Eksponentga buyurtma berilgan - Ordered exponential

Bu maqola uchun qo'shimcha iqtiboslar kerak tekshirish. Iltimos yordam bering ushbu maqolani yaxshilang tomonidan ishonchli manbalarga iqtiboslarni qo'shish. Ma'lumot manbasi bo'lmagan material shubha ostiga olinishi va olib tashlanishi mumkin. Manbalarni toping: "Buyurtma bo'yicha eksponent"  – Yangiliklar  · gazetalar  · kitoblar  · olim  · JSTOR (2018 yil aprel) (Ushbu shablon xabarini qanday va qachon olib tashlashni bilib oling)

The eksponentga buyurtma berilgan, shuningdek yo'l bilan buyurtma qilingan eksponent, a matematik da belgilangan operatsiya kommutativ bo'lmagan algebralar, ga teng eksponent ning ajralmas ichida kommutativ algebralar. Amalda buyurtma qilingan eksponentdan foydalaniladi matritsa va operator algebralar.

Ta'rif

Ruxsat bering A bo'lish algebra ustidan haqiqiy yoki murakkab maydon Kva a(t) bo'lishi a parametrlangan elementi A,

${ displaystyle a: K dan A. ,}$

Parametr t yilda a(t) ko'pincha vaqt parametri shu doirada.

Buyurtma qilingan eksponent a bilan belgilanadi

${ displaystyle { begin {aligned} operatorname {OE} [a] (t) equiv { mathcal {T}} left {e ^ { int _ {0} ^ {t} a (t ') ), dt '} right } & equiv sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {1} {n!}} int _ {0} ^ {t} cdots int _ {0} ^ {t} { mathcal {T}} left {a (t '_ {1}) cdots a (t' _ {n}) right } , dt '_ { 1} cdots dt '_ {n} & equiv sum _ {n = 0} ^ { infty} int _ {0} ^ {t} int _ {0} ^ {t' _ { n}} int _ {0} ^ {t '_ {n-1}} cdots int _ {0} ^ {t' _ {2}} a (t '_ {n}) cdots a ( t '_ {1}) , dt' _ {1} cdots dt '_ {n-2} dt' _ {n-1} dt '_ {n} end {hizalangan}}}$

qaerda muddat n = 0 1 ga teng va qaerdadir ${ displaystyle { mathcal {T}}}$ eksponensial bo'lishini ta'minlaydigan yuqori darajadagi operatsiya vaqt bo'yicha buyurtma qilingan: ning har qanday mahsuloti a(t) eksponentning kengayishida yuz beradigan, shunday qilib tartiblangan bo'lishi kerak t mahsulotning o'ngdan chapga ko'paymoqda; sxematik misol:

${ displaystyle { mathcal {T}} chap {a (1.2) a (9.5) a (4.1) right } = a (9.5) a (4.1) a (1.2).}$

Ushbu cheklash zarur, chunki algebradagi mahsulotlar kommutativ bo'lishi shart emas.

Amaliyot parametrlangan elementni boshqa parametrlangan elementga yoki ramziy ma'noda,

${ displaystyle operator nomi {OE} { mathrel {:}} chap (K dan A o'ng) ga chapga (K dan A o'nggacha).}$

Ushbu integralni aniqroq aniqlashning turli usullari mavjud.

Ko'rsatkichlar mahsuloti

Buyurtma qilingan eksponentni chap deb belgilash mumkin mahsulot ajralmas ning cheksiz eksponentlar, yoki ekvivalent sifatida buyurtma qilingan mahsulot dagi eksponentlar chegara atamalar soni cheksizgacha o'sganda:

${ displaystyle operator nomi {OE} [a] (t) = prod _ {0} ^ {t} e ^ {a (t ') , dt'} equiv lim _ {N rightarrow infty} chap (e ^ {a (t_ {N}) , Delta t} e ^ {a (t_ {N-1}) , Delta t} cdots e ^ {a (t_ {1})) , Delta t} e ^ {a (t_ {0}) , Delta t} o'ng)}$

qaerda vaqt lahzalari {t₀, …, t_N} sifatida belgilanadi t_men ≡ men Δt uchun men = 0, …, Nva Δt ≡ t / N.

