Nodal dekompozitsiya - Nodal decomposition

Nodal dekompozitsiya.

Yilda toifalar nazariyasi, mavhum matematik intizom, a tugun dekompozitsiyasi^[1] morfizm ${ displaystyle varphi: X dan Y gacha}$ ning vakili ${ displaystyle varphi}$ mahsulot sifatida ${ displaystyle varphi = sigma circ beta circ pi}$ , qayerda ${ displaystyle pi}$ a kuchli epimorfizm^[2]^[3]^[4], ${ displaystyle beta}$ a bimorfizm va ${ displaystyle sigma}$ a kuchli monomorfizm.^[5]^[3]^[4]

O'ziga xoslik va yozuvlar

Tugun dekompozitsiyasining o'ziga xosligi.

Agar mavjud bo'lsa, tugun dekompozitsiyasi quyidagi ma'noda izomorfizmga xosdir: har qanday ikkita tugun dekompozitsiyasi uchun ${ displaystyle varphi = sigma circ beta circ pi}$ va ${ displaystyle varphi = sigma ' circ beta' circ pi '}$ bor izomorfizmlar ${ displaystyle eta}$ va ${ displaystyle theta}$ shu kabi

{ displaystyle pi '= eta circ pi,}

{ displaystyle beta = theta circ beta ' circ eta,}

{ displaystyle sigma '= sigma circ theta.}

Izohlar.

Ushbu xususiyat tugun dekompozitsiyasi elementlari uchun ba'zi bir maxsus yozuvlarni oqlaydi:

{ displaystyle { begin {aligned} & pi = operatorname {coim} _ { infty} varphi, && P = operatorname {Coim} _ { infty} varphi, & beta = operatorname { red} _ { infty} varphi, && & sigma = operator nomi {im} _ { infty} varphi, && Q = operator nomi {Im} _ { infty} varphi, end {aligned} }}

- Bu yerga ${ displaystyle operatorname {coim} _ { infty} varphi}$ va ${ displaystyle operatorname {Coim} _ { infty} varphi}$ deyiladi nodal koimage ${ displaystyle varphi}$ , ${ displaystyle operatorname {im} _ { infty} varphi}$ va ${ displaystyle operatorname {Im} _ { infty} varphi}$ The ning tugunli tasviri ${ displaystyle varphi}$ va ${ displaystyle operatorname {red} _ { infty} varphi}$ The ning tugun qisqargan qismi ${ displaystyle varphi}$ .

Ushbu yozuvlarda tugun dekompozitsiyasi shaklni oladi

{ displaystyle varphi = operator nomi {im} _ { infty} varphi circ operator nomi {qizil} _ { infty} varphi circ operator nomi {coim} _ { infty} varphi.}

Abeliyadan oldingi toifadagi asosiy parchalanish bilan bog'liqlik

A abeliyadan oldingi toifa ${ displaystyle { mathcal {K}}}$ har bir morfizm ${ displaystyle varphi}$ standart parchalanishga ega

{ displaystyle varphi = operator nomi {im} varphi circ operator nomi {qizil} varphi circ operator nomi {coim} varphi}

,

deb nomlangan asosiy parchalanish (Bu yerga ${ displaystyle operator nomi {im} varphi = ker ( operator nomi {koker} varphi)}$ , ${ displaystyle operatorname {coim} varphi = operatorname {coker} ( ker varphi)}$ va ${ displaystyle operatorname {red} varphi}$ navbati bilan morfizmning tasviri, koimaji va qisqartirilgan qismi ${ displaystyle varphi}$ ).

Nodal va asosiy ajralishlar.

