Pearson korrelyatsiya koeffitsienti - Pearson correlation coefficient

Yilda statistika, Pearson korrelyatsiya koeffitsienti (PCC, talaffuz qilingan /ˈp.erseng/), shuningdek, deb nomlanadi Pearsonniki r, Pearson mahsulot-moment korrelyatsiya koeffitsienti (PPMCC) yoki ikki tomonlama korrelyatsiya,^[1] chiziqli o'lchaydigan statistik hisoblanadi o'zaro bog'liqlik ikkita o'zgaruvchi o'rtasida X va Y. Uning qiymati +1 dan -1 gacha. +1 qiymati umumiy musbat chiziqli korrelyatsiya, 0 chiziqli korrelyatsiya emas, −1 esa umumiy salbiy chiziqli korrelyatsiya.^[a]

Korrelyatsiya koeffitsientining har xil qiymatlariga ega bo'lgan tarqalish diagrammalariga misollar (r)

Bir nechta to'plam (x, y) ning o'zaro bog'liqlik koeffitsienti bilan x va y har bir to'plam uchun. E'tibor bering, korrelyatsiya chiziqli munosabatlarning kuchi va yo'nalishini aks ettiradi (yuqori satr), lekin bu munosabat nishabini (o'rtada) va chiziqli bo'lmagan munosabatlarning ko'p tomonlarini (pastki qismida) aks ettiradi. NB: markazdagi rasm 0 ga egilib, lekin u holda korrelyatsiya koeffitsienti aniqlanmagan, chunki Y nolga teng.

Nomlash va tarix

U tomonidan ishlab chiqilgan Karl Pirson tomonidan kiritilgan tegishli g'oyadan Frensis Galton 1880-yillarda va matematik formulasi olingan va nashr etilgan Auguste Bravais 1844 yilda.^{[b][5][6][7][8]} Shunday qilib koeffitsientning nomlanishi misol bo'la oladi Stigler qonuni.

Ta'rif

Pearsonning korrelyatsiya koeffitsienti bu kovaryans ikkitasi o'zgaruvchilarning ko'paytmasiga ko'paytiriladi standart og'ishlar. Ta'rifning shakli "mahsulot momentini", ya'ni o'rtacha (birinchisini) o'z ichiga oladi lahza o'rtacha sozlangan tasodifiy miqdorlar mahsulotining kelib chiqishi haqida); shuning uchun modifikator mahsulot momenti nomida.

Aholi uchun

A ga qo'llanganda Pirsonning korrelyatsiya koeffitsienti aholi, odatda yunoncha harf bilan ifodalanadi r (rho) va deb atash mumkin aholi korrelyatsiya koeffitsienti yoki populyatsiya Pearson korrelyatsiya koeffitsienti.^[9] Bir juft tasodifiy o'zgaruvchilar berilgan ${ displaystyle (X, Y)}$, uchun formula r^[10] bu:^[11]

${ displaystyle rho _ {X, Y} = { frac { operatorname {cov} (X, Y)} { sigma _ {X} sigma _ {Y}}}}$

(Tenglama 1)

qaerda:

${ displaystyle operatorname {cov}}$ bo'ladi kovaryans

${ displaystyle sigma _ {X}}$ bo'ladi standart og'ish ning ${ displaystyle X}$

${ displaystyle sigma _ {Y}}$ ning standart og'ishi hisoblanadi ${ displaystyle Y}$

Uchun formula ${ displaystyle rho}$ o'rtacha va kutish bilan ifodalanishi mumkin. Beri

${ displaystyle operator nomi {cov} (X, Y) = operator nomi { mathbb {E}} [(X- mu _ {X}) (Y- mu _ {Y})],}$^[10]

uchun formula ${ displaystyle rho}$ sifatida ham yozilishi mumkin

${ displaystyle rho _ {X, Y} = { frac { operatorname { mathbb {E}} [(X- mu _ {X}) (Y- mu _ {Y})]} { sigma _ {X} sigma _ {Y}}}}$

(Ikkinchi tenglama)

qaerda:

${ displaystyle { sigma _ {Y}}}$ va ${ displaystyle sigma _ {X}}$ yuqoridagi kabi belgilanadi

${ displaystyle mu _ {X}}$ bo'ladi anglatadi ning ${ displaystyle X}$

${ displaystyle mu _ {Y}}$ bo'ladi anglatadi ning ${ displaystyle Y}$

${ displaystyle operatorname { mathbb {E}}}$ bo'ladi kutish.

