ga almashtirish uchun foydalanish mumkin.

Mahsulotni majburlash

Majburiy shartlar mahsulotini olish bir vaqtning o'zida barcha shartlarni majburlash usulidir.

Yakuniy mahsulotlar: Agar P va Q posets, mahsulot poseti P × Q tomonidan belgilangan qisman tartibga ega (p₁, q₁) ≤ (p₂, q₂) agar p₁ ≤ p₂ va q₁ ≤ q₂.
Cheksiz mahsulotlar: Pets to'plamining hosilasi P_men, men ∈ Men, har birining eng katta elementi 1 funktsiyalar to'plamidir p kuni Men bilan p(men) ∈ P(men) va shunday p(men) = 1 cheklangan sondan tashqari hamma uchun men. Buyurtma tomonidan beriladi p ≤ q agar p(men) ≤ q(men) Barcha uchun men.
The Easton mahsuloti (Uilyam Bigelow Eastondan keyin) posets to'plami P_men, men ∈ Men, qayerda Men bu kardinallar to'plami bo'lib, funktsiyalar to'plamidir p kuni Men bilan p(men) ∈ P(men) Shunday qilib, har bir doimiy kardinal uchun $ a $ ning $ a $ elementlari soni p(a) ≠ 1 γ dan kam.

Radin majburlash

Magidor majburlashning texnik jihatdan umumlashtirilishi Radin majburlash (Lon Berk Radindan keyin) ba'zi bir doimiy kardinal to ga yopiq, cheklanmagan qism qo'shadi.

Agar $ pi $ etarlicha katta kardinal bo'lsa, unda majburlash $ mathbb {doimiy} $ ni ushlab turadi, o'lchovli, superkompakt, va boshqalar.

Tasodifiy majburlash

P ijobiy o'lchovning [0,1] Borel kichik to'plamlari to'plami, bu erda p dan kuchliroq deyiladi q agar u tarkibida bo'lsa q. Umumiy to'plam G keyin "tasodifiy real" ni kodlaydi: noyob real x_G barcha ratsional intervallarda [r, s]^V[G] shu kabi [r, s]^V ichida G. Bu haqiqiy "tasodifiy" ma'noda, agar bo'lsa X ning har qanday kichik qismi [0, 1]^V yotgan holda o'lchov 1 V, keyin x_G ∈ X.

Torbalar majbur qilmoqda

P cheklanganlar to'plamidagi barcha mukammal daraxtlarning to'plamidir {0, 1} ketma-ketliklar. (Daraxt T uning a'zolarining barcha boshlang'ich segmentlarini o'z ichiga olgan cheklangan ketma-ketliklar to'plamidir va agar biron bir element uchun mukammal deb nomlangan bo'lsa t ning T segment mavjud s kengaytirish t ikkalasi ham s0 va s1 ichida T.) Daraxt p dan kuchliroq q agar p tarkibida mavjud q. Zo'r daraxtlar bilan majburlash tomonidan ishlatilgan Jerald Enoch qoplari haqiqiy ishlab chiqarish a minimal konstruktivlik darajasi bilan.

Majburlangan sumkalarda Mulkni qoplaydi.

Tezkor klubni suratga olish

Uchun S ning statsionar kichik qismi ${ displaystyle omega _ {1}}$ biz o'rnatdik ${ displaystyle P = { langle sigma, C rangle , colon sigma}$ dan yopiq ketma-ketlikdir S va C ning yopiq cheksiz kichik to'plami ${ displaystyle omega _ {1} }}$ tomonidan buyurtma qilingan ${ displaystyle langle sigma ', C' rangle leq langle sigma, C rangle}$ iff ${ displaystyle sigma '}$ tugaydi ${ displaystyle sigma}$ va ${ displaystyle C ' subseteq C}$ va ${ displaystyle sigma ' subseteq sigma cup C}$ . Yilda ${ displaystyle V [G]}$ , bizda shunday ${ displaystyle bigcup { sigma , colon ( mavjud C) ( langle sigma, C rangle in G) }}$ ning yopiq cheksiz kichik to'plami S deyarli har bir klubda mavjud V. ${ displaystyle aleph _ {1}}$ saqlanib qolgan. Ushbu usul tomonidan kiritilgan Ronald Jensen ning izchilligini ko'rsatish uchun doimiy gipoteza va Suslin gipotezasi.

Hisoblanadigan shartlarga ega bo'lgan klubni otish

Uchun S ning statsionar kichik qismi ${ displaystyle omega _ {1}}$ biz o'rnatdik P dan yopiq hisoblanadigan ketma-ketliklar to'plamiga teng S. Yilda ${ displaystyle V [G]}$ , bizda shunday ${ displaystyle bigcup G}$ ning yopiq cheksiz kichik to'plami S va ${ displaystyle aleph _ {1}}$ saqlanib qoladi va agar CH ushlab tursa, unda barcha kardinallar saqlanib qoladi.

