O'rtacha egrilik oqimi - Mean curvature flow

Sohasida differentsial geometriya yilda matematika, egrilik oqimi degani a misolidir geometrik oqim ning yuqori yuzalar a Riemann manifoldu (masalan, silliq yuzalar 3 o'lchovli Evklid fazosi ). Intuitiv ravishda yuzalar oilasi o'rtacha egrilik oqimi ostida rivojlanadi, agar sirt tezligi normal tezligi bir nuqta harakatlanadigan bo'lsa, egrilik degani yuzaning Masalan, dumaloq soha o'rtacha egrilik oqimi ostida ichki tomon teng ravishda qisqarishi bilan rivojlanadi (chunki sharning o'rtacha egrilik vektori ichkariga qarab yo'naladi). Maxsus holatlardan tashqari, o'rtacha egrilik oqimi rivojlanadi o'ziga xoslik.

Yopiq hajm doimiy bo'lgan cheklov ostida bu deyiladi sirt tarangligi oqim.

Bu parabolik qisman differentsial tenglama, va "tekislash" deb talqin qilinishi mumkin.

Mavjudlik va o'ziga xoslik

Quyidagilar tomonidan ko'rsatildi Maykl Geyj va Richard S. Xemilton parabolik geometrik oqimlar uchun Hamiltonning umumiy mavjudlik teoremasini qo'llash sifatida.^[1]^[2]

Ruxsat bering ${displaystyle M}$ ixcham silliq manifold bo'ling, ruxsat bering ${displaystyle (M ', g)}$ to'liq silliq Riemann manifoldu bo'ling va ruxsat bering ${displaystyle f: M o M '}$ silliq suvga cho'mish. Keyin ijobiy raqam bor ${displaystyle T}$ , bu cheksiz bo'lishi mumkin va xarita ${displaystyle F: [0, T) imlar M o M '}$ quyidagi xususiyatlarga ega:

${displaystyle F (0, cdot) = f}$
${displaystyle F (t, cdot): M o M '}$ har qanday kishi uchun yumshoq suvga cho'mishdir ${displaystyle qalay [0, T)}$
kabi ${displaystyle tsearrow 0,}$ bittasi bor ${displaystyle F (t, cdot) o f}$ yilda ${displaystyle C ^ {infty}}$
har qanday kishi uchun ${displaystyle (t_ {0}, p) in (0, T) imes M}$ , egri chiziq ${displaystyle tmapsto F (t, p)}$ da ${displaystyle t_ {0}}$ ning o'rtacha egrilik vektoriga teng ${displaystyle F (t_ {0}, cdot)}$ da ${displaystyle p}$ .
agar ${displaystyle {widetilde {F}}: [0, {widetilde {T}}) imes M o M '}$ yuqoridagi to'rtta xususiyatga ega bo'lgan boshqa xarita, keyin ${displaystyle Tleq {widetilde {T}}}$ va ${displaystyle {widetilde {F}} (t, p) = F (t, p)}$ har qanday kishi uchun ${displaystyle (t, p) [0, {widetilde {T}}) imes M.}$

Shubhasiz, ning cheklanishi ${displaystyle F}$ ga ${displaystyle (0, T) imes M}$ bu ${displaystyle C ^ {infty}}$ .

Biri murojaat qiladi ${displaystyle F}$ dastlabki ma'lumotlar bilan (maksimal darajada kengaytirilgan) o'rtacha egrilik oqimi sifatida ${displaystyle f}$ .

Konvergentsiya teoremalari

Hamiltonning 1982 yilgi epoxal ishidan so'ng Ricci oqimi, 1984 yilda Gerxard Xyusken quyidagi o'xshash natijani berish uchun o'rtacha egrilik oqimi uchun bir xil usullarni qo'llagan:^[3]

Agar ${displaystyle (M ', g)}$ Evklid fazosi ${displaystyle mathbb {R} ^ {n + 1}}$ , qayerda ${displaystyle ngeq 2}$ ning o'lchamini bildiradi ${displaystyle M}$ , keyin ${displaystyle T}$ albatta cheklangan. Agar "dastlabki suvga cho'mish" ning ikkinchi asosiy shakli bo'lsa ${displaystyle f}$ qat'iy ijobiy, keyin suvga cho'mishning ikkinchi asosiy shakli ${displaystyle F (t, cdot)}$ har bir kishi uchun ham ijobiydir ${displaystyle qalay (0, T)}$ Va bundan tashqari, agar kimdir funktsiyani tanlasa ${displaystyle c: (0, T) o (0, infty)}$ shunday qilib Riemann manifoldining hajmi ${displaystyle (M, (c (t) F (t, cdot)) ^ {ast} g_ {ext {Euc}})}$ dan mustaqildir ${displaystyle t}$ , keyin sifatida ${displaystyle trowrow T}$ suvga cho'mish ${displaystyle c (t) F (t, cdot): M o mathbb {R} ^ {n + 1}}$ uning tasviri cho'milishga silliq yaqinlashadi ${displaystyle mathbb {R} ^ {n + 1}}$ dumaloq shar.