Uchun formula ${ displaystyle rho}$ markazlashtirilmagan lahzalar bilan ifodalanishi mumkin. Beri

${ displaystyle mu _ {X} = operatorname { mathbb {E}} [, X ,]}$

${ displaystyle mu _ {Y} = operatorname { mathbb {E}} [, Y ,]}$

${ displaystyle sigma _ {X} ^ {2} = operatorname { mathbb {E}} [, left (X- operatorname { mathbb {E}} [X] right) ^ {2} ,] = operator nomi { mathbb {E}} [, X ^ {2} ,] - left ( operatorname { mathbb {E}} [, X ,] right) ^ {2 }}$

${ displaystyle sigma _ {Y} ^ {2} = operator nomi { mathbb {E}} [, chap (Y- operator nomi { mathbb {E}} [Y] o'ng) ^ {2} ,] = operator nomi { mathbb {E}} [, Y ^ {2} ,] - chap (, operator nomi { mathbb {E}} [, Y ,] o'ng) ^ {2}}$

${ displaystyle operator nomi { mathbb {E}} [, chap (X- mu _ {X} o'ng) chap (Y- mu _ {Y} o'ng) ,] = operator nomi { mathbb {E}} [, chap (X- operator nomi { mathbb {E}} [, X ,] o'ng) chap (Y- operator nomi { mathbb {E}} [, Y ,] right) ,] = operator nomi { mathbb {E}} [, X , Y ,] - operator nomi { mathbb {E}} [, X ,] operator nomi { mathbb {E}} [, Y ,] ,,}$

uchun formula ${ displaystyle rho}$ sifatida ham yozilishi mumkin

${ displaystyle rho _ {X, Y} = { frac { operatorname { mathbb {E}} [, X , Y ,] - operatorname { mathbb {E}} [, X ,] operator nomi { mathbb {E}} [, Y ,]} {{ sqrt { operator nomi { mathbb {E}} [, X ^ {2} ,] - chap ( operator nomi { mathbb {E}} [, X ,] right) ^ {2}}} ~ { sqrt { operatorname { mathbb {E}} [, Y ^ {2} ,] - chap ( operatorname { mathbb {E}} [, Y ,] o'ng) ^ {2}}}}}.}$

Namuna uchun

A ga qo'llanganda Pirsonning korrelyatsiya koeffitsienti namuna, odatda tomonidan ifodalanadi ${ displaystyle r_ {xy}}$ va deb atash mumkin namunaviy korrelyatsiya koeffitsienti yoki namunasi Pearson korrelyatsiya koeffitsienti.^[9] Biz uchun formulani olishimiz mumkin ${ displaystyle r_ {xy}}$ a asosidagi kovaryansiyalar va dispersiyalarning taxminlarini almashtirish bilan namuna yuqoridagi formulaga. Berilgan ma'lumotlar berilgan ${ displaystyle left {(x_ {1}, y_ {1}), ldots, (x_ {n}, y_ {n}) right }}$ iborat ${ displaystyle n}$ juftliklar, ${ displaystyle r_ {xy}}$ quyidagicha aniqlanadi:

${ displaystyle r_ {xy} = { frac { sum _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} - { bar {x}}) (y_ {i} - { bar {y} })} {{ sqrt { sum _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} - { bar {x}}) ^ {2}}} { sqrt { sum _ {i = 1} ^ {n} (y_ {i} - { bar {y}}) ^ {2}}}}}}$

(Tenglama 3)

qaerda:

${ displaystyle n}$ namuna hajmi

${ displaystyle x_ {i}, y_ {i}}$ bilan indekslangan individual namunalar men

${ displaystyle { bar {x}} = { frac {1} {n}} sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i}}$ (namuna anglatadi ); va shunga o'xshash tarzda ${ displaystyle { bar {y}}}$

