Moufang ko'pburchagi - Moufang polygon

Matematikada, Moufang ko'pburchaklar tomonidan umumlashtiriladi Jak Tits ning Moufang samolyotlari tomonidan o'rganilgan Rut Moufang va kamaytirilmaydi binolar harakatini tan olgan ikkinchi darajali ildiz guruhlari.Mavzular bo'yicha kitobda Tits va Richard Vayss[1] barchasini tasniflang. Tits va Vayss tomonidan mustaqil ravishda isbotlangan oldingi teorema,[2][3] Moufang ko'pburchagi umumlashtirilgan 3-gon, 4-gon, 6-gon yoki 8-gon bo'lishi kerakligini ko'rsatdi, shuning uchun yuqorida aytib o'tilgan kitobning maqsadi bu to'rt holatni tahlil qilish edi.

Ta'riflar

  • A umumlashtirilgan n-gon a ikki tomonlama grafik diametri n va atrof 2n.
  • Agar barcha tepaliklar kamida 3 valentlikka ega bo'lsa, grafik qalin deb nomlanadi.
  • Umumlashtirilgan narsaning ildizi n-gon uzunlik yo'lidir n.
  • Umumlashtirilgan xonadon n-gon - bu uzunlik 2n.
  • Ildizning ildiz kichik guruhi - bu ildizning ichki tepaliklaridan biriga qo'shni bo'lgan barcha tepaliklarni tuzatuvchi grafaning avtomorfizmlari kichik guruhi.
  • Moufang n-gon qalin umumlashtirilgan n-gon (bilan n> 2) shunday bo'ladiki, har qanday ildizning ildiz kichik guruhi ildizni o'z ichiga olgan kvartiralarda vaqtinchalik ta'sir qiladi.

Moufang 3-gons

Moufang 3-gon bilan kasallanish grafigi Moufang proektsion tekislik. Ushbu identifikatsiyalashda tekislikning nuqtalari va chiziqlari binoning tepalariga to'g'ri keladi Yolg'on guruhlar Moufang 3-gonsning uchta asosiy turi bo'lgan misollarni keltirib chiqaring. Haqiqiy to'rttasi bor bo'linish algebralari: haqiqiy sonlar, murakkab sonlar, kvaternionlar, va oktonionlar, mos ravishda 1,2,4 va 8 o'lchamlari. Bunday bo'linish algebrasi ustidagi proektsion tekislik keyinchalik Moufang 3-gonni keltirib chiqaradi.

Ushbu proektsion samolyotlar SL ga biriktirilgan binoga to'g'ri keladi3(R), SL3(C), A shaklining haqiqiy shakli5 va E ning haqiqiy shakliga6navbati bilan.

Birinchi diagrammada[tushuntirish kerak qanday diagramma?] doiradagi tugunlar uch o'lchovli vektor fazosidagi 1 bo'shliq va 2 bo'shliqni ifodalaydi. Ikkinchi diagrammada[tushuntirish kerak qanday diagramma?] doiradagi tugunlar ustidagi 3 o'lchovli vektor fazosidagi 1 bo'shliqni va 2 bo'shliqlarni aks ettiradi kvaternionlar, bu esa o'z navbatida A dumaloq tugunlari bilan ifodalangan 6 o'lchovli kompleks vektor fazosidagi ma'lum 2 bo'shliq va 4 bo'shliqni ifodalaydi.5 diagramma. To'rtinchi holat - E shaklidir6 - bu juda ajoyib va ​​uning Moufang 4-gons uchun analogi Vayss kitobining asosiy xususiyati hisoblanadi.

Haqiqiy sonlardan o'zboshimchalik maydoniga o'tib, Moufang 3-gonlarini yuqoridagi kabi uchta holatga bo'lish mumkin. Birinchi diagrammada bo'linish har qanday maydonda mavjud. Ikkinchi holat barcha assotsiativ, komutativ bo'lmagan bo'linish algebralariga tarqaladi; reallar ustida bular 2-darajaga (va 4-o'lchovga) ega bo'lgan kvaternionlar algebrasi bilan cheklangan, ammo ba'zi joylar boshqa darajadagi markaziy algebralarni tan oladilar. Uchinchi holat "muqobil" bo'linish algebralarini (assotsiativ qonunning zaiflashgan shaklini qondiradigan) va teoremasini o'z ichiga oladi. Richard Bryuk va Ervin Klaynfeld[4] bularning Keyli-Dikson algebralari ekanligini ko'rsatadi.[5] Shu bilan Moufang 3-gons munozarasi tugaydi.

