Paden-Kahan pastki muammolari - Paden–Kahan subproblems

Paden-Kahan pastki muammolari ichida tez-tez uchraydigan echilgan geometrik masalalar to'plami teskari kinematikalar oddiy robot manipulyatorlari.^[1] Muammolar to'plami to'liq bo'lmasa-da, ko'plab sanoat robotlari uchun teskari kinematik tahlilni soddalashtirish uchun ishlatilishi mumkin.^[2]

Soddalashtirish strategiyalari

Bilan belgilangan tuzilish tenglamasi uchun eksponentlar mahsuloti Teskari kinematik masalani soddalashtirish va hal qilish uchun Paden-Kahan pastki muammolaridan foydalanish mumkin. Ta'kidlash joizki, matritsadagi eksponentlar nokommutativ.

Umuman olganda, subprolemlemlar qo'shma burchaklarni echish uchun teskari kinematikaning muayyan nuqtalarini (masalan, qo'shma o'qlarning kesishishini) hal qilish uchun qo'llaniladi.

Revolyutsiyali bo'g'inlarni yo'q qilish

Soddalashtirish printsipi bilan amalga oshiriladi, aylanish o'z o'qida yotgan nuqtaga ta'sir qilmaydi. Masalan, agar nuqta ${ textstyle p}$ aylanma burilish o'qida joylashgan ${ textstyle xi}$ , uning holatiga burilishni qo'zg'atish ta'sir qilmaydi. Aql bilan:

{ displaystyle e ^ {{ widehat { xi}} theta} p = p}

Shunday qilib, struktura tenglamasi uchun

{ displaystyle e ^ {{ widehat { xi}} _ {1} theta _ {1}} e ^ {{ widehat { xi}} _ {2} theta _ {2}} e ^ { { widehat { xi}} _ {3} theta _ {3}} = g}

qayerda

{ textstyle xi _ {1}}

,

{ textstyle xi _ {2}}

va

{ textstyle xi _ {3}}

tenglamaning ikkala tomonini bir nuqtaga tatbiq etadigan barcha nol balandlikdagi burmalar

{ textstyle p}

ning o'qida joylashgan

{ textstyle xi _ {3}}

(lekin ning o'qlarida emas

{ textstyle xi _ {1}}

yoki

{ textstyle xi _ {2}}

) hosil beradi

{ displaystyle e ^ {{ widehat { xi}} _ {1} theta _ {1}} e ^ {{ widehat { xi}} _ {2} theta _ {2}} e ^ { { widehat { xi}} _ {3} theta _ {3}} p = gp}

Bekor qilish orqali

{ textstyle xi _ {3}}

, bu hosil beradi

{ displaystyle e ^ {{ widehat { xi}} _ {1} theta _ {1}} e ^ {{ widehat { xi}} _ {2} theta _ {2}} p = gp }

qaysi, agar

{ textstyle xi _ {1}}

va

{ textstyle xi _ {2}}

kesishadi, 2-kichik muammo bilan hal qilinishi mumkin.

Norm

Ba'zi hollarda, tenglamaning har ikki tomonidan bir nuqtani olib tashlash va natijaning normasini olish bilan ham muammo soddalashtirilishi mumkin.

Masalan, hal qilish

{ displaystyle e ^ {{ widehat { xi}} _ {1} theta _ {1}} e ^ {{ widehat { xi}} _ {2} theta _ {2}} e ^ { { widehat { xi}} _ {3} theta _ {3}} = g}

uchun

{ textstyle xi _ {3}}

, qayerda

{ textstyle xi _ {1}}

va

{ textstyle xi _ {2}}

nuqtada kesishadi

{ textstyle q}

, tenglamaning ikkala tomoni ham bir nuqtaga qo'llanishi mumkin

{ textstyle p}

ning o'qida emas

{ textstyle xi _ {3}}

. Chiqarish

{ textstyle q}

va ikkala tomonning me'yorini hisobga olgan holda hosil olinadi

{ displaystyle { begin {aligned} delta _ {i} = | gp-q | = | e ^ {{ widehat { xi}} _ {1} theta _ {1}} e ^ {{ widehat { xi}} _ {2} theta _ {2}} e ^ {{ widehat { xi}} _ {3} theta _ {3}} pq | = | e ^ {{ widehat { xi}} _ {1} theta _ {1}} e ^ {{ widehat { xi}} _ {2} theta _ {2}} (e ^ {{ widehat { xi}} _ {3} theta _ {3}} pq) | = | e ^ {{ widehat { xi}} _ {3} theta _ {3}} pq | end { tekislangan}}}

Buni Subproblem 3 yordamida hal qilish mumkin.

