Oddiy politop - Normal polytope

Yilda matematika, xususan kombinatorial komutativ algebra, a qavariq panjarali politop P deyiladi normal agar u quyidagi xususiyatga ega bo'lsa: har qanday musbat tamsayı berilgan n, kengayishning har bir panjara nuqtasi nP, olingan P uning tepaliklarini koeffitsient bo'yicha kattalashtirish orqali n va olib qavariq korpus natijadagi nuqtalarning aniq yig'indisi sifatida yozilishi mumkin n panjara P. Ushbu xususiyat nazariyasida muhim rol o'ynaydi torik navlari, u qaerga to'g'ri keladi proektsion normallik torik navlari tomonidan belgilanadi P. Oddiy politoplar algebraik kombinatorikada mashhurlikka ega. Ushbu polytoplar, shuningdek, sonli musbat ratsional konuslarning Hilbert asoslarining bir hil holatini ifodalaydi va algebraik geometriyaga bog'liqlik shundaki, ular torik navlarining proektsion normal joylashishini belgilaydilar.

Ta'rif

Ruxsat bering ${displaystyle Psubset mathbb {R} ^ {d}}$ panjara bo'ling politop. Ruxsat bering ${displaystyle Lsubseteq mathbb {Z} ^ {d}}$ panjarani belgilang (ehtimol an affin subspace ning ${displaystyle mathbb {R} ^ {d}}$) butun sonli nuqtalar tomonidan hosil qilingan ${displaystyle P}$. Ruxsat berish ${displaystyle v}$ o'zboshimchalik bilan panjara nuqtasi bo'ling ${displaystyle P}$, buni quyidagicha aniqlash mumkin

${displaystyle L = v + sum _ {x, yin Pcap mathbb {Z} ^ {d}} mathbb {Z} (x-y).}$

P - bu to'liq yopiq agar quyidagi shart bajarilsa:

${displaystyle cin mathbb {N}, zin cPcap mathbb {Z} ^ {d} Pcap mathbb {Z} ^ {d}} da x_ {1}, ldots, x_ {c} mavjudligini anglatadi$ shu kabi ${displaystyle x_ {1} + cdots + x_ {c} = z}$.

P bu normal agar quyidagi shart bajarilsa:

${displaystyle cin mathbb {N}, zin cPcap Limplies Pcap L-da x_ {1}, ldots, x_ {c} mavjud$ shu kabi ${displaystyle x_ {1} + cdots + x_ {c} = z}$.

Oddiylik xususiyati o'zgarmas afin-panjara ostida izomorfizmlar panjarali politoplar va integral yopiq xususiyat koordinatalarning afinaviy o'zgarishi ostida o'zgarmasdir. Ba'zida kombinatoriya adabiyotida normal va integral yopiq o'rtasidagi farq xiralashganiga e'tibor bering.

Misollar

The oddiy yilda R^k koordinata vektorlarining boshida va bo'lagi bo'ylab tepaliklar normaldir. oddiy bo'lmagan soddaliklar oddiy polipoplar dunyosidagi eng kichik politopdir. Oddiy bo'lmagan soddaliklardan so'ng, panjara parallelepipedlar eng oddiy oddiy politoplardir.

Har qanday panjarali politop uchun P va c∈ℕ, c≥dimP-1 cP normal hisoblanadi.

Hammasi ko'pburchaklar yoki ikki o'lchovli politoplar normaldir.

Agar A a umuman bir xil bo'lmagan matritsa, keyin ustunli vektorlarning qavariq tanasi A oddiy politopdir.

The Birxof politopi normal holat. Buni osonlikcha isbotlash mumkin Xollning nikoh teoremasi.Aslida, Birxof politopi siqilgan, bu juda kuchli bayonot.

Barcha buyurtma politoplari siqilganligi ma'lum. Bu shuni anglatadiki, bu politoplar normaldir. ^[1]

Xususiyatlari

• Panjara politopi, agar u normal va bo'lsa, integral ravishda yopiladi L $ phi $ ning to'g'ridan-to'g'ri yig'indisi^d.
• Oddiy politopni reference dan mos yozuvlar panjarasini o'zgartirib, to'liq o'lchovli integral yopiq politopga aylantirish mumkin.^d ga L va atrof-muhit Evklid fazosi ℝ^d ℝL pastki fazosiga.
• Agar panjarali politopni oddiy politoplarga bo'lish mumkin bo'lsa, demak, bu ham normaldir.
• Agar o'lchamdagi panjarali politop bo'lsa d panjaraning uzunligi 4 ga katta yoki tengd(d + 1) u holda politop normaldir.
• Agar P normal va φ: ℝ^d → ℝ^d φ (ℤ) bilan affine xaritasi^d) = ℤ^d keyin φ(P) normal holat.
• Har bir k- normal politopning o'lchovli yuzi normaldir.