E'tibor bering, agar ${displaystyle ngeq 2}$ va ${displaystyle f: M o mathbb {R} ^ {n + 1}}$ bu ikkinchi darajali shakli ijobiy bo'lgan silliq gipersurfli immersiya bo'lib, keyin Gauss xaritasi ${displaystyle u: M o S ^ {n}}$ bu diffeomorfizmdir va shuning uchun odam buni boshidan biladi ${displaystyle M}$ diffeomorfikdir ${displaystyle S ^ {n}}$ va elementar differentsial topologiyadan, yuqorida ko'rib chiqilgan barcha immersiyalar ko'milishdir.

Geyj va Xemilton Xyuskenning natijasini ish bo'yicha kengaytirdilar ${displaystyle n = 1}$ . Metyu Grayson (1987) shuni ko'rsatdiki, agar ${displaystyle f: S ^ {1} o mathbb {R} ^ {2}}$ har qanday silliq ko'mish, so'ngra dastlabki ma'lumotlar bilan o'rtacha egrilik oqimi ${displaystyle f}$ oxir-oqibat faqatgina ijobiy egrilikka ega bo'lgan ko'milishlardan iborat bo'lib, bu vaqtda Geyj va Xemiltonning natijalari qo'llaniladi.^[4] Qisqa bayoni; yakunida:

Agar ${displaystyle f: S ^ {1} o mathbb {R} ^ {2}}$ silliq ko'milgan, keyin o'rtacha egrilik oqimini ko'rib chiqing ${displaystyle F: [0, T) imes S ^ {1} o mathbb {R} ^ {2}}$ dastlabki ma'lumotlar bilan ${displaystyle f}$ . Keyin ${displaystyle F (t, cdot): S ^ {1} o mathbb {R} ^ {2}}$ har bir kishi uchun silliq ko'mishdir ${displaystyle qalay (0, T)}$ va u erda mavjud ${displaystyle t_ {0} (0, T)} da$ shu kabi ${displaystyle F (t, cdot): S ^ {1} o mathbb {R} ^ {2}}$ har bir kishi uchun ijobiy (tashqi) egrilikka ega ${displaystyle qalay (t_ {0}, T)}$ . Agar biror kishi funktsiyani tanlasa ${displaystyle c}$ Huysken natijasidagi kabi, keyin ham ${displaystyle trowrow T}$ ko'milgan joylar ${displaystyle c (t) F (t, cdot): S ^ {1} o mathbb {R} ^ {2}}$ tasviri yumaloq doira shaklidagi joylashuvga silliq yaqinlashadi.

Jismoniy misollar

O'rtacha egrilik oqimining eng tanish misoli evolyutsiyada sovun plyonkalari. Shunga o'xshash 2 o'lchovli hodisa - bu suv yuzasida yog 'tomchilari bo'lib, ular disklarga aylanadi (aylana chegarasi).

O'rtacha egrilik oqimi dastlab toza metallni tavlashda don chegaralarini shakllantirish modeli sifatida taklif qilingan.

Xususiyatlari

O'rtacha egrilik oqimi ekstremal qiladi sirt maydoni va minimal yuzalar o'rtacha egrilik oqimi uchun muhim nuqtalar; minima echimini toping izoperimetrik muammo.

A ga o'rnatilgan manifoldlar uchun Käler-Eynshteyn kollektori, agar sirt a Lagrangian submanifold, o'rtacha egrilik oqimi Lagranj tipiga kiradi, shuning uchun sirt Lagranj submanifoldlari sinfida rivojlanadi.

Xuiskenning monotonlik formulasi ning monotonlik xususiyatini beradi konversiya vaqt orqaga qaytarilgan issiqlik yadrosi o'rtacha egrilik oqimidan o'tgan sirt bilan.