Subproblemlar ro'yxati

Har bir kichik muammo geometrik isbotga asoslangan algoritm sifatida taqdim etiladi. Berilgan subproblemni echish kodi, u bir nechta echimlarga ega bo'lgan yoki echimsiz bo'lgan holatlarni hisobga olish uchun yozilishi kerak, robotlarning keng doirasi uchun teskari kinematik algoritmlarga kiritilishi mumkin.

1-kichik muammo: bitta o'q atrofida aylanish

Birinchi Paden-Kahan subproblemi tasvirlangan.

Ruxsat bering ${ textstyle xi}$ birlik kattaligi va nolga teng burilish bo'lishi ${ textstyle p, q in mathbb {R} ^ {3}}$ ikkita nuqta. Toping ${ textstyle theta}$ shu kabi

{ displaystyle e ^ {{ widehat { xi}} theta} p = q.}

Ushbu pastki muammoda nuqta ${ textstyle p}$ berilgan o'qi atrofida aylantiriladi ${ textstyle xi}$ shunday qilib u ikkinchi nuqta bilan mos keladi ${ textstyle q}$ .

Birinchi Paden-Kahan pastki muammosida proektsiyalangan doiraning tasviri.

Qaror

Ruxsat bering ${ textstyle r}$ ning o'qi bo'yicha nuqta bo'ling ${ textstyle xi}$ . Vektorlarni aniqlang ${ textstyle u = (p-r)}$ va ${ textstyle v = (q-r)}$ . Beri ${ textstyle r}$ ning o'qida joylashgan ${ textstyle xi}$ , ${ textstyle e ^ {{ widehat { xi}} theta} r = r.}$ Shuning uchun, ${ textstyle e ^ {{ widehat { omega}} theta} u = v.}$

Keyinchalik, vektorlar ${ textstyle u '}$ va ${ textstyle v '}$ ning proektsiyalari sifatida aniqlanadi ${ textstyle u}$ va ${ textstyle v}$ o'qiga perpendikulyar bo'lgan tekislikka ${ textstyle xi}$ . Vektor uchun ${ textstyle omega in mathbb {R}}$ o'qi yo'nalishi bo'yicha ${ textstyle xi}$ ,

{ displaystyle u '= u- omega omega ^ {T} u}

va

{ displaystyle v '= v- omega omega ^ {T} v.}

Agar shunday bo'lsa

{ textstyle u '= 0}

,

{ textstyle p = q}

va ikkala nuqta ham aylanish o'qida yotadi. Shuning uchun kichik muammo bu holda cheksiz ko'p miqdordagi echimlarni beradi.

Muammoning echimi bo'lishi uchun, ning proektsiyalari kerak ${ textstyle u}$ va ${ textstyle v}$ ustiga ${ textstyle omega}$ o'qi va tekislikka perpendikulyar ${ textstyle omega}$ teng uzunliklarga ega. Buni tekshirish kerak:

{ displaystyle omega ^ {T} u = omega ^ {T} v}

va bu

{ displaystyle | u ' | = | v' |}

Agar bu tenglamalar qondirilsa, bo'g'inish burchagi qiymati ${ textstyle theta}$ yordamida topilishi mumkin atan2 funktsiyasi:

{ displaystyle theta = mathrm {atan2} ( omega ^ {T} (u ' times v'), u '^ {T} v').}

Shartli

{ textstyle u ' neq 0}

, ushbu kichik muammo uchun bitta echim bo'lishi kerak

{ textstyle theta}

.

Subproblem 2: Ikki keyingi o'qlar atrofida aylanish

Paden-Kahan subproblemining tasviri 2. Quyi muammo doiralar ikki nuqtada kesishgan taqdirda ikkita echimni beradi; aylanalar tangensial bo'lsa, bitta echim; va aylanalar kesishmasa, echim topilmaydi.

Ruxsat bering ${ textstyle xi _ {1}}$ va ${ textstyle xi _ {2}}$ birlik kattaligi va kesishgan o'qlari bo'lgan ikkita nol balandlikdagi burilish bo'ling. Ruxsat bering ${ textstyle p, q in mathbb {R} ^ {3}}$ ikkita nuqta. Toping ${ textstyle theta _ {1}}$ va ${ textstyle theta _ {2}}$ shu kabi ${ displaystyle e ^ {{ widehat { xi}} _ {1} theta _ {1}} e ^ {{ widehat { xi}} _ {2} theta _ {2}} p = q .}$

Ushbu muammo aylanishga mos keladi ${ textstyle p}$ ning o'qi atrofida ${ textstyle xi _ {2}}$ tomonidan ${ textstyle theta _ {2}}$ , keyin uni o'qi atrofida aylantiring ${ textstyle xi _ {1}}$ tomonidan ${ textstyle theta _ {1}}$ , shunday qilib ${ textstyle p}$ bilan tasodifiy ${ textstyle q}$ . (Agar o'qlari ${ textstyle xi _ {1}}$ va ${ textstyle xi _ {2}}$ tasodifiy bo'lsa, unda bu muammo 1-kichik muammoga qadar kamayadi va barcha echimlarni qabul qiladi ${ textstyle theta _ {1} + theta _ {2} = theta}$ .)

