Birlikning bo'linishi - Partition of unity

Yilda matematika, a birlikning bo'linishi a topologik makon X to'plamdir R ning doimiy funktsiyalar dan X uchun birlik oralig'i [0,1] shundayki, har bir nuqta uchun, ${ displaystyle x in X}$ ,

bor Turar joy dahasi ning x qaerda a cheklangan funktsiyalarining soni R 0, va
barcha funktsiya qiymatlari yig'indisi x 1 ga teng, ya'ni ${ displaystyle ; sum _ { rho in R} rho (x) = 1}$ .

To'rt funktsiyadan iborat doiraning birligi. Grafika maqsadida aylana chiziq segmentiga (pastki qattiq chiziq) tushiriladi. Yuqoridagi kesilgan chiziq qismdagi funktsiyalar yig'indisidir.

Birlik bo'linmalari foydalidir, chunki ular ko'pincha mahalliy konstruktsiyalarni butun maydonga kengaytirishga imkon beradi. Ular shuningdek muhimdir interpolatsiya ma'lumotlar, yilda signallarni qayta ishlash va nazariyasi spline funktsiyalari.

Mavjudlik

Birlik bo'linmalarining mavjudligi ikkita alohida shaklni oladi:

Har qanday narsa berilgan ochiq qopqoq {U_men}_men∈Men bo'shliqning bo'limi mavjud {r_men}_men∈Men indekslangan xuddi shu to'plamdan I shu kabi sup r_men⊆U_men. Bunday bo'lim deyilgan ochiq qopqoqqa bo'ysunadi {U_men}_men.
Agar bo'sh joy mahalliy ixcham bo'lsa, har qanday ochiq qopqoq berilgan {U_men}_men∈Men bo'shliqning bo'limi mavjud {r_j}_j∈J ehtimol alohida indekslar to'plami bo'yicha indekslangan J shunday qilib har bir r_j bor ixcham qo'llab-quvvatlash va har biri uchun j∈J, r r_j⊆U_men kimdir uchun men∈Men.

Shunday qilib, birini tanlash kerak qo'llab-quvvatlaydi ochiq qopqoq yoki ixcham tayanchlar bilan indekslangan. Agar bo'sh joy bo'lsa ixcham, keyin ikkala talabni qondiradigan bo'limlar mavjud.

Cheklangan ochiq qopqoq har doim unga bo'ysunadigan birlikning doimiy bo'linmasiga ega, agar bu joy mahalliy ixcham va Hausdorff bo'lsa.^[1] Parakompaktlik makon - bu birlik bo'linmasi mavjudligini kafolatlash uchun zarur shartdir har qanday ochiq qopqoqqa bo'ysunadi. Ga qarab toifasi makon tegishli bo'lgan, bu ham etarli shart bo'lishi mumkin.^[2] Qurilish foydalanadi mollifikatorlar doimiy funktsiyalar mavjud silliq manifoldlar, lekin emas analitik manifoldlar. Shunday qilib, analitik manifoldning ochiq qopqog'i uchun, ushbu ochiq qopqoqqa bo'ysunadigan birlikning analitik bo'limi odatda mavjud emas. Qarang analitik davomi.

Agar R va T - bo'shliqlar uchun birlik bo'linmalari X va Ynavbati bilan, keyin barcha juftliklar to'plami ${ displaystyle { rho otimes sigma: rho in R, tau in T }}$ uchun birlikning bo'linishi kartezian mahsuloti bo'sh joy X×Y. Funktsiyalarning tenzor mahsuloti quyidagicha ishlaydi ${ displaystyle ( rho otimes sigma) (x, y) = rho (x) sigma (y)}$ .

Misol

Biz birlik birligini qurishimiz mumkin ${ displaystyle S ^ {1}}$ nuqta to'ldiruvchisidagi jadvalga qarab $S ^ {1}} dagi { displaystyle p$ yuborish ${ displaystyle S ^ {1} - {p }}$ ga ${ displaystyle mathbb {R}}$ markaz bilan $S {1}} da { displaystyle q$ . Endi, ruxsat bering ${ displaystyle Phi}$ bo'lishi a zarba funktsiyasi kuni ${ displaystyle mathbb {R}}$ tomonidan belgilanadi

${ displaystyle Phi (x) = { begin {case} exp left ({ frac {1} {x ^ {2} -1}} right) & x in (-1,1) 0 va { text {aks holda}} end {holatlar}}}$

keyin, bu funktsiya ham ${ displaystyle 1- Phi}$ ustiga uzaytirilishi mumkin ${ displaystyle S ^ {1}}$ sozlash orqali ${ displaystyle Phi (p) = 0}$ . Keyin, to'plam ${ displaystyle {(S ^ {1} - {p }, Phi), (S ^ {1} - {q }, 1- Phi) }}$ birlik birligini tugatadi ${ displaystyle S ^ {1}}$ .