Moufang 4-gons

Moufang 4-gons, shuningdek, Moufang to'rtburchagi deb ham ataladi, Moufang 4-gon tasnifi eng qiyin bo'lgan va Tits va Vayss uni yozishni boshlaganlarida, F4 tipidagi guruhlardan kelib chiqqan, shu paytgacha e'tiborga olinmagan tip paydo bo'ldi. Ularni uchta sinfga bo'lish mumkin:

  • (i) klassik guruhlardan kelib chiqadiganlar.
  • (ii) "aralash guruhlar" dan kelib chiqadiganlar (unda K, L va K xarakteristikalarining ikkita nomukammal maydonlari mavjud, K2 ⊂ L ⊂ K mavjud).
  • (iii) to'rtburchaklar algebralardan kelib chiqadiganlar.

Bu erda psevdo-kvadratik bo'shliqlardan kelib chiqadigan ba'zi klassik guruhlarni to'rtburchaklar algebralardan (Vays uni maxsus deb ataydi) olish mumkin degan ma'noda bir-birining ustiga bir-biriga o'xshash narsalar mavjud, ammo boshqa, maxsus bo'lmaganlar mavjud. Ularning eng muhimlari algebraik guruhlar E6, E7 va E8 turlaridan kelib chiqadi. Ular quyidagi diagrammalarga tegishli bo'lgan algebraik guruhlarning k shakllari: E6E7E8. E6 bitta haqiqiy sonlarda mavjud, ammo E7 va E8 raqamlarda yo'q. Vays to'rtburchaklar algebralarni bu barcha holatlarda Vayss deb ataydi, ammo odatiy emas. U F4 tipidagi guruhlardan kelib chiqadigan nuqsonli deb ataydigan yana bir turi mavjud. Bularning barchasi eng ekzotikdir - ular 2-xarakteristikada mutlaqo ajralmas maydon kengaytmalarini o'z ichiga oladi va Vayss ularni Tits bilan Moufang 4-gons tasnifi bo'yicha birgalikdagi ish paytida topishi kerak edi, ammo u bo'lishi kerak bo'lmagan, ammo bo'lmagan g'alati lakunani tadqiq qildi.

Touff va Vayss tomonidan Moufang 4-gons tasnifi ularning ikki jihatdan qiziqarli monografiyasi bilan bog'liq. Ulardan biri shundaki, to'rtburchaklar algebralardan foydalanish ilgari ma'lum bo'lgan ba'zi usullarni qisqartiradi. Ikkinchisi - kontseptsiyaning analogidir oktonion algebralari va 3-darajali Iordaniya kvadratik algebralari, bular Moufangni 3-gon va 6-gonlarni keltirib chiqaradi.

Aslida "aralash guruhlar" dan kelib chiqmaydigan barcha mufang tekisliklari, to'rtburchaklar va olti burchaklarning barchasi (to'rtburchaklar uchun 2 xarakterli yoki olti burchak uchun 3 xarakterli) oktonionlar, to'rtburchaklar algebralar yoki Iordaniya algebralari.

Moufang 6-gons

Moufang 6-gons Moufang olti burchaklari deb ham ataladi. Moufang 6-gons tasnifi Tits tomonidan aytilgan,[6] Vays bilan Moufang poligonlari bo'yicha qo'shma ish olib borilgunga qadar tafsilotlar isbotlanmagan edi.

Moufang 8-gons

Moufang 8-gons Moufang sekizgenlari deb ham ataladi. Ular Tits tomonidan tasniflangan,[7] U erda hamma paydo bo'lganligini ko'rsatdi Ree guruhlari ²F₄ turidagi.