Agar morfizm bo'lsa ${ displaystyle varphi}$ a abeliyadan oldingi toifa ${ displaystyle { mathcal {K}}}$ tugun dekompozitsiyasiga ega, keyin morfizmlar mavjud ${ displaystyle eta}$ va ${ displaystyle theta}$ (izomorfizm bo'lishi shart emas) tugun dekompozitsiyasini asosiy parchalanish bilan quyidagi o'ziga xosliklar bilan bog'laydigan:

{ displaystyle operatorname {coim} _ { infty} varphi = eta circ operatorname {coim} varphi,}

{ displaystyle operatorname {red} varphi = theta circ operatorname {red} _ { infty} varphi circ eta,}

{ displaystyle operator nomi {im} _ { infty} varphi = operator nomi {im} varphi circ theta.}

Tugun dekompozitsiyasi bilan toifalar

Kategoriya ${ displaystyle { mathcal {K}}}$ deyiladi a tugun dekompozitsiyasi bilan toifasi^[1] agar har bir morfizm ${ displaystyle varphi}$ ning tugun dekompozitsiyasiga ega ${ displaystyle { mathcal {K}}}$ . Ushbu xususiyat qurilishda muhim rol o'ynaydi konvertlar va aniqliklar yilda ${ displaystyle { mathcal {K}}}$ .

In abeliya toifasi ${ displaystyle { mathcal {K}}}$ asosiy parchalanish

{ displaystyle varphi = operator nomi {im} varphi circ operator nomi {qizil} varphi circ operator nomi {coim} varphi}

har doim nodaldir. Xulosa sifatida, barcha abeliya toifalari tugun dekompozitsiyasiga ega.

Agar a abeliyadan oldingi toifa ${ displaystyle { mathcal {K}}}$ chiziqli tugallangan^[6], kuchli monomorfizmlarda yaxshi quvvatga ega^[7] va kuchli epimorfizmlarda birgalikda ishlaydi^[8], keyin ${ displaystyle { mathcal {K}}}$ tugun dekompozitsiyasiga ega.^[9]

Umuman olganda, toifani faraz qilaylik ${ displaystyle { mathcal {K}}}$ chiziqli tugallangan^[6], kuchli monomorfizmlarda yaxshi quvvatga ega^[7], kuchli epimorfizmlarda yaxshi quvvatlanadi^[8]va qo'shimcha ravishda kuchli epimorfizmlar monomorfizmlarni ajratib turadi^[10] yilda ${ displaystyle { mathcal {K}}}$ va ikki tomonlama kuchli monomorfizmlar epimorfizmlarni farq qiladi^[11] yilda ${ displaystyle { mathcal {K}}}$ , keyin ${ displaystyle { mathcal {K}}}$ tugun dekompozitsiyasiga ega.^[12]

Kategoriya Sht ning stereotip bo'shliqlari (abeliya bo'lmagan) tugun dekompozitsiyasiga ega^[13], shuningdek (bo'lmaganqo'shimchalar ) toifasi SteAlg ning stereotip algebralari .^[14]