Variant ta'riflari

Ba'zan kamroq cheklovli ta'rif ishlatiladi: ma'lum bir nuqtadagi barcha funktsiya qiymatlari yig'indisi kosmosdagi har bir nuqta uchun 1 emas, faqat ijobiy bo'lishi talab qilinadi. Biroq, bunday funktsiyalar to'plami berilgan ${ displaystyle { psi _ {i} } _ {i = 1} ^ { infty}}$ yig'indiga bo'lish orqali qat'iy ma'noda birlik bo'linmasini olish mumkin; bo'lim bo'ladi ${ displaystyle { sigma ^ {- 1} psi _ {i} } _ {i = 1} ^ { infty}}$ qayerda ${ displaystyle sigma (x): = sum _ {i = 1} ^ { infty} psi _ {i} (x)}$ yaxshi aniqlangan, chunki har bir nuqtada faqat sonli atamalar nolga teng. Bundan tashqari, ba'zi mualliflar qo'llab-quvvatlovchilar mahalliy darajada cheklangan bo'lish talabini bekor qiladilar, faqat shuni talab qiladilar ${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ { infty} psi _ {i} (x) < infty}$ Barcha uchun ${ displaystyle x}$ .^[3]

Ilovalar

Birlikning bo'linmasi integralni aniqlash uchun ishlatilishi mumkin (a ga nisbatan hajm shakli ) kollektor ustida aniqlangan funktsiya: Birinchidan, qo'llab-quvvatlash kollektorning bitta koordinatali patchida joylashgan funktsiyaning integralini aniqlaydi; keyin ixtiyoriy funktsiya integralini aniqlash uchun birlik bo'linmasidan foydalaniladi; nihoyat, ta'rif birlikning tanlangan qismidan mustaqil ekanligini ko'rsatadi.

Birlikning bo'linmasidan a mavjudligini ko'rsatish uchun foydalanish mumkin Riemann metrikasi o'zboshimchalik bilan manifoldda.

Eng keskin tushish usuli integrallarning assimptotikasini qurish uchun birlik bo'linmasidan foydalanadi.

Linkwitz-Riley filtri kirish signalini faqat yuqori yoki past chastotali komponentlarni o'z ichiga olgan ikkita chiqish signaliga ajratish uchun birlikni ajratishni amaliy amalga oshirishning misoli.

The Bernshteyn polinomlari belgilangan darajadagi m oila m+1 birlik oralig'i uchun birlik bo'linmasi bo'lgan chiziqli mustaqil polinomlar ${ displaystyle [0,1]}$ .

Birlikning bo'linishi uchun global tekis taxminlarni o'rnatish uchun foydalaniladi Sobolev cheklangan domenlarda funktsiyalar. ^[4]

Shuningdek qarang

Adabiyotlar

^ Rudin, Valter (1987). Haqiqiy va kompleks tahlil (3-nashr). Nyu-York: McGraw-Hill. p. 40. ISBN 978-0-07-054234-1.
^ Aliprantis, Charalambos D.; Chegara, Kim C. (2007). Cheksiz o'lchovli tahlil: avtostopchilar uchun qo'llanma (3-nashr). Berlin: Springer. p. 716. ISBN 978-3-540-32696-0.
^ Strichartz, Robert S. (2003). Tarqatish nazariyasi va Furye konvertatsiyalari bo'yicha qo'llanma. Singapur: World Scientific Pub. Co. ISBN 981-238-421-9. OCLC 54446554.
^ Evans, Lourens (2010-03-02), "Sobolev bo'shliqlari", Qisman differentsial tenglamalar, Matematikadan aspirantura, 19, Amerika matematik jamiyati, 253–309 betlar, doi:10.1090 / gsm / 019/05, ISBN 9780821849743

Tu, Loring V. (2011), Kollektorlarga kirish, Universitext (2-nashr), Berlin, Nyu-York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4419-7400-6, ISBN 978-1-4419-7399-3, 13-bobga qarang

Tashqi havolalar

Birlikning bo'linishi to'g'risida umumiy ma'lumot [Mathworld] da
Birlik bo'linmasining qo'llanilishi [Planet Math] da

[1] Rudin, Valter (1987). Haqiqiy va kompleks tahlil (3-nashr). Nyu-York: McGraw-Hill. p. 40. ISBN 978-0-07-054234-1.

[2] Aliprantis, Charalambos D.; Chegara, Kim C. (2007). Cheksiz o'lchovli tahlil: avtostopchilar uchun qo'llanma (3-nashr). Berlin: Springer. p. 716. ISBN 978-3-540-32696-0.

[3] Strichartz, Robert S. (2003). Tarqatish nazariyasi va Furye konvertatsiyalari bo'yicha qo'llanma. Singapur: World Scientific Pub. Co. ISBN 981-238-421-9. OCLC 54446554.

[4] Evans, Lourens (2010-03-02), "Sobolev bo'shliqlari", Qisman differentsial tenglamalar, Matematikadan aspirantura, 19, Amerika matematik jamiyati, 253–309 betlar, doi:10.1090 / gsm / 019/05, ISBN 9780821849743

[1]

[2]

[3]

[4]