Tegishli oqimlar:

Egri qisqartiruvchi oqim, o'rtacha egrilik oqimining bir o'lchovli holati
sirt tarangligi oqimi
lagrangiyalik o'rtacha egrilik oqimi
The teskari o'rtacha egrilik oqimi

Uch o'lchovli sirtning o'rtacha egrilik oqimi

Tomonidan berilgan sirtning o'rtacha egrilik oqimi uchun differentsial tenglama ${displaystyle z = S (x, y)}$ tomonidan berilgan

{displaystyle {frac {qisman S} {qisman t}} = 2D H (x, y) {sqrt {1 + chap ({frac {qisman S} {qisman x}} ight) ^ {2} + chap ({frac {qisman S} {qisman y}} kech) ^ {2}}}}

bilan ${displaystyle D}$ egri chiziq va sirt tezligi bilan bog'liq doimiy va o'rtacha egrilik

{displaystyle {egin {aligned} H (x, y) & = {frac {1} {2}} {frac {chap (1 + chap ({frac {qisman S} {qisman x}} tun) ^ {2} ight) {frac {qisman ^ {2} S} {qisman y ^ {2}}} - 2 {frac {qisman S} {qisman x}} {frac {qisman S} {qisman y}} {frac {qisman ^ {2} S} {qisman xpartial y}} + chap (1 + chap ({frac {qisman S} {qisman y}} ight) ^ {2} ight) {frac {qisman ^ {2} S} {qisman x ^ {2}}}} {chap (1 + chap ({frac {qisman S} {qisman x}} tun) ^ {2} + chap ({frac {qisman S} {qisman y}} tun) ^ {2 } ight) ^ {3/2}}}. oxiri {hizalanmış}}}

Chegaralarda ${displaystyle | {frac {qisman S} {qisman x}} | ll 1}$ va ${displaystyle | {frac {qisman S} {qisman y}} | ll 1}$ , shuning uchun sirt odatdagidek z o'qiga parallel ravishda deyarli tekislikka ega bo'lib, bu a ga kamayadi diffuziya tenglamasi

{displaystyle {frac {qisman S} {qisman t}} = D abla ^ {2} S}

An'anaviy diffuziya tenglamasi chiziqli parabolik qisman differentsial tenglama bo'lib, o'ziga xos xususiyatlarni rivojlantirmasa (vaqt oldinga siljiganida), o'rtacha egrilik oqimi o'ziga xoslikni rivojlantirishi mumkin, chunki u chiziqli bo'lmagan parabolik tenglama. Umuman olganda, o'rtacha egrilik oqimlari ostida o'ziga xosliklarning oldini olish uchun yuzaga qo'shimcha cheklovlar qo'yish kerak.

Har qanday silliq qavariq yuza boshqa o'ziga xosliklarsiz, o'rtacha egrilik oqimi ostida bir nuqtaga qulab tushadi va shu bilan shar shakliga yaqinlashadi. Ikki yoki undan ortiq o'lchamdagi sirtlar uchun bu teorema Gerxard Xyusken;^[5] bir o'lchovli uchun egri qisqartiruvchi oqim bu Geyg-Gemilton-Grayson teoremasi. Shu bilan birga, shardan tashqari ikki yoki undan ortiq o'lchamdagi ko'milgan yuzalar mavjud bo'lib, ular o'rtacha egrilik oqimi ostida bir nuqtaga qisqarganda o'zlariga o'xshash bo'lib qoladilar, shu jumladan Angenent torus.^[6]

Misol: o'rtacha egrilik oqimi ${displaystyle m}$ - o'lchovli sohalar

O'rtacha egrilik oqimining oddiy misoli konsentrik dumaloq oilasi tomonidan keltirilgan giperferalar yilda ${displaystyle mathbb {R} ^ {m + 1}}$ . An ning o'rtacha egriligi ${displaystyle m}$ - radiusning o'lchovli sferasi ${displaystyle R}$ bu ${displaystyle H = m / R}$ .

Sferaning aylanish simmetriyasi (yoki umuman, ostida o'rtacha egrilikning o'zgarmasligi tufayli izometriyalar ) o'rtacha egrilik oqimi tenglamasi ${displaystyle kısmi _ {t} F = -Hu}$ ga kamaytiradi oddiy differentsial tenglama, radiusning dastlabki sferasi uchun ${displaystyle R_ {0}}$ ,

{displaystyle {egin {aligned} {frac {ext {d}} {{ext {d}} t}} R (t) & = - {frac {m} {R (t)}}, R (0) & = R_ {0} .end {aligned}}}

Ushbu ODE ning echimi (olingan, masalan, tomonidan o'zgaruvchilarni ajratish )

{displaystyle R (t) = {sqrt {R_ {0} ^ {2} -2mt}}}

,

mavjud bo'lgan ${displaystyle qalay (-finty, R_ {0} ^ {2} / 2m)}$ .^[7]