Buyurtma qilingan eksponentlik aslida a geometrik integral.^{[1][2] [3]}

Differentsial tenglamani echish

Buyurtma qilingan eksponentning yagona echimi boshlang'ich qiymat muammosi:

${ displaystyle { begin {aligned} { frac {d} {dt}} operatorname {OE} [a] (t) & = a (t) operatorname {OE} [a] (t), [5pt] operatorname {OE} [a] (0) & = 1. end {aligned}}}$

Integral tenglamaning echimi

Buyurtma qilingan eksponensial - ning echimi integral tenglama:

${ displaystyle operator nomi {OE} [a] (t) = 1 + int _ {0} ^ {t} a (t ') operator nomi {OE} [a] (t') , dt '.}$

Ushbu tenglama oldingi boshlang'ich qiymat muammosiga teng.

Cheksiz qator kengayishi

Buyurtma qilingan eksponentni cheksiz summa sifatida aniqlash mumkin,

${ displaystyle operator nomi {OE} [a] (t) = 1 + int _ {0} ^ {t} a (t_ {1}) , dt_ {1} + int _ {0} ^ {t } int _ {0} ^ {t_ {1}} a (t_ {1}) a (t_ {2}) , dt_ {2} , dt_ {1} + cdots.}$

Buni integral tenglamani o'ziga rekursiv ravishda almashtirish orqali olish mumkin.

Misol

Kollektor berilgan ${ displaystyle M}$ qayerda ${ displaystyle e in TM}$ bilan guruh transformatsiya ${ displaystyle g: e mapsto ge}$ u bir nuqtada ushlab turadi ${ displaystyle x in M}$:

${ displaystyle de (x) + operator nomi {J} (x) e (x) = 0.}$

Bu yerda, ${ displaystyle d}$ bildiradi tashqi farqlash va ${ displaystyle operatorname {J} (x)}$ - ishlaydigan operator (1-shakl maydon) ${ displaystyle e (x)}$. Yuqoridagi tenglamani integratsiya qilishda u amal qiladi (hozir, ${ displaystyle operatorname {J} (x)}$ koordinata asosida ifodalangan ulanish operatori)

${ displaystyle e (y) = operatorname {P} exp left (- int _ {x} ^ {y} J ( gamma (t)) gamma '(t) , dt right) e (x)}$

yo'lni buyurtma qilish operatori bilan ${ displaystyle operator nomi {P}}$ yo'lni tartibida omillarni buyurtma qiladi ${ displaystyle gamma (t) in M}$. Buning uchun maxsus holat ${ displaystyle operatorname {J} (x)}$ bu antisimetrik operator va ${ displaystyle gamma}$ chekka uzunliklarga ega cheksiz kichik to'rtburchakdir ${ displaystyle | u |, | v |}$ nuqtalar va burchaklar ${ displaystyle x, x + u, x + u + v, x + v,}$ yuqoridagi ifoda quyidagicha soddalashtiriladi:

${ displaystyle { begin {aligned} & operatorname {OE} [- operatorname {J}] e (x) [5pt] = {} & exp [- operatorname {J} (x + v) (-v)] exp [- operator nomi {J} (x + u + v) (- u)] exp [- operator nomi {J} (x + u) v] exp [- operator nomi {J } (x) u] e (x) [5pt] = {} & [1- operator nomi {J} (x + v) (- v)] [1- operator nomi {J} (x + u +) v) (- u)] [1- operatorname {J} (x + u) v] [1- operatorname {J} (x) u] e (x). end {hizalangan}}}$

Demak, u guruhni o'zgartirish identifikatoriga ega ${ displaystyle operator nomi {OE} [- operator nomi {J}] mapsto g operator nomi {OE} [ operator nomi {J}] g ^ {- 1}}$. Agar ${ displaystyle - operatorname {J} (x)}$ - bu cheksiz kichik miqdorlarda yuqoridagi miqdorni ikkinchi darajaga kengaytiradigan silliq aloqa ${ displaystyle | u |, | v |}$ buyurtma qilingan eksponensial identifikatorni mutanosib bo'lgan tuzatish muddati bilan oladi egrilik tensori.

Shuningdek qarang

• Yo'lga buyurtma berish (aslida bir xil tushuncha)
• Magnus kengayishi
• Mahsulot ajralmas
• Muqobil hisoblashlarda hosilalar va integrallar ro'yxati
• Belgilanmagan mahsulot
• Fraktal lotin

Adabiyotlar

Tashqi havolalar

• Nyutonga tegishli bo'lmagan veb-sayt