Izohlar

^ ^a ^b Akbarov 2016 yil, p. 28.
^ An epimorfizm ${ displaystyle varepsilon: A to B}$ deb aytilgan kuchli, agar mavjud bo'lsa monomorfizm ${ displaystyle mu: C dan D gacha$ va har qanday morfizm uchun ${ displaystyle alpha: A to C}$ va ${ displaystyle beta: B to D}$ shu kabi ${ displaystyle beta circ varepsilon = mu circ alfa}$ morfizm mavjud ${ displaystyle delta: B dan C gacha}$ , shu kabi ${ displaystyle delta circ varepsilon = alfa}$ va ${ displaystyle mu circ delta = beta}$ .
^ ^a ^b Borceux 1994 yil.
^ ^a ^b Tsalenko 1974 yil.
^ A monomorfizm ${ displaystyle mu: C dan D gacha$ deb aytilgan kuchli, agar mavjud bo'lsa epimorfizm ${ displaystyle varepsilon: A to B}$ va har qanday morfizm uchun ${ displaystyle alpha: A to C}$ va ${ displaystyle beta: B to D}$ shu kabi ${ displaystyle beta circ varepsilon = mu circ alfa}$ morfizm mavjud ${ displaystyle delta: B dan C gacha}$ , shu kabi ${ displaystyle delta circ varepsilon = alfa}$ va ${ displaystyle mu circ delta = beta}$
^ ^a ^b Kategoriya ${ displaystyle { mathcal {K}}}$ deb aytilgan chiziqli to'liq, agar chiziqli buyurtma qilingan biron bir funktsiya o'rnatilgan bo'lsa ${ displaystyle { mathcal {K}}}$ bor to'g'ridan-to'g'ri va teskari chegaralar.
^ ^a ^b Kategoriya ${ displaystyle { mathcal {K}}}$ deb aytilgan kuchli monomorfizmlarda yaxshi quvvatlanadi, agar har bir ob'ekt uchun ${ displaystyle X}$ kategoriya ${ displaystyle operator nomi {SMono} (X)}$ hammasidan kuchli monomorfizmlar ichiga ${ displaystyle X}$ skeletlari jihatidan kichikdir (ya'ni to'plamga ega bo'lgan skeletlari bor).
^ ^a ^b Kategoriya ${ displaystyle { mathcal {K}}}$ deb aytilgan kuchli epimorfizmlarda yaxshi quvvatlanadi, agar har bir ob'ekt uchun ${ displaystyle X}$ kategoriya ${ displaystyle operator nomi {SEpi} (X)}$ hammasidan kuchli epimorfizmlar dan ${ displaystyle X}$ skeletlari jihatidan kichkina (ya'ni to'plam bo'lgan skeletlari bor).
^ Akbarov 2016 yil, p. 37.
^ Aytishlaricha kuchli epimorfizmlar monomorfizmlarni farq qiladi toifada ${ displaystyle { mathcal {K}}}$ , agar har bir morfizm ${ displaystyle mu}$ monomorfizm emas, kompozitsiya sifatida ifodalanishi mumkin ${ displaystyle mu = mu ' circ varepsilon}$ , qayerda ${ displaystyle varepsilon}$ a kuchli epimorfizm bu izomorfizm emas.
^ Aytishlaricha kuchli monomorfizmlar epimorfizmlarni farq qiladi toifada ${ displaystyle { mathcal {K}}}$ , agar har bir morfizm ${ displaystyle varepsilon}$ , bu epimorfizm emas, kompozitsiya sifatida ifodalanishi mumkin ${ displaystyle varepsilon = mu circ varepsilon '}$ , qayerda ${ displaystyle mu}$ a kuchli monomorfizm bu izomorfizm emas.
^ Akbarov 2016 yil, p. 31.
^ Akbarov 2016 yil, p. 142.
^ Akbarov 2016 yil, p. 164.

Adabiyotlar

Borceux, F. (1994). Kategorik algebra bo'yicha qo'llanma 1. Asosiy toifalar nazariyasi. Kembrij universiteti matbuoti. ISBN 978-0521061193.CS1 maint: ref = harv (havola)
Tsalenko, M.S .; Shulgeifer, E.G. (1974). Kategoriyalar nazariyasining asoslari. Nauka.CS1 maint: ref = harv (havola)
Akbarov, S.S. (2016). "Funktsional tahlilga qo'llaniladigan toifadagi konvertlar va aniqliklar". Mathematicae dissertatsiyalari. 513: 1–188. arXiv:1110.2013. doi:10.4064 / dm702-12-2015.CS1 maint: ref = harv (havola)

[FOOTNOTEAkbarov201628-1] Akbarov 2016 yil, p. 28.

[2] An epimorfizm ${ displaystyle varepsilon: A to B}$ deb aytilgan kuchli, agar mavjud bo'lsa monomorfizm ${ displaystyle mu: C dan D gacha$ va har qanday morfizm uchun ${ displaystyle alpha: A to C}$ va ${ displaystyle beta: B to D}$ shu kabi ${ displaystyle beta circ varepsilon = mu circ alfa}$ morfizm mavjud ${ displaystyle delta: B dan C gacha}$ , shu kabi ${ displaystyle delta circ varepsilon = alfa}$ va ${ displaystyle mu circ delta = beta}$ .

