Qavariqlikning moduli va xarakteristikasi - Modulus and characteristic of convexity

Yilda matematika, konveksiya moduli va konveksiyaga xos xususiyat "qanday qilib" o'lchovlari qavariq " birlik to'pi a Banach maydoni bu. Qavariq modul qaysidir ma'noda bilan bir xil munosabatlarga ega ε-δ ta'rifi bir tekis konveksiya sifatida uzluksizlik moduli ga qiladi ε-δ ta'rifi uzluksizlik.

Ta'riflar

The konveksiya moduli Banach makonidan (X, || · ||) funktsiya δ : [0, 2] → [0, 1] tomonidan belgilanadi

${displaystyle delta (varepsilon) = inf chap {1-left | {frac {x + y} {2}} ight |,:, x, yin S, | x-y | geq varepsilon ight},}$

qayerda S ning birlik sferasini bildiradi (X, || ||). Ning ta'rifidaδ(ε), shuningdek, barcha vektorlar bo'yicha cheksizni qabul qilishi mumkin x, y yildaX shu kabi ǁxǁ, ǁyǁ ≤ 1 va ǁx − yǁ ≥ ε.^[1]

The konveksiyaga xos xususiyat bo'shliq (X, || ||) bu raqam ε₀ tomonidan belgilanadi

${displaystyle varepsilon _ {0} = sup {varepsilon,:, delta (varepsilon) = 0}.}$

Ushbu tushunchalar J. A. Klarkson tomonidan bir tekis konveksiyani umumiy o'rganishda (Klarkson (1936); ning bayonotlarini o'z ichiga olgan bir xil qog'oz Klarksonning tengsizliklari ). "Qavariqlik moduli" atamasi M. M. Day tufayli paydo bo'lgan ko'rinadi.^[2]

Xususiyatlari

• Qavariqlik moduli, δ(ε), a kamaymaydigan funktsiyasi εva miqdor δ(ε) / ε ham kamaymaydi(0, 2].^[3] Qavariqlik modulining o'zi a bo'lishi shart emas konveks funktsiyasi ningε.^[4] Shu bilan birga, konveks moduli quyidagi ma'noda konveks funktsiyasiga teng:^[5] konveks funktsiyasi mavjud δ₁(ε) shu kabi

${displaystyle delta (varepsilon / 2) leq delta _ {1} (varepsilon) leq delta (varepsilon), [0,2] da to'rtburchak varepsilon.$

• Normativ bo'shliq (X, ǁ ⋅ ǁ) bu bir tekis qavariq agar va faqat agar uning konveksga xos xususiyati ε₀ 0 ga teng, ya'ni, agar va faqat shunday bo'lsa δ(ε) > 0 har bir kishi uchunε > 0.
• Banach maydoni (X, ǁ ⋅ ǁ) a qat'iy qavariq bo'shliq (ya'ni birlik sharining chegarasi B qator segmentlarini o'z ichiga olmaydi) va agar shunday bo'lsa δ(2) = 1, ya'ni, Agarda antipodal nuqtalar (shaklning x va y = −x) birlik sharning masofasi 2 ga teng bo'lishi mumkin.
• Qachon X bir xil konveks bo'lib, u konveksiyaning quvvat turi moduli bilan ekvivalent normani qabul qiladi.^[6] Aynan u erda mavjud q ≥ 2 va doimiyv > 0 shu kabi

${displaystyle delta (varepsilon) geq c, varepsilon ^ {q}, [0,2] da to'rtburchak varepsilon.$

Qavariqlikning moduli ${displaystyle L ^ {p}}$ bo'shliqlar

Qavariqlikning moduli L ^ p bo'shliqlari uchun ma'lum.^[7] Agar ${displaystyle 1$, keyin u quyidagi yopiq tenglamani qondiradi:

${displaystyle left (1-delta _ {p} (varepsilon) + {frac {varepsilon} {2}} ight) ^ {p} + left (1-delta _ {p} (varepsilon) - {frac {varepsilon} {) 2}} ight) ^ {p} = 2.}$

Buni bilish ${displaystyle delta _ {p} (varepsilon +) = 0,}$ shunday deb taxmin qilish mumkin ${displaystyle delta _ {p} (varepsilon) = a_ {0} varepsilon + a_ {1} varepsilon ^ {2} + cdots}$. Buni yuqoridagilarga almashtirish va chap tomonni Teylor seriyasi sifatida kengaytirish ${displaystyle varepsilon = 0}$, hisoblash mumkin ${displaystyle a_ {i}}$ koeffitsientlar:

${displaystyle delta _ {p} (varepsilon) = {frac {p-1} {8}} varepsilon ^ {2} + {frac {1} {384}} (3-10p + 9p ^ {2} -2p ^) {3}) varepsilon ^ {4} + cdots.}$

Uchun ${displaystyle 2$

, bitta aniq ifodaga ega

${displaystyle delta _ {p} (varepsilon) = 1-chap (1-chap ({frac {varepsilon} {2}} ight) ^ {p} ight) ^ {frac {1} {p}}.}$

Shuning uchun, ${displaystyle delta _ {p} (varepsilon) = {frac {1} {p2 ^ {p}}} varepsilon ^ {p} + cdots}$.

Shuningdek qarang

• Bir tekis silliq joy

Izohlar

Adabiyotlar

• Beuzami, Bernard (1985) [1982]. Banach bo'shliqlari va ularning geometriyasi bilan tanishish (Ikkinchi qayta ishlangan tahrir). Shimoliy-Gollandiya. ISBN  0-444-86416-4. JANOB  0889253.
• Klarkson, Jeyms (1936), "Bir tekis qavariq bo'shliqlar", Trans. Amer. Matematika. Soc., Amerika matematik jamiyati, 40 (3): 396–414, doi:10.2307/1989630, JSTOR  1989630
• Fuster, Enrike Llorens. Metrik sobit nuqta nazariyasi bilan bog'liq ba'zi bir modullar va doimiylar Metrik sobit nuqta nazariyasi bo'yicha qo'llanma, 133-175, Kluwer Acad. Publ., Dordrext, 2001 yil. JANOB1904276
• Lindenstrauss, Joram va Benyamini, Yoav. Geometrik chiziqli bo'lmagan funktsional tahlil Kollokvium nashrlari, 48. Amerika Matematik Jamiyati.
• Lindenstrauss, Joram; Tsafriri, Lior (1979), Klassik Banach bo'shliqlari. II. Funktsiya bo'shliqlari, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete [Matematikaning natijalari va turdosh sohalar], 97, Berlin-Nyu-York: Springer-Verlag, x + 243 bet, ISBN  3-540-08888-1.
• Vitali D. Milman. Banax bo'shliqlarining geometrik nazariyasi II. Birlik sharining geometriyasi. Uspechi mat. Nauk, jild 26, yo'q. 6, 73-149, 1971; Rus matematikasi. So'rovnomalar, v.26 6, 80-159.