Qaror

Ikki eksa parallel bo'lmasligi sharti bilan (ya'ni, ${ textstyle omega _ {1} neq omega _ {2}}$ ), ruxsat bering ${ textstyle c}$ shunday bir nuqta bo'ling

{ displaystyle e ^ {{ widehat { xi}} _ {2} theta _ {2}} p = c = e ^ {- { widehat { xi}} _ {1} theta _ {1 }} q.}

Boshqa so'zlar bilan aytganda,

{ textstyle c}

qaysi nuqtani anglatadi

{ textstyle p}

tasodif bo'lishi uchun boshqa o'q atrofida aylanishidan oldin bitta o'q atrofida aylantiriladi

{ textstyle q}

. Har bir alohida aylanish 1-kichik muammoga teng, ammo buning uchun bir yoki bir nechta haqiqiy echimlarni aniqlash kerak

{ textstyle c}

aylantirish uchun hal qilish uchun.

Ruxsat bering ${ textstyle r}$ ikkita o'qning kesishish nuqtasi bo'ling:

{ displaystyle e ^ {{ widehat { xi}} _ {2} theta _ {2}} (pr) = cr = e ^ {- { widehat { xi}} _ {1} theta _ {1}} (qr).}

Paden-Kahan 2-subproblemining tasviri, bu subproblem faqat bitta echimni beradigan tangensial holatni aks ettiradi.

Vektorlarni aniqlang ${ textstyle u = (p-r)}$ , ${ textstyle v = (q-r)}$ va ${ textstyle z = (c-r)}$ . Shuning uchun,

{ displaystyle e ^ {{ widehat { xi}} _ {2} theta _ {2}} u = z = e ^ {- { widehat { xi}} _ {1} theta _ {1 }} v.}

Bu shuni anglatadiki ${ textstyle omega _ {2} ^ {T} u = omega _ {2} ^ {T} z}$ , ${ textstyle omega _ {1} ^ {T} v = omega _ {1} ^ {T} z}$ va ${ textstyle | u | ^ {2} = | z | ^ {2} = | v | ^ {2}}$ . Beri ${ textstyle omega _ {1}}$ , ${ textstyle omega _ {2}}$ va ${ textstyle omega _ {1} times omega _ {2}}$ chiziqli mustaqil, ${ textstyle z}$ sifatida yozilishi mumkin

{ displaystyle z = alpha omega _ {1} + beta omega _ {2} + gamma ( omega _ {1} times omega _ {2}).}

Koeffitsientlarning qiymatlari quyidagicha echilishi mumkin:

Paden-Kahan 2 subproblemasining tasviri, unda ikkita kesishgan doiralar va shu sababli ikkita echim ko'rsatilgan. Ikkala echim ham (c, c2) ta'kidlangan.

{ displaystyle alpha = { frac {( omega _ {1} ^ {T} omega _ {2}) omega _ {2} ^ {T} u- omega _ {1} ^ {T} v} {( omega _ {1} ^ {T} omega _ {2}) ^ {2} -1}}}

{ displaystyle beta = { frac {( omega _ {1} ^ {T} omega _ {2}) omega _ {1} ^ {T} v- omega _ {2} ^ {T} u} {( omega _ {1} ^ {T} omega _ {2}) ^ {2} -1}}}

va

{ displaystyle gamma ^ {2} = { frac { | u | ^ {2} - alfa ^ {2} - beta ^ {2} -2 alpha beta omega _ {1} ^ {T} omega _ {2}} { | omega _ {1} times omega _ {2} | ^ {2}.}}}

Kichik muammo doiralar ikki nuqtada kesishgan taqdirda ikkita echimni beradi; aylanalar tangensial bo'lsa, bitta echim; va aylanalar kesilmasa, echim bo'lmaydi.

3-kichik muammo: berilgan masofaga burilish

Ruxsat bering ${ textstyle xi}$ birlik kattaligi bilan nol balandlikdagi burilish bo'lishi; ruxsat bering ${ textstyle p, q in mathbb {R} ^ {3}}$ ikki nuqta bo'lishi; va ruxsat bering ${ textstyle delta}$ 0 dan katta haqiqiy son bo'ling. Toping ${ textstyle theta}$ shu kabi ${ displaystyle | q-e ^ {{ widehat { xi}} theta} p | = delta.}$

Ushbu muammoda bir nuqta ${ textstyle p}$ o'qi atrofida aylantiriladi ${ textstyle xi}$ nuqta masofa bo'lguncha ${ textstyle delta}$ bir nuqtadan ${ textstyle q}$ . Yechim mavjud bo'lishi uchun aylananing aylanishi bilan aniqlanadi ${ textstyle p}$ atrofida ${ textstyle xi}$ radius sferasini kesib o'tishi kerak ${ textstyle delta}$ markazida ${ textstyle q}$ .

