Muckenhoupt og'irliklari - Muckenhoupt weights

Yilda matematika, sinf Muckenhoupt og'irliklari $A p$ o'sha vaznlardan iborat $ω$ buning uchun Hardy - Littlewood maksimal operatori chegaralangan $L p (dω)$ . Xususan, biz funktsiyalarni ko'rib chiqamiz $f$ kuni $R n$ va ular bilan bog'liq maksimal funktsiyalar $M (f)$ sifatida belgilangan

{displaystyle M (f) (x) = sup _ {r> 0} {frac {1} {r ^ {n}}} int _ {B_ {r} (x)} | f |,}

qayerda $B r (x)$ bu to'p $R n$ radius bilan $r$ va markaz $x$ . Ruxsat bering $1 \leq p < \infty$ , biz funktsiyalarni tavsiflashni xohlaymiz $ω : R n \to [0, \infty)$ buning uchun bizda chegara bor

{displaystyle int | M (f) (x) | ^ {p}, omega (x) dxleq Cint | f | ^ {p}, omega (x), dx,}

qayerda $C$ faqat bog'liq $p$ va $ω$ . Bu birinchi tomonidan amalga oshirildi Benjamin Mukkenxupt.^[1]

Ta'rif

Ruxsat etilgan uchun $1 < p < \infty$ , biz og'irlik deymiz $ω : R n \to [0, \infty)$ tegishli $A p$ agar $ω$ mahalliy darajada integral va doimiy mavjud $C$ shunday qilib, barcha to'plar uchun $B$ yilda $R n$ , bizda ... bor

{displaystyle left ({frac {1} {| B |}} int _ {B} omega (x), dxight) left ({frac {1} {| B |}} int _ {B} omega (x) ^) {- {frac {q} {p}}}, dxight) ^ {frac {p} {q}} leq C

qayerda $| B |$ bo'ladi Lebesg o'lchovi ning $B$ va $q$ haqiqiy raqam, bu quyidagicha: $1 / p + 1 / q = 1$ .

Biz aytamiz $ω : R n \to [0, \infty)$ tegishli $A 1$ agar mavjud bo'lsa $C$ shu kabi

{displaystyle {frac {1} {| B |}} int _ {B} omega (y), dyleq Comega (x),}

Barcha uchun $x \in B$ va barcha to'plar $B$ .^[2]

Ekvivalent tavsiflar

Ushbu quyidagi natija Mukkenhoupt og'irliklarini o'rganishda asosiy natijadir.

Teorema. Og'irligi

ω

ichida

A p

agar faqat quyida keltirilganlardan biri ushlab turilsa.^[2]

(a) The Hardy-Littlewood maksimal funktsiyasi chegaralangan

L p (ω (x) dx)

, anavi

{displaystyle int | M (f) (x) | ^ {p}, omega (x), dxleq Cint | f | ^ {p}, omega (x), dx,}

kimdir uchun

C

bu faqat bog'liqdir

p

va doimiy

A

yuqoridagi ta'rifda.

b) doimiy mavjud

v

har qanday mahalliy integral funktsiya uchun

f

kuni

R n

va barcha to'plar

B

:

{displaystyle (f_ {B}) ^ {p} leq {frac {c} {omega (B)}} int _ {B} f (x) ^ {p}, omega (x), dx,}

qaerda:

{displaystyle f_ {B} = {frac {1} {| B |}} int _ {B} f, qquad omega (B) = int _ {B} omega (x), dx.}

Teng ravishda:

Teorema. Ruxsat bering

1 < p < \infty

, keyin

w = e φ \in A p

agar va faqat ikkalasi ham ushlab turilsa:

{displaystyle sup _ {B} {frac {1} {| B |}} int _ {B} e ^ {varphi -varphi _ {B}} dx

{displaystyle sup _ {B} {frac {1} {| B |}} int _ {B} e ^ {- {frac {varphi -varphi _ {B}} {p-1}}} dx

Ushbu ekvivalentlik yordamida tekshirish mumkin Jensen tengsizligi.

Teskari Hölder tengsizliklari va $A \infty$

Yuqoridagi ekvivalentlikni isbotlashda asosiy vosita quyidagi natijadir.^[2] Quyidagi bayonotlar tengdir

$ω \in A p$ kimdir uchun $1 \leq p < \infty$ .
Mavjud $0 < δ, γ < 1$ shunday qilib barcha to'plar uchun $B$ va kichik guruhlar $E \subset B$ , $| E | \leq γ | B |$ nazarda tutadi $ω (E) \leq δ ω (B)$ .
Mavjud $1 < q$ va $v$ (ikkalasi ham bog'liq $ω$ ) barcha to'plar uchun shunday $B$ bizda ... bor:

{displaystyle {frac {1} {| B |}} int _ {B} omega ^ {q} leq left ({frac {c} {| B |}} int _ {B} omega ight) ^ {q}. }

Uchinchi formuladagi tengsizlikni teskari Xolder tengsizligi deymiz, chunki teskari tengsizlik har qanday manfiy bo'lmagan funktsiya uchun to'g'ridan-to'g'ri keladi Xolderning tengsizligi. Agar yuqoridagi uchta ekvivalent shartlardan biri bajarilsa, biz aytamiz $ω$ tegishli $A \infty$ .