Qayta tartibga solish bizga ushbu formulani beradi ${ displaystyle r_ {xy}}$:

${ displaystyle r_ {xy} = { frac {n sum x_ {i} y_ {i} - sum x_ {i} sum y_ {i}} {{ sqrt {n sum x_ {i} ^ {2} - ( sum x_ {i}) ^ {2}}} ~ { sqrt {n sum y_ {i} ^ {2} - ( sum y_ {i}) ^ {2}}}} }.}$

qayerda ${ displaystyle n, x_ {i}, y_ {i}}$ yuqoridagi kabi belgilanadi.

Ushbu formula namunaviy korrelyatsiyani hisoblash uchun qulay bir martalik algoritmni taklif qiladi, garchi raqamlarga bog'liq bo'lsa, ba'zida son jihatdan beqaror.

Qayta tartibga solish bizga buni beradi^[10] uchun formula ${ displaystyle r_ {xy}}$:

${ displaystyle r_ {xy} = { frac { sum x_ {i} y_ {i} -n { bar {x}} { bar {y}}} {{ sqrt {( sum x_ {i } ^ {2} -n { bar {x}} ^ {2})}} ~ { sqrt {( sum y_ {i} ^ {2} -n { bar {y}} ^ {2} )}}}}.}$

qayerda ${ displaystyle n, x_ {i}, y_ {i}, { bar {x}}, { bar {y}}}$ yuqoridagi kabi belgilanadi.

Ekvivalent ifoda uchun formulani beradi ${ displaystyle r_ {xy}}$ mahsulotlarining o'rtacha qiymati sifatida standart ballar quyidagicha:

${ displaystyle r_ {xy} = { frac {1} {n-1}} sum _ {i = 1} ^ {n} chap ({ frac {x_ {i} - { bar {x} }} {s_ {x}}} o'ng) chap ({ frac {y_ {i} - { bar {y}}} {s_ {y}}} o'ng)}$

qayerda

${ displaystyle n, x_ {i}, y_ {i}, { bar {x}}, { bar {y}}}$ yuqoridagi kabi belgilanadi va ${ displaystyle s_ {x}, s_ {y}}$ quyida keltirilgan

${ displaystyle chap ({ frac {x_ {i} - { bar {x}}} {s_ {x}}} o'ng)}$ bo'ladi standart ball (va shunga o'xshash standart bal uchun ${ displaystyle y}$)

Uchun alternativ formulalar ${ displaystyle r_ {xy}}$ ham mavjud. Masalan. uchun quyidagi formuladan foydalanish mumkin ${ displaystyle r_ {xy}}$:

${ displaystyle r_ {xy} = { frac { sum x_ {i} y_ {i} -n { bar {x}} { bar {y}}} {(n-1) s_ {x} s_ {y}}}}$

qaerda:

${ displaystyle n, x_ {i}, y_ {i}, { bar {x}}, { bar {y}}}$ yuqoridagi kabi belgilanadi va:

${ displaystyle s_ {x} = { sqrt {{ frac {1} {n-1}} sum _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} - { bar {x}}) ^ {2}}}}$ (namuna standart og'ish ); va shunga o'xshash tarzda ${ displaystyle s_ {y}}$

Amaliy masalalar

Og'ir shovqin sharoitida stoxastik o'zgaruvchilarning ikkita to'plami orasidagi korrelyatsiya koeffitsientini ajratib olish noan'anaviy hisoblanadi, xususan, Canonical Correlation Analysis hisobotida og'ir shovqin hissalari tufayli buzilgan korrelyatsiya qiymatlari. Yondashuvni umumlashtirish boshqa joyda berilgan.^[12]

Yo'qotilgan ma'lumotlar bo'lsa, Garren quyidagilarni keltirib chiqardi maksimal ehtimollik taxminchi.^[13]

Matematik xususiyatlar

Pirson korrelyatsiya koeffitsientlarining ham namunasi, ham absolyut qiymatlari 0 va 1 orasida. +1 yoki -1 ga teng bo'lgan korrelyatsiyalar aniq chiziqda yotgan ma'lumotlar nuqtalariga (namunaviy korrelyatsiya holatida) yoki ikki tomonlama taqsimot butunlay bir qatorda qo'llab-quvvatlanadi (aholining o'zaro bog'liqligi holatida). Pearson korrelyatsiya koeffitsienti nosimmetrik: corr (X,Y) = tuzatish (Y,X).