Qaror

Ruxsat bering ${ textstyle r}$ ning o'qi bo'yicha nuqta bo'ling ${ textstyle xi}$ . Vektorlar ${ textstyle u = (p-r)}$ va ${ textstyle v = (q-r)}$ shunday belgilanadi

{ displaystyle | v-e ^ {{ widehat { xi}} theta} u | ^ {2} = delta ^ {2}.}

Ning proektsiyalari ${ textstyle u}$ va ${ textstyle v}$ bor ${ textstyle u '= u- omega omega ^ {T} u}$ va ${ textstyle v '= v- omega omega ^ {T} v.}$ Bilan belgilangan chiziq segmentining "proektsiyasi" ${ textstyle delta}$ komponentini ayirish orqali topiladi ${ textstyle p-q}$ ichida ${ textstyle omega}$ yo'nalish:

{ displaystyle delta '^ {2} = delta ^ {2} - | omega ^ {T} (p-q) | ^ {2}.}

Burchak

{ textstyle theta _ {0}}

vektorlar orasidagi

{ textstyle u '}

va

{ textstyle v '}

yordamida topiladi atan2 funktsiyasi:

{ displaystyle theta _ {0} = atan2 ( omega ^ {T} (u ' times v'), u '^ {T} v').}

Qo'shish burchagi

{ textstyle theta}

formula bo'yicha topiladi

{ displaystyle theta = theta _ {0} pm cos ^ {- 1} chap ({ frac { | u ' | ^ {2} + | v' | ^ {2} - delta '^ {2}} {2 | u' | | v ' |}} o'ng).}

Ushbu kichik muammo radius aylanasi qancha nuqtaga qarab, nol, bitta yoki ikkita echimni berishi mumkin

{ textstyle | u ' |}

radius doirasini kesib o'tadi

{ textstyle delta '}

.

4-kichik muammo: berilgan masofaga ikki o'qi atrofida aylantirish

Ruxsat bering ${ textstyle xi _ {1}}$ va ${ textstyle xi _ {2}}$ birlik kattaligi va kesishgan o'qlari bilan ikkita nol balandlikdagi burilish bo'ling. Ruxsat bering ${ textstyle p, q_ {1}, q_ {2} in mathbb {R} ^ {3}}$ ochko bo'lish Toping ${ textstyle theta _ {1}}$ va ${ textstyle theta _ {2}}$ shu kabi ${ displaystyle | e ^ {{ widehat { xi}} _ {1} theta _ {1}} e ^ {{ widehat { xi}} _ {2} theta _ {2}} p -q_ {1} | = delta _ {1}.}$

Ushbu muammo 2-kichik muammoga o'xshaydi, faqat oxirgi nuqta ma'lum bo'lgan ikkita nuqtagacha bo'lgan masofalar bilan cheklanadi.

5-kichik muammo: Berilgan masofaga tarjima

Ruxsat bering ${ textstyle xi}$ o'lchovning cheksiz balandligi; ${ textstyle p, q in mathbb {R} ^ {3}}$ ikki nuqta; va ${ textstyle delta}$ haqiqiy son 0 dan katta. Toping ${ textstyle theta}$ shu kabi ${ displaystyle | q-e ^ {{ widehat { xi}} theta} p | = delta.}$

Adabiyotlar

^ Paden, Bredli Evan (1985). "Kinematika va robotlar manipulyatorlarini boshqarish". Ph.D. Tezis. Bibcode:1985PhDT ........ 94P.
^ Sastry, Richard M. Murray; Zexiang Li; S. Shankar (1994). Robot manipulyatsiyasiga matematik kirish (PDF) (1. [Doktor] tahr.). Boka Raton, AQSh: CRC Press. ISBN 9780849379819.

[1] Paden, Bredli Evan (1985). "Kinematika va robotlar manipulyatorlarini boshqarish". Ph.D. Tezis. Bibcode:1985PhDT ........ 94P.

[2] Sastry, Richard M. Murray; Zexiang Li; S. Shankar (1994). Robot manipulyatsiyasiga matematik kirish (PDF) (1. [Doktor] tahr.). Boka Raton, AQSh: CRC Press. ISBN 9780849379819.

[1]

[2]