Paskallar sodda - Pascals simplex

Bu maqola emas keltirish har qanday manbalar. Iltimos yordam bering ushbu maqolani yaxshilang tomonidan ishonchli manbalarga iqtiboslarni qo'shish. Manbaga ega bo'lmagan materialga qarshi chiqish mumkin va olib tashlandi. Manbalarni toping: "Paskal oddiyligi"  – Yangiliklar  · gazetalar  · kitoblar  · olim  · JSTOR (Oktyabr 2020) (Ushbu shablon xabarini qanday va qachon olib tashlashni bilib oling)

Yilda matematika, Paskal sodda ning umumlashtirilishi Paskal uchburchagi ning ixtiyoriy soniga o'lchamlari, asosida multinomial teorema.

Umumiy Paskalnikidir m-sodda

Ruxsat bering m (m > 0) polinomning bir qator atamalari va n (n ≥ 0) polinom ko'tarilgan kuch bo'lishi.

Ruxsat bering ${ displaystyle wedge ^ {m}}$ Paskal tilini bildiradi m-oddiy. Har bir Paskalnikida m-oddiy a yarim cheksiz uning tarkibiy qismlarining cheksiz qatoridan iborat bo'lgan ob'ekt.

Ruxsat bering ${ displaystyle wedge _ {n} ^ {m}}$ uni belgilang n^th komponent, o'zi cheklangan (m - 1)-oddiy chekka uzunligi bilan n, notaviy ekvivalenti bilan ${ displaystyle vartriangle _ {n} ^ {m-1}}$.

n^th komponent

${ displaystyle wedge _ {n} ^ {m} = vartriangle _ {n} ^ {m-1}}$ iborat multinomial kengayish koeffitsientlari bilan polinom m kuchiga ko'tarilgan atamalar n:

${ displaystyle | x | ^ {n} = sum _ {| k | = n} {{ binom {n} {k}} x ^ {k}}; x in mathbb {R} ^ {m}, k in mathbb {N} _ {0} ^ {m}, n in mathbb {N} _ {0}, m in mathbb {N}}$

qayerda ${ displaystyle textstyle | x | = sum _ {i = 1} ^ {m} {x_ {i}}, | k | = sum _ {i = 1} ^ {m} {k_ {i} }, x ^ {k} = prod _ {i = 1} ^ {m} {x_ {i} ^ {k_ {i}}}}$.

Uchun namuna ${ displaystyle wedge ^ {4}}$

Paskalning 4-simpleksi (ketma-ketligi) A189225 ichida OEIS ) bo'ylab kesilgan k₄. Bir xil rangdagi barcha nuqtalar bir xilga tegishli n- komponent, qizildan (uchun n = 0) ko'k rangga (uchun n = 3).

Paskalning o'ziga xos soddaligi

Paskalning 1-simpleksi

${ displaystyle wedge ^ {1}}$ maxsus nom bilan ma'lum emas.

n^th komponent

${ displaystyle wedge _ {n} ^ {1} = vartriangle _ {n} ^ {0}}$ (nuqta) bu multinomial kengayish koeffitsienti darajasiga ko'tarilgan 1 terminli polinomning n:

${ displaystyle (x_ {1}) ^ {n} = sum _ {k_ {1} = n} {n k_ {1}} x_ {1} ^ {k_ {1}} ni tanlang; k_ { 1}, n in mathbb {N} _ {0}}$

Tartibga solish ${ displaystyle vartriangle _ {n} ^ {0}}$

${ displaystyle textstyle {n n n} ni tanlang$

bu hamma uchun 1 ga teng n.