Cheklangan shartlarga ega bo'lgan klubni otish

Uchun S ning statsionar kichik qismi ${ displaystyle omega _ {1}}$ biz o'rnatdik P sonli sonli juft juftliklar to'plamiga teng, masalan ${ displaystyle p in P}$ va ${ displaystyle langle alfa, beta rangle in p}$ keyin ${ displaystyle alpha leq beta}$ va ${ displaystyle alpha in S}$ va har doim ${ displaystyle langle alpha, beta rangle}$ va ${ displaystyle langle gamma, delta rangle}$ ning aniq elementlari p keyin ham ${ displaystyle beta < gamma}$ yoki ${ displaystyle delta < alpha}$ . P teskari qo'shilish bilan buyurtma qilinadi. Yilda ${ displaystyle V [G]}$ , bizda shunday ${ displaystyle { alpha , colon ( mavjud beta) ( langle alfa, beta rangle in bigcup G) }}$ ning yopiq cheksiz kichik to'plami S va barcha kardinallar saqlanib qoladi.

Kumush majburlash

Kumush majburlash (keyin Jek Xovard Kumush ) - bu natural sonlardan butun qismli funktsiyalarning to'plami {0, 1} uning domeni coinfinite; yoki teng ravishda barcha juftliklar to'plami (A, p), qayerda A - bu cheksiz komplektli natural sonlarning quyi qismidir va p dan funktsiya A sobit 2 elementli to'plamga. Shart q shartdan kuchliroq p agar q uzaytiradi p.

Kumush majburlash Fuziyani qondiradi Mulkni qoplaydi, va reallarga nisbatan minimal (lekin minimal emas).

Vopěnka majburlash

Vopěnka majburlash (keyin Petr Vopenka ) to'plamni umumiy ravishda qo'shish uchun ishlatiladi ${ displaystyle A}$ ordinallarning to ${ displaystyle { color {blue} { text {HOD}}}}$ .Birinchidan aniqlang ${ displaystyle P '}$ bo'sh bo'lmaganlarning to'plami sifatida ${ displaystyle { text {OD}}}$ quvvat to'plamining kichik to'plamlari ${ displaystyle { mathcal {P}} ( alfa)}$ ning ${ displaystyle alpha}$ , qayerda ${ displaystyle A subseteq alpha}$ , shu jumladan buyurtma: ${ displaystyle p leq q}$ iff ${ displaystyle p subseteq q}$ .Har bir holat ${ displaystyle p in P '}$ koreyka bilan ifodalanishi mumkin ${ displaystyle ( beta, gamma, varphi)}$ qayerda ${ displaystyle x in p Leftrightarrow V _ { beta} models varphi ( gamma, x)}$ , Barcha uchun ${ displaystyle x subseteq alpha}$ .Ortadagi tarjima ${ displaystyle p}$ va uning eng kichik vakili ${ displaystyle { text {OD}}}$ va shuning uchun ${ displaystyle P '}$ poset uchun izomorfikdir ${ displaystyle P in { text {HOD}}}$ (elementlarning minimal vakili bo'lgan shartlar ${ displaystyle P '}$ ). Ushbu poset - bu Vopenka kichik guruhlarini majburlash ${ displaystyle alpha}$ .Ta'riflash ${ displaystyle G_ {A}}$ elementlar uchun barcha namoyishlar to'plami sifatida ${ displaystyle p in P '}$ shu kabi ${ displaystyle A in p}$ , keyin ${ displaystyle G_ {A}}$ bu ${ displaystyle { text {HOD}}}$ - umumiy va ${ displaystyle A in { text {HOD}} [G_ {A}]}$ .

Adabiyotlar

^ Shelah, S., To'g'ri va noto'g'ri majburlash (XI.4.2 da'vo), Springer, 1998
^ Schlindwein, C., Shelah-ning semiproper bo'lmagan takrorlash bo'yicha ishi, I, Matematik mantiq uchun arxiv, vol. 47, yo'q. 6, 579 - 606 betlar (2008)

Jech, Tomas (2003), Nazariyani o'rnating: Millennium Edition, Matematikadagi Springer monografiyalari, Berlin, Nyu-York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-44085-7
Kunen, Kennet (1980), Nazariyani o'rnating: Mustaqillikning isbotlari bilan tanishish, Elsevier, ISBN 978-0-444-86839-8
Kunen, Kennet (2011), To'siq nazariyasi, Mantiq bo'yicha tadqiqotlar, 34, London: kollej nashrlari, ISBN 978-1-84890-050-9, Zbl 1262.03001

Tashqi havolalar

A.Miller (2009), Tidbitslarni majburlash.

[1] Shelah, S., To'g'ri va noto'g'ri majburlash (XI.4.2 da'vo), Springer, 1998

[2] Schlindwein, C., Shelah-ning semiproper bo'lmagan takrorlash bo'yicha ishi, I, Matematik mantiq uchun arxiv, vol. 47, yo'q. 6, 579 - 606 betlar (2008)

[1]

[2]