Pearson korrelyatsiya koeffitsientining asosiy matematik xususiyati shundaki o'zgarmas ikkita o'zgaruvchida joylashuv va o'lchovdagi alohida o'zgarishlar ostida. Ya'ni, biz o'zgartirishimiz mumkin X ga a + bX va o'zgartirish Y ga v + dY, qayerda a, b, vva d bilan doimiydir b, d > 0, korrelyatsiya koeffitsientini o'zgartirmasdan. (Bu populyatsiya uchun ham, Pirsonning korrelyatsiya koeffitsientlari uchun ham amal qiladi.) Shuni e'tiborga olingki, ko'proq umumiy chiziqli transformatsiyalar korrelyatsiyani o'zgartiradi: qarang § tasodifiy o'zgaruvchilarning dekoratsiyasi Buning uchun.

Tafsir

Korrelyatsiya koeffitsienti -1 dan 1 gacha o'zgarib turadi. 1 qiymati chiziqli tenglama o'zaro bog'liqlikni tavsiflashini anglatadi. X va Y a, yotgan barcha ma'lumotlar nuqtalari bilan mukammal chiziq buning uchun Y sifatida ortadi X ortadi. −1 qiymati barcha ma'lumotlar nuqtalari bir chiziqda joylashganligini bildiradi Y kabi kamayadi X ortadi. 0 qiymati o'zgaruvchilar o'rtasida chiziqli bog'liqlik yo'qligini anglatadi.^[14]

Umuman olganda (X_men − X)(Y_men − Y) ijobiy va faqat agar ijobiy bo'lsa X_men va Y_men tegishli vositalarining bir tomonida yotish. Shunday qilib, korrelyatsiya koeffitsienti ijobiy, agar X_men va Y_men bir vaqtning o'zida o'zlarining tegishli vositalaridan kattaroq yoki bir vaqtning o'zida kamroq bo'lishga moyil. Korrelyatsiya koeffitsienti salbiy (korrelyatsiyaga qarshi ) agar X_men va Y_men o'z vositalarining qarama-qarshi tomonlarida yotishga moyil. Bundan tashqari, moyillik qanchalik kuchli bo'lsa, shunchalik katta bo'ladi mutlaq qiymat korrelyatsiya koeffitsienti.

Rodjers va Nitsvander^[15] o'zaro bog'liqlikni talqin qilishning o'n uchta usuli kataloglangan:

• Xom ballar va vositalarning funktsiyasi
• Standartlashtirilgan kovaryans
• Regressiya chizig'ining standartlashtirilgan qiyaligi
• Ikki regressiya yonbag'rining geometrik o'rtacha qiymati
• Ikki dispersiya nisbatining kvadrat ildizi
• Standartlashtirilgan o'zgaruvchilarning o'rtacha o'zaro bog'liqligi
• Ikkala standartlashtirilgan regressiya chiziqlari orasidagi burchakning funktsiyasi
• Ikki o'zgaruvchan vektor orasidagi burchakning funktsiyasi
• Standartlashtirilgan ballar o'rtasidagi farqning qayta hisoblangan farqi
• Balon qoidasidan taxmin qilingan
• Izokonsentratsiyaning ikki o'zgaruvchan ellipslari bilan bog'liq
• Loyihalangan tajribalardan olingan test statistikasining funktsiyasi
• Ikki vositaning nisbati

Geometrik talqin

Uchun regressiya liniyalari y = g_X(x) [qizil] va x = g_Y(y) [ko'k]