To'rtburchak algebralar

To'rtburchak algebralar uchun potentsial foydalanish ikkita ochiq savolni tahlil qilishdan iborat. Ulardan biri Kneser-Tits gumoni[8] bu to'liq guruhga tegishli chiziqli transformatsiyalar binoning (masalan, GL)n) ildiz guruhlari tomonidan yaratilgan kichik guruh tomonidan aniqlangan (masalan, SLn).

Gipoteza E8 tipidagi 6 gon va 4 gondan tashqari barcha Moufang binolari uchun isbotlangan, bu holda chiziqli transformatsiyalar guruhi ildiz guruhlari tomonidan yaratilgan kichik guruhga teng deb taxmin qilinadi. E8 olti burchaklari uchun bu to'rtburchak Iordaniya algebralarida savol sifatida qayta ifodalanishi mumkin va E8 to'rtburchaklar uchun endi to'rtburchaklar algebralar nuqtai nazaridan o'zgartirilishi mumkin.

E8 to'rtburchagi haqidagi yana bir ochiq savol, diskret baholashga nisbatan to'liq bo'lgan maydonlarga taalluqlidir: bunday hollarda to'rtburchakni o'zining tuzilishi sifatida cheksiz ravishda beradigan afinaviy bino bormi?

Shuningdek qarang

Izohlar va ma'lumotnomalar

  1. ^ Ko'krak, Jak; Vayss, Richard (2013) [2002]. Moufang ko'pburchagi. Matematikadan Springer monografiyalari. Springer. ISBN  978-3-662-04689-0.
  2. ^ Ko'krak, Jak (1976). "Yo'qligi yo'q sertifikatlar, ko'pburchak généralisés, I, II". Mathematicae ixtirolari. 36 (1): 275–284. Bibcode:1976InMat..36..275T. doi:10.1007 / BF01390013. S2CID  189829929. 51 (3), (1979) 267–269 doi:10.1007 / BF01389919.
  3. ^ Vayss, Richard (1979). "Muayyan ko'pburchaklarning yo'qligi". Mathematicae ixtirolari. 51 (3): 261–6. Bibcode:1979InMat..51..261W. doi:10.1007 / BF01389918. S2CID  120137397.
  4. ^ Bryuk, Richard H.; Kleinfeld, Ervin (1951). "Muqobil bo'linish halqalarining tuzilishi". Amerika matematik jamiyati materiallari. 2 (6): 878–890. doi:10.2307/2031702. JSTOR  2031702. JANOB  0045099. PMC  1063309. PMID  16578361.
  5. ^ Kleinfeld, Ervin (1951). "2-xarakteristikaning muqobil bo'linish halqalari". Amerika Qo'shma Shtatlari Milliy Fanlar Akademiyasi materiallari. 37 (12): 818–820. Bibcode:1951PNAS ... 37..818K. doi:10.1073 / pnas.37.12.818. JANOB  0041834. PMC  1063478. PMID  16589035.
  6. ^ Tits, J. (1976). "Sferik tipdagi binolarning tasnifi va Moufang ko'pburchagi: so'rovnoma". Colloquio Internazionale sulle Teorie Combinatorie. 2018-04-02 121 2. 229-246 betlar. OCLC  313112178.
  7. ^ Tits, J. (1983). "Moufang sakkizburchaklari va Ree guruhlari 2F4". Amer. J. Matematik. 105 (2): 539–594. doi:10.2307/2374268. JSTOR  2374268.
  8. ^ Jak, Jak (1977). "Groupes de whitehead de groupes algébriques simples sur un corps [d'après V. P. Platonov va boshq.)". Séminaire Bourbaki 1976/77 Exposés 489-506. Matematikadan ma'ruza matnlari. Springer. 218–236 betlar. ISBN  978-3-540-35719-3.

Qo'shimcha o'qish

  • Ko'krak, Jak (1966). "Algebraik yarim yarim guruhlarning tasnifi". Borelda, Armand; Mostow, Jorj D. (tahr.). Algebraik guruhlar va uzluksiz kichik guruhlar. Sof matematikadan simpoziumlar to'plami. 9. Amerika matematik jamiyati. 33-62 betlar. ISBN  0821814095. OCLC  869830680.