Og'irliklar va BMO

Ning ta'rifi $A p$ og'irlik va teskari Hölder tengsizligi shuni ko'rsatadiki, bunday vazn juda tez nasliga tushmaydi yoki o'smaydi. Ushbu xususiyatni og'irlik logaritmasi qanchalik tebranishi jihatidan teng ravishda ifodalash mumkin:

(a) agar

w \in A p, (p \geq 1),

keyin

log (w) BMO

(ya'ni

log (w)

bor chegaralangan o'rtacha tebranish ).

b) agar

f \in BMO

, keyin etarli darajada kichik

δ > 0

, bizda ... bor

e δf \in A p

kimdir uchun

p \geq 1

.

Ushbu ekvivalentlikni yuqoridagi og'irliklarning eksponent xarakteristikasi, Jensen tengsizligi va Jon-Nirenberg tengsizligi.

Kichiklik haqidagi taxmin mavjudligiga e'tibor bering $δ > 0$ (b) qismida natija to'g'ri bo'lishi uchun kerak, kabi $-log | x | \in BMO$ , lekin:

{displaystyle e ^ {- log | x |} = {frac {1} {e ^ {log | x |}}} = {frac {1} {| x |}}}

hech birida yo'q $A p$ .

Boshqa xususiyatlar

Bu erda biz og'irliklar haqida bir nechta turli xil xususiyatlarni sanab o'tamiz, ularning ba'zilari ta'riflardan foydalanish orqali tekshirilishi mumkin, boshqalari esa nojo'ya natijalar:

{displaystyle A_ {1} subseteq A_ {p} subseteq A_ {infty}, qquad 1leq pleq infty.}

{displaystyle A_ {infty} = igcup _ {p

Agar

w \in A p

, keyin

w dx

belgilaydi a ikki baravar o'lchov: har qanday to'p uchun

B

, agar

2 B

radiusning ikki baravariga teng bo'lgan to'p

w (2 B) \leq Cw (B)

qayerda

C > 1

ga bog'liq bo'lgan doimiydir

w

.

Agar

w \in A p

, keyin bor

δ > 1

shu kabi

w δ \in A p

.

Agar

w \in A \infty

, keyin bor

δ > 0

va og'irliklar

{displaystyle w_ {1}, w_ {2} A_ ichida {1}}

shu kabi

{displaystyle w = w_ {1} w_ {2} ^ {- delta}}

.^[3]

Yagona integrallarning chegaralanishi

Faqatgina "Hardy-Littlewood" maksimal operatori bu tortilganlarga bog'liq emas $L p$ bo'shliqlar. Aslida, har qanday Kalderon-Zigmund singular integral operatori ham bu bo'shliqlar bilan chegaralangan.^[4] Keling, bu erda sodda versiyasini tasvirlab beraylik.^[2] Bizda operator bor deylik $T$ bu chegaralangan $L 2 (dx)$ , shuning uchun bizda bor

{displaystyle forall fin C_ {c} ^ {infty}: qquad | T (f) | _ {L ^ {2}} leq C | f | _ {L ^ {2}}.}

Faraz qilaylikki, biz buni anglaymiz $T$ yadroga qarshi konversiya sifatida $K$ quyidagi ma'noda: agar $f, g$ ajratilgan qo'llab-quvvatlash bilan silliq, keyin:

{displaystyle int g (x) T (f) (x), dx = iint g (x) K (x-y) f (y), dy, dx.}

Va nihoyat biz yadroda o'lcham va silliqlik holatini olamiz $K$ :

{displaystyle forall xeq 0, forall | alfa | leq 1: qquad chap | qisman ^ {alfa} Kight | leq C | x | ^ {- n-alfa}.}

Keyin, har biri uchun $1 < p < \infty$ va $ω \in A p$ , $T$ cheklangan operator $L p (ω (x) dx)$ . Ya'ni bizda taxmin bor

{displaystyle int | T (f) (x) | ^ {p}, omega (x), dxleq Cint | f (x) | ^ {p}, omega (x), dx,}

Barcha uchun $f$ buning uchun o'ng tomon cheklangan.