Markazlashtirilmagan ma'lumotlar uchun korrelyatsiya koeffitsienti va burchak o'rtasida bog'liqlik mavjud φ ikki regressiya chizig'i o'rtasida, y = g_X(x) va x = g_Y(y), regressing natijasida olingan y kuni x va x kuni y navbati bilan. (Bu yerda, φ chiziqlarning kesishish nuqtasi atrofida hosil bo'lgan birinchi kvadrant ichida soat sohasi farqli o'laroq o'lchanadi r > 0, yoki agar to'rtinchi tomondan ikkinchi kvadrantga soat sohasi farqli o'laroq r < 0.) Ko'rsatish mumkin^[16] agar standart og'ishlar teng bo'lsa, unda r = sek φ - sarg'ish φ, qaerda sek va sarg'ish bor trigonometrik funktsiyalar.

Markazlashtirilgan ma'lumotlar uchun (ya'ni har bir o'zgaruvchi uchun o'rtacha nolga teng bo'lishi uchun o'zlarining o'zgaruvchilarining namunaviy vositalari yordamida siljigan ma'lumotlar) uchun korrelyatsiya koeffitsienti ham kosinus ning burchak θ kuzatilgan ikkalasi o'rtasida vektorlar yilda No'lchovli bo'shliq (uchun N har bir o'zgaruvchining kuzatuvlari)^[17]

Ma'lumotlar to'plami uchun markazlashtirilmagan (Pearson-mos kelmaydigan) va markazlashtirilgan korrelyatsiya koeffitsientlari aniqlanishi mumkin. Masalan, beshta mamlakatda tegishli ravishda 1, 2, 3, 5 va 8 milliard dollarlik yalpi milliy mahsulotlar borligi aniqlandi. Deylik, xuddi shu beshta mamlakatda (xuddi shu tartibda) 11%, 12%, 13%, 15% va 18% qashshoqlik borligi aniqlandi. Keyin ruxsat bering x va y yuqoridagi ma'lumotlarni o'z ichiga olgan 5 elementli vektorlarga buyurtma berish: x = (1, 2, 3, 5, 8) va y = (0.11, 0.12, 0.13, 0.15, 0.18).

Burchakni topish uchun odatiy protsedura bo'yicha θ ikki vektor o'rtasida (qarang. qarang nuqta mahsuloti ), the markazsiz korrelyatsiya koeffitsienti:

${ displaystyle cos theta = { frac { mathbf {x} cdot mathbf {y}} { left | mathbf {x} right | left | mathbf {y} right |}} = { frac {2.93} {{ sqrt {103}} { sqrt {0.0983}}}} = 0.920814711.}$

Ushbu markazlanmagan korrelyatsiya koeffitsienti bilan bir xil kosinus o'xshashligi.Qayd etish kerakki, yuqoridagi ma'lumotlar ataylab mukammal o'zaro bog'liq bo'lishi uchun tanlangan: y = 0.10 + 0.01 x. Shuning uchun Pearson korrelyatsiya koeffitsienti to'liq bitta bo'lishi kerak. Ma'lumotlarni markazlashtirish (almashtirish) x tomonidan ℰ (x) = 3.8 va y tomonidan ℰ (y) = 0.138) hosil beradi x = (−2.8, −1.8, −0.8, 1.2, 4.2) va y = (−0.028, −0.018, −0.008, 0.012, 0.042), undan

${ displaystyle cos theta = { frac { mathbf {x} cdot mathbf {y}} { left | mathbf {x} right | left | mathbf {y} right |}} = { frac {0.308} {{ sqrt {30.8}} { sqrt {0.00308}}}} = 1 = rho _ {xy},}$

kutilganidek.

Korrelyatsiya hajmini talqin qilish

Ushbu ko'rsatkich, Pearson korrelyatsiyasining qiymatlarni taxmin qilish uchun foydaliligi uning kattaligiga qarab qanday o'zgarib turishini tushuntiradi. Birgalikda normal hisoblanadi X, Y korrelyatsiya bilan r, ${ displaystyle 1 - { sqrt {1- rho ^ {2}}}}$ (bu erda funktsiyasi sifatida tuzilgan r) berilgan omil bashorat qilish oralig'i uchun Y ning tegishli qiymati berilganida kamaytirilishi mumkin X. Masalan, agar r = 0,5, keyin 95% prognozlash oralig'i Y|X 95% prognozlash oralig'idan taxminan 13% kichikroq bo'ladi Y.