[FOOTNOTEBorceux1994-3] Borceux 1994 yil.

[FOOTNOTETsalenko1974-4] Tsalenko 1974 yil.

[5] A monomorfizm ${ displaystyle mu: C dan D gacha$ deb aytilgan kuchli, agar mavjud bo'lsa epimorfizm ${ displaystyle varepsilon: A to B}$ va har qanday morfizm uchun ${ displaystyle alpha: A to C}$ va ${ displaystyle beta: B to D}$ shu kabi ${ displaystyle beta circ varepsilon = mu circ alfa}$ morfizm mavjud ${ displaystyle delta: B dan C gacha}$ , shu kabi ${ displaystyle delta circ varepsilon = alfa}$ va ${ displaystyle mu circ delta = beta}$

[linearly-complete-6] Kategoriya ${ displaystyle { mathcal {K}}}$ deb aytilgan chiziqli to'liq, agar chiziqli buyurtma qilingan biron bir funktsiya o'rnatilgan bo'lsa ${ displaystyle { mathcal {K}}}$ bor to'g'ridan-to'g'ri va teskari chegaralar.

[well-powered-in-strong-monomorphisms-7] Kategoriya ${ displaystyle { mathcal {K}}}$ deb aytilgan kuchli monomorfizmlarda yaxshi quvvatlanadi, agar har bir ob'ekt uchun ${ displaystyle X}$ kategoriya ${ displaystyle operator nomi {SMono} (X)}$ hammasidan kuchli monomorfizmlar ichiga ${ displaystyle X}$ skeletlari jihatidan kichikdir (ya'ni to'plamga ega bo'lgan skeletlari bor).

[co-well-powered-in-strong-epimorphisms-8] Kategoriya ${ displaystyle { mathcal {K}}}$ deb aytilgan kuchli epimorfizmlarda yaxshi quvvatlanadi, agar har bir ob'ekt uchun ${ displaystyle X}$ kategoriya ${ displaystyle operator nomi {SEpi} (X)}$ hammasidan kuchli epimorfizmlar dan ${ displaystyle X}$ skeletlari jihatidan kichkina (ya'ni to'plam bo'lgan skeletlari bor).

[FOOTNOTEAkbarov201637-9] Akbarov 2016 yil, p. 37.

[strong-epimorphisms-discern-monomorphisms-10] Aytishlaricha kuchli epimorfizmlar monomorfizmlarni farq qiladi toifada ${ displaystyle { mathcal {K}}}$ , agar har bir morfizm ${ displaystyle mu}$ monomorfizm emas, kompozitsiya sifatida ifodalanishi mumkin ${ displaystyle mu = mu ' circ varepsilon}$ , qayerda ${ displaystyle varepsilon}$ a kuchli epimorfizm bu izomorfizm emas.

[strong-monomorphisms-discern-epimorphisms-11] Aytishlaricha kuchli monomorfizmlar epimorfizmlarni farq qiladi toifada ${ displaystyle { mathcal {K}}}$ , agar har bir morfizm ${ displaystyle varepsilon}$ , bu epimorfizm emas, kompozitsiya sifatida ifodalanishi mumkin ${ displaystyle varepsilon = mu circ varepsilon '}$ , qayerda ${ displaystyle mu}$ a kuchli monomorfizm bu izomorfizm emas.

[FOOTNOTEAkbarov201631-12] Akbarov 2016 yil, p. 31.

[FOOTNOTEAkbarov2016142-13] Akbarov 2016 yil, p. 142.

[FOOTNOTEAkbarov2016164-14] Akbarov 2016 yil, p. 164.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]