Buning teskari natijasi

Agar yuqoridagi uchta shartdan tashqari yadroda degeneratsiya holatini qabul qilsak $K$ : Ruxsat etilgan birlik vektori uchun $siz 0$

{displaystyle | K (x) | geq a | x | ^ {- n}}

har doim ${displaystyle x = t {nuqta {u}} _ {0}}$ bilan $-\infty < t < \infty$ , keyin bizda suhbat bor. Agar bilsak

{displaystyle int | T (f) (x) | ^ {p}, omega (x), dxleq Cint | f (x) | ^ {p}, omega (x), dx,}

ba'zilari uchun sobit $1 < p < \infty$ va ba'zilari $ω$ , keyin $ω \in A p$ .^[2]

Og'irliklar va kvazikonformal xaritalar

Uchun $K > 1$ , a $K$ -kvazikonformal xaritalash gomomorfizmdir $f : R n \to R n$ shu kabi

{displaystyle fin W_ {loc} ^ {1,2} (mathbf {R} ^ {n}), quad {ext {and}} quad {frac {| Df (x) | ^ {n}} {J (f , x)}} leq K,}

qayerda $Df (x)$ bo'ladi lotin ning $f$ da $x$ va $J (f, x) = det (Df (x))$ bo'ladi Jacobian.

Gehring teoremasi^[5] hamma uchun $K$ -kvazikonformal funktsiyalar $f : R n \to R n$ , bizda ... bor $J (f, x) \in A p$ , qayerda $p$ bog'liq $K$ .

Harmonik o'lchov

Agar sizda oddiygina ulangan domen bo'lsa $Ω \subseteq C$ , biz uning chegara egri chizig'ini aytamiz $Ph = \partialΩ$ bu $K$ -kord-kamon, agar istalgan ikkita nuqta bo'lsa $z, w$ yilda $Γ$ egri chiziq bor $γ \subseteq Γ$ ulanish $z$ va $w$ uning uzunligi ortiq emas $K | z - w |$ . Bunday chegaraga ega bo'lgan domen uchun va istalgan uchun $z 0$ yilda $Ω$ , harmonik o'lchov $w ( \cdot ) = w (z 0, Ω, \cdot)$ bir o'lchovga nisbatan mutlaqo uzluksizdir Hausdorff o'lchovi va uning Radon-Nikodim lotin ichida $A \infty$ .^[6] (E'tibor bering, bu holda og'irlik ta'rifini asosiy o'lchov bir o'lchovli Hausdorff o'lchovi bo'lgan holatga moslashtirish kerak).

Adabiyotlar

Garnett, Jon (2007). Cheklangan analitik funktsiyalar. Springer.

^ Mukkenhoupt, Benjamin (1972). "Hardy maksimal funktsiyasi uchun tortilgan me'yor tengsizliklari". Amerika matematik jamiyati operatsiyalari, jild. 165: 207–226.
^ ^a ^b ^v ^d ^e Stein, Elias (1993). "5". Harmonik tahlil. Prinston universiteti matbuoti.
^ Jons, Piter V. (1980). "Faktorizatsiya $A p$ og'irliklar ". Ann. matematikadan. 2. 111 (3): 511–530. doi:10.2307/1971107.
^ Grafakos, Loukas (2004). "9". Klassik va zamonaviy Furye tahlili. Nyu-Jersi: Pearson Education, Inc.
^ Gehring, F. W. (1973). "L^p- kvazikonformal xaritalashning qisman hosilalarining integralligi ". Acta matematikasi. 130: 265–277. doi:10.1007 / BF02392268.
^ Garnett, Jon; Marshall, Donald (2008). Harmonik o'lchov. Kembrij universiteti matbuoti.

[1] Mukkenhoupt, Benjamin (1972). "Hardy maksimal funktsiyasi uchun tortilgan me'yor tengsizliklari". Amerika matematik jamiyati operatsiyalari, jild. 165: 207–226.

[bible-2] v ^d ^e Stein, Elias (1993). "5". Harmonik tahlil. Prinston universiteti matbuoti.

[3] Jons, Piter V. (1980). "Faktorizatsiya $A p$ og'irliklar ". Ann. matematikadan. 2. 111 (3): 511–530. doi:10.2307/1971107.

[grafakos-4] Grafakos, Loukas (2004). "9". Klassik va zamonaviy Furye tahlili. Nyu-Jersi: Pearson Education, Inc.

[5] Gehring, F. W. (1973). "L^p- kvazikonformal xaritalashning qisman hosilalarining integralligi ". Acta matematikasi. 130: 265–277. doi:10.1007 / BF02392268.

[6] Garnett, Jon; Marshall, Donald (2008). Harmonik o'lchov. Kembrij universiteti matbuoti.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

Muckenhoupt og'irliklari - Muckenhoupt weights

Ta'rif

Ekvivalent tavsiflar

Teskari Hölder tengsizliklari va A∞

Og'irliklar va BMO

Boshqa xususiyatlar

Yagona integrallarning chegaralanishi

Buning teskari natijasi

Og'irliklar va kvazikonformal xaritalar

Harmonik o'lchov

Adabiyotlar

Teskari Hölder tengsizliklari va $A \infty$