Bir nechta mualliflar korrelyatsiya koeffitsientini talqin qilish bo'yicha ko'rsatmalar taklif qilishdi.^[18][19] Biroq, bunday mezonlarning barchasi biron bir tarzda o'zboshimchalik bilan amalga oshiriladi.^[19] Korrelyatsiya koeffitsientini talqin qilish kontekst va maqsadlarga bog'liq. Agar jismoniy qonunni yuqori sifatli asboblardan foydalangan holda tekshirayotgan bo'lsa, 0.8 korrelyatsiyasi juda past bo'lishi mumkin, ammo ijtimoiy fanlarda juda yuqori deb hisoblanishi mumkin, bu erda murakkablashtiruvchi omillarning hissasi ko'proq bo'lishi mumkin.

Xulosa

Pearsonning korrelyatsiya koeffitsientiga asoslangan statistik xulosa ko'pincha quyidagi ikkita maqsadning biriga qaratiladi:

• Maqsadlardan biri sinovdan o'tkazishdir nol gipoteza haqiqiy korrelyatsiya koeffitsienti r namunaviy korrelyatsiya koeffitsienti qiymatiga asoslanib, 0 ga teng r.
• Boshqa maqsad a ishonch oralig'i takroriy tanlab olishda ma'lum ehtimollik mavjud r.

Quyida ushbu maqsadlardan biriga yoki ikkalasiga erishish usullarini muhokama qilamiz.

Permütatsiya testidan foydalanish

Permutatsion testlar gipoteza testlarini o'tkazishda va ishonch oralig'ini tuzishda bevosita yondashuvni ta'minlaydi. Pirsonning korrelyatsiya koeffitsienti uchun almashtirish testi quyidagi ikki bosqichni o'z ichiga oladi:

1. Asl juftlashgan ma'lumotdan foydalanish (x_men, y_men), tasodifiy ravishda yangi ma'lumotlar to'plamini yaratish uchun juftlarni qayta aniqlang (x_men, y_men), qaerda men {1, ..., to'plamining almashinuvin}. Almashtirish men tasodifiy tanlanadi, hammaga teng ehtimolliklar qo'yiladi n! mumkin bo'lgan almashtirishlar. Bu rasm chizishga tengdir men to'plamdan almashtirishsiz tasodifiy holda {1, ..., n}. Yilda yuklash, yaqindan bog'liq bo'lgan yondashuv, men va men teng va {1, ..., o'rniga almashtirish bilan chizilgan n};
2. Korrelyatsiya koeffitsientini tuzing r tasodifiy ma'lumotlardan.

Joy almashtirish testini bajarish uchun (1) va (2) bosqichlarni ko'p marta takrorlang. The p-qiymati permutation testi uchun ning nisbati r dastlabki ma'lumotlardan hisoblangan Pearson korrelyatsiya koeffitsientidan kattaroq (2) bosqichda hosil bo'lgan qiymatlar. Bu erda "kattaroq" degan ma'noni anglatadiki, bu qiymat kattaligidan kattaroq yoki belgi qo'yilgan qiymatdan kattaroq ikki tomonlama yoki bir tomonlama sinov kerak.

Bootstrap-dan foydalanish

The bootstrap yordamida Pirsonning korrelyatsiya koeffitsienti uchun ishonch oraliqlarini tuzishda foydalanish mumkin. "Parametrik bo'lmagan" bootstrap-da, n juftliklar (x_men, y_men) kuzatilgan to'plamdan "almashtirish bilan" qayta to'ldiriladi n juftlik va korrelyatsiya koeffitsienti r qayta joylashtirilgan ma'lumotlar asosida hisoblanadi. Ushbu jarayon juda ko'p marta takrorlangan va qayta joylashtirilganlarning empirik taqsimoti r qiymatlari taxminan ga yaqinlashish uchun ishlatiladi namunalarni taqsimlash statistik ma'lumot. 95% ishonch oralig'i uchun r 2,5 dan 97,5 gacha bo'lgan interval sifatida aniqlanishi mumkin foizli qayta joylashtirilgan r qiymatlar.

Student's yordamida test o'tkazish t- tarqatish

0,05 darajasida nolga teng deb hisoblash uchun oshib ketishi kerak bo'lgan Pirsonning korrelyatsiya koeffitsientining muhim qiymatlari.

O'zaro bog'liq bo'lmagan juftliklar uchun normal taqsimotning ikki o'zgaruvchanligi, namunalarni taqsimlash Pirsonning korrelyatsiya koeffitsientining ma'lum funktsiyasidan kelib chiqadi Talaba t- tarqatish erkinlik darajasi bilan n - 2. Xususan, agar asosiy o'zgaruvchilar oq rangga ega bo'lsa va ikki o'zgaruvchan normal taqsimotga ega bo'lsa, o'zgaruvchi

${ displaystyle t = r { sqrt { frac {n-2} {1-r ^ {2}}}}}$

talaba bor t- nol holatda taqsimlash (nol korrelyatsiya).^[20] Namuna kattaligi etarlicha katta bo'lsa, bu odatiy bo'lmagan kuzatilgan qiymatlarda taxminan saqlanadi.^[21] Uchun muhim qiymatlarni aniqlash uchun r teskari funktsiya kerak:

${ displaystyle r = { frac {t} { sqrt {n-2 + t ^ {2}}}}.}$

Shu bilan bir qatorda katta namunali, asimptotik yondashuvlardan foydalanish mumkin.

Yana bir dastlabki qog'oz^[22] ning umumiy qiymatlari uchun grafikalar va jadvallarni taqdim etadi r, kichik namunaviy o'lchamlar uchun va hisoblash yondashuvlarini muhokama qiladi.

Agar asosiy o'zgaruvchilar oq rangga ega bo'lmasa, Pirsonning korrelyatsiya koeffitsientini tanlab olish taqsimoti talabaga mos keladi. t-taqsimlash, lekin erkinlik darajasi kamayadi.^[23]

Aniq taqsimotdan foydalanish

Quyidagi ma'lumotlar uchun a normal taqsimotning ikki o'zgaruvchanligi, aniq zichlik funktsiyasi f(r) namuna korrelyatsiya koeffitsienti uchun r oddiy ikki xillikning^[24][25][26]

${ displaystyle f (r) = { frac {(n-2) , mathbf { Gamma} (n-1) (1- rho ^ {2}) ^ { frac {n-1} { 2}} (1-r ^ {2}) ^ { frac {n-4} {2}}} {{ sqrt {2 pi}} , mathbf { Gamma} chap (n- { frac {1} {2}} o'ng) (1- rho r) ^ {n - { frac {3} {2}}}}} , mathbf {_ {2} F_ {1}} chap ({ frac {1} {2}}, { frac {1} {2}}; { frac {2n-1} {2}}; { frac { rho r + 1} {2 }} o'ng)}$

qayerda ${ displaystyle mathbf { Gamma}}$ bo'ladi gamma funktsiyasi va ${ displaystyle , mathbf {_ {2} F_ {1}} (a, b; c; z)}$ bo'ladi Gauss gipergeometrik funktsiyasi.

Qachon maxsus holatda ${ displaystyle , rho = 0}$, aniq zichlik funktsiyasi f(r) quyidagicha yozilishi mumkin:

${ displaystyle f (r) = { frac {(1-r ^ {2}) ^ { frac {n-4} {2}}} { mathbf {B} left ({ frac {1} {2}}, { frac {n-2} {2}} o'ng)}},}$

qayerda ${ displaystyle mathbf {B}}$ bo'ladi beta funktsiyasi, bu yuqoridagi kabi talabaning t-taqsimotining zichligini yozishning bir usuli.

Fisher transformatsiyasidan foydalanish

Amalda, ishonch oralig'i va gipoteza testlari $ r $