Taklif

P ⊂ ℝ^d panjarali politop. C ga ruxsat bering (P) = ℝ₊(P, 1) ⊂ ℝ^d+1 quyidagilar teng:

1. P normal holat.
2. The Hilbert asoslari C (P) ∩ ℤ^d+1 = (P, 1) ∩ ℤ^d+1

Aksincha, to'liq o'lchov uchun ratsional uchli konus C⊂ℝ^d agar Hilbert asosi C∩ℤ^d ichida giperplane H ⊂ ℝ^d (xira H = d - 1). Keyin C ∩ H normal o'lchamdagi politopdird − 1.

Oddiy monoidlarga munosabat

Har qanday bekor qiluvchi kommutativ monoid M ichiga joylashtirilishi mumkin abeliy guruhi. Aniqrog'i, dan kanonik xarita M uning ichiga Grothendieck guruhi K(M) ko'mishdir. Aniqlang normalizatsiya ning M to'plam bo'lish

${displaystyle {xin K (M) nxin M, nin mathbb {N}},}$

qayerda nx bu degani x o'ziga qo'shildi n marta. Agar M uning normallashishiga teng, keyin biz buni aytamiz M a oddiy monoid. Masalan, monoid Nⁿ iborat n-tabiiy sonlar juftligi normal monoid bo'lib, Grotendik guruhiga kiradi Zⁿ.

Polytop uchun P  ⊆ R^k, ko'taring P ichiga R^k+1 shuning uchun u giperplanada yotadi x_{k + 1} = 1 va ruxsat bering C(P) () nuqtalarining salbiy bo'lmagan koeffitsientlari bilan barcha chiziqli kombinatsiyalar to'plami bo'lsinP, 1). Keyin C(P) a qavariq konus,

${displaystyle C (P) = {lambda _ {1} ({extbf {x}} _ {1}, 1) + cdots + lambda _ {n} ({extbf {x}} _ {n}, 1) mid {extbf {x}} _ {i} P, lambda _ {i} mathbb {R}, lambda _ {i} geq 0}.}$

Agar P qavariq panjarali politop bo'lib, undan kelib chiqadi Gordan lemmasi ning kesishishi C(P) panjara bilan Z^k+1 cheklangan shakllangan (komutativ, bekor qiluvchi) monoid. Buni isbotlash mumkin P agar bu monoid normal bo'lsa va bu normal politopdir.

Muammoni oching

Odaning savoli: Hammasi silliq politoplar yaxlit holda yopilganmi? ^[2]

Agar ibtidoiy bo'lsa, panjarali politop silliq bo'ladi chekka vektorlar polytopning har bir tepasida $ p $ asosining bir qismini aniqlang^d. Hozircha topilgan har bir silliq politop muntazam ravishda bir me'yorsiz uchburchakka ega. Ma'lumki, ahamiyatsiz ekvivalentlarga qadar faqat silliq sonli son mavjud d- bilan o'lchovli politoplar ${displaystyle n}$ har bir tabiiy son uchun panjara nuqtalari n va d.^[3]

Shuningdek qarang

• Qavariq konus
• Algebraik geometriya
• Sonlar nazariyasi
• Ring nazariyasi
• Erxart polinom
• Ratsional konus
• Torik xilma-xilligi

Izohlar

Adabiyotlar

• Ezra Miller, Bernd Shturmfels, Kombinatorial komutativ algebra. Matematikadan magistrlik matnlari, 227. Springer-Verlag, Nyu-York, 2005. xiv + 417 bet. ISBN  0-387-22356-8
• Winfrid Bruns, Jozef Gubeladze, oldindan chop etish. Polytoplar, halqalar va K-nazariyasi
• W. Bruns, J. Gubeladze va N. V. Trung, Oddiy politoplar, uchburchaklar va Koszul algebralari, J. Reyn. Angew. Matematika. 485 (1997), 123-160.