Paskalning 2-simpleksi

${ displaystyle wedge ^ {2}}$ sifatida tanilgan Paskal uchburchagi (ketma-ketlik A007318 ichida OEIS ).

n^th komponent

${ displaystyle wedge _ {n} ^ {2} = vartriangle _ {n} ^ {1}}$ (chiziq) ning koeffitsientlaridan iborat binomial kengayish ning kuchiga ko'tarilgan 2 ta atamali polinomning n:

${ displaystyle (x_ {1} + x_ {2}) ^ {n} = sum _ {k_ {1} + k_ {2} = n} {n k_ {1} ni tanlang, k_ {2}} x_ {1} ^ {k_ {1}} x_ {2} ^ {k_ {2}}; k_ {1}, k_ {2}, n in mathbb {N} _ {0}}$

Tartibga solish ${ displaystyle vartriangle _ {n} ^ {1}}$

${ displaystyle textstyle {n n, 0} ni tanlang, {n n-1,1} ni tanlang, cdots, {n ni tanlang 1, n-1}, {n ni tanlang 0, n}}$

Paskalning 3-simpleksi

${ displaystyle wedge ^ {3}}$ sifatida tanilgan Paskalning tetraedri (ketma-ketlik A046816 ichida OEIS ).

n^th komponent

${ displaystyle wedge _ {n} ^ {3} = vartriangle _ {n} ^ {2}}$ (uchburchak) ning koeffitsientlaridan iborat trinomial kengayish darajasiga ko'tarilgan 3 ta atama bilan polinomning n:

${ displaystyle (x_ {1} + x_ {2} + x_ {3}) ^ {n} = sum _ {k_ {1} + k_ {2} + k_ {3} = n} {n k_ ni tanlang {1}, k_ {2}, k_ {3}} x_ {1} ^ {k_ {1}} x_ {2} ^ {k_ {2}} x_ {3} ^ {k_ {3}}; k_ {1}, k_ {2}, k_ {3}, n in mathbb {N} _ {0}}$

Tartibga solish ${ displaystyle vartriangle _ {n} ^ {2}}$

${ displaystyle { begin {aligned} textstyle {n select n, 0,0} &, textstyle {n n-1,1,0}, cdots cdots, {n 1, n ni tanlang -1,0}, {n 0, n, 0} textstyle {n ni tanlang n-1,0,1} &, textstyle {n n-2,1,1} ni tanlang, cdots cdots, {n 0, n-1,1} & vdots textstyle {n 1,0, n-1} &, textstyle {n 0,1, n ni tanlang -1} textstyle {n 0,0 ni tanlang, n} end {hizalangan}}}$

Xususiyatlari

Komponentlarning merosxo'rligi

${ displaystyle wedge _ {n} ^ {m} = vartriangle _ {n} ^ {m-1}}$ son jihatdan har biriga teng (m - 1) - yuz (bor m + Ulardan 1 tasi) ning ${ displaystyle vartriangle _ {n} ^ {m} = wedge _ {n} ^ {m + 1}}$, yoki:

${ displaystyle wedge _ {n} ^ {m} = vartriangle _ {n} ^ {m-1} subset vartriangle _ {n} ^ {m} = wedge _ {n} ^ {m + 1}}$

Shundan kelib chiqadiki, butun ${ displaystyle wedge ^ {m}}$ bu (m + 1) kiritilgan vaqtlar ${ displaystyle wedge ^ {m + 1}}$, yoki:

${ displaystyle wedge ^ {m} subset wedge ^ {m + 1}}$

Misol

        ${ displaystyle  wedge ^ {1}}$         ${ displaystyle  wedge ^ {2}}$        ${ displaystyle  wedge ^ {3}}$         ${ displaystyle  wedge ^ {4}}$${ displaystyle  wedge _ {0} ^ {m}}$     1          1          1          1${ displaystyle  wedge _ {1} ^ {m}}$     1         1 1        1 1        1 1  1                             1          1${ displaystyle  wedge _ {2} ^ {m}}$     1        1 2 1      1 2 1      1 2 1  2 2  1                            2 2        2 2    2                             1          1${ displaystyle  wedge _ {3} ^ {m}}$     1       1 3 3 1    1 3 3 1    1 3 3 1  3 6 3  3 3  1                           3 6 3      3 6 3    6 6    3                            3 3        3 3      3                             1          1

Yuqoridagi qatorda ko'proq atamalar uchun (ketma-ketlik) murojaat qiling A191358 ichida OEIS )