Adabiyotlar

^ Geyg, M .; Xemilton, R.S. (1986). "Issiqlik tenglamasi kichraygan qavariq tekislik egri chiziqlari". J. Diferensial Geom. 23 (1): 69–96.
^ Xemilton, Richard S. (1982). "Ijobiy Ricci egriligiga ega uch manifold". J. Differentsial geometriya. 17 (2): 255–306.
^ Xyuzken, Gerxard (1984). "Sharsimon qavariq yuzalarning egriligi bo'yicha oqim". J. Diferensial Geom. 20 (1): 237–266.
^ Grayson, Metyu A. (1987). "Issiqlik tenglamasi o'rnatilgan tekislik egri chiziqlarini yumaloq nuqtalarga qisqartiradi". J. Diferensial Geom. 26 (2): 285–314.
^ Xyuzken, Gerxard (1990), "O'rtacha egrilik oqimining o'ziga xosliklari uchun asimptotik xatti-harakatlar", Differentsial geometriya jurnali, 31 (1): 285–299, JANOB 1030675.
^ Yaratgan, Sigurd B. (1992), "Kichrayayotgan donutlar" (PDF), Lineer bo'lmagan diffuziya tenglamalari va ularning muvozanat holatlari, 3 (Greginog, 1989), Lineer bo'lmagan differentsial tenglamalarning rivojlanishi va ularning qo'llanilishi, 7, Boston, MA: Birkxauzer, 21-38 betlar, JANOB 1167827.
^ Ekker, Klaus (2004), O'rtacha egrilik oqimi uchun muntazamlik nazariyasi, Lineer bo'lmagan differentsial tenglamalarning rivojlanishi va ularning qo'llanilishi, 57, Boston, MA: Birkxauzer, doi:10.1007/978-0-8176-8210-1, ISBN 0-8176-3243-3, JANOB 2024995.

Ekker, Klaus (2004), O'rtacha egrilik oqimi uchun muntazamlik nazariyasi, Lineer bo'lmagan differentsial tenglamalarning rivojlanishi va ularning qo'llanilishi, 57, Boston, MA: Birkxauzer, doi:10.1007/978-0-8176-8210-1, ISBN 0-8176-3243-3, JANOB 2024995.
Mantegazza, Karlo (2011), O'rtacha egrilik oqimi bo'yicha ma'ruza yozuvlari, Matematikadagi taraqqiyot, 290, Bazel: Birkhäuser / Springer, doi:10.1007/978-3-0348-0145-4, ISBN 978-3-0348-0144-7, JANOB 2815949.
Lu, Konglin; Cao, Yan; Mumford, Devid (2002), "Egrilik oqimlari ostida sirt evolyutsiyasi", Vizual aloqa va tasvirni namoyish qilish jurnali, 13 (1–2): 65–81, doi:10.1006 / jvci.2001.0476. Ayniqsa, 3a va 3b tenglamalariga qarang.

[1] Geyg, M .; Xemilton, R.S. (1986). "Issiqlik tenglamasi kichraygan qavariq tekislik egri chiziqlari". J. Diferensial Geom. 23 (1): 69–96.

[2] Xemilton, Richard S. (1982). "Ijobiy Ricci egriligiga ega uch manifold". J. Differentsial geometriya. 17 (2): 255–306.

[3] Xyuzken, Gerxard (1984). "Sharsimon qavariq yuzalarning egriligi bo'yicha oqim". J. Diferensial Geom. 20 (1): 237–266.

[4] Grayson, Metyu A. (1987). "Issiqlik tenglamasi o'rnatilgan tekislik egri chiziqlarini yumaloq nuqtalarga qisqartiradi". J. Diferensial Geom. 26 (2): 285–314.

[5] Xyuzken, Gerxard (1990), "O'rtacha egrilik oqimining o'ziga xosliklari uchun asimptotik xatti-harakatlar", Differentsial geometriya jurnali, 31 (1): 285–299, JANOB 1030675.

[6] Yaratgan, Sigurd B. (1992), "Kichrayayotgan donutlar" (PDF), Lineer bo'lmagan diffuziya tenglamalari va ularning muvozanat holatlari, 3 (Greginog, 1989), Lineer bo'lmagan differentsial tenglamalarning rivojlanishi va ularning qo'llanilishi, 7, Boston, MA: Birkxauzer, 21-38 betlar, JANOB 1167827.

[7] Ekker, Klaus (2004), O'rtacha egrilik oqimi uchun muntazamlik nazariyasi, Lineer bo'lmagan differentsial tenglamalarning rivojlanishi va ularning qo'llanilishi, 57, Boston, MA: Birkxauzer, doi:10.1007/978-0-8176-8210-1, ISBN 0-8176-3243-3, JANOB 2024995.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]