Pastki yuzlarning tengligi

Aksincha, ${ displaystyle wedge _ {n} ^ {m + 1} = vartriangle _ {n} ^ {m}}$ bu (m + 1) bilan chegaralangan vaqtlar ${ displaystyle vartriangle _ {n} ^ {m-1} = wedge _ {n} ^ {m}}$, yoki:

${ displaystyle wedge _ {n} ^ {m + 1} = vartriangle _ {n} ^ {m} supset vartriangle _ {n} ^ {m-1} = wedge _ {n} ^ {m }}$

Shundan kelib chiqadiki, berilgan uchun n, barchasi men- yuzlar son jihatdan teng n^th barcha Paskalning tarkibiy qismlari (m > men) oddiy nusxalar yoki:

${ displaystyle wedge _ {n} ^ {i + 1} = vartriangle _ {n} ^ {i} subset vartriangle _ {n} ^ {m> i} = wedge _ {n} ^ {m > i + 1}}$

Misol

Paskalning 3-simpleksining 3-komponenti (2-simpleks) uchta teng 1-yuzlar (chiziqlar) bilan chegaralangan. Har bir 1-yuz (chiziq) ikkita teng 0-yuzlar (tepalar) bilan chegaralanadi:

2-simpleks 1-yuzlar 2-simplex 0-yuzlar 1-yuzlar 1 3 3 1 1. . . . . . 1 1 3 3 1 1. . . . . . 1 3 6 3 3. . . . 3. . . 3 3 3. . 3. . 1 1 1.

Bundan tashqari, hamma uchun m va barchasi n:

${ displaystyle 1 = wedge _ {n} ^ {1} = vartriangle _ {n} ^ {0} subset vartriangle _ {n} ^ {m-1} = wedge _ {n} ^ {m }}$

Koeffitsientlar soni

Uchun n^th komponent ((m - 1) - oddiy) Paskalning m-sodda, ularning soni multinomial kengayish koeffitsientlari quyidagilardan iborat:

${ displaystyle {(n-1) + (m-1) ni tanlang (m-1)} + {n + (m-2) ni tanlang (m-2)} = {n + (m-1) tanlang ( m-1)} = chap ({ binom {m} {n}} o'ng),}$

(bu erda ikkinchisi ko'p rangli yozuv). Biz buni koeffitsientlar sonining yig'indisi sifatida ko'rishimiz mumkin (n − 1)^th komponent ((m - 1) - oddiy) Paskalning m- an koeffitsientlari soni bilan sodda n^th komponent ((m - 2)-sodda) Paskalning (m - 1)-sodda yoki barcha mumkin bo'lgan qismlarning bir qismi bo'yicha n^th orasida kuch m eksponentlar.

Misol

Ushbu jadval shartlari nosimmetrik formatdagi Paskal uchburchagidan iborat Paskal matritsasi.

Simmetriya

An n^th komponent ((m - 1) - oddiy) Paskalning m-sodda (m!) - katlamli simmetriya.

Geometriya

Ortogonal o'qlar ${ displaystyle k_ {1} ... k_ {m}}$ m o'lchovli kosmosda komponentning vertikalari har bir bolta ustida, uchi [0, ..., 0] uchun ${ displaystyle n = 0}$.

Raqamli qurilish

O'ralgan n- katta sonning kuchi bir zumda beradi n- Paskal sodda sonining uchinchi komponenti.

${ displaystyle left | b ^ {dp} right | ^ {n} = sum _ {| k | = n} {{ binom {n} {k}} b ^ {dp cdot k}}; b, d in mathbb {N}, n in mathbb {N} _ {0}, k, p in mathbb {N} _ {0} ^ {m}, p: p_ {1} = 0, p_ {i} = (n + 1) ^ {i-2}}$

qayerda ${ displaystyle textstyle b ^ {dp} = (b ^ {dp_ {1}}, cdots, b ^ {dp_ {m}}) in mathbb {N} ^ {m}, p cdot k = { sum _ {i = 1} ^ {m} {p_ {i} k_ {i}}} in mathbb {N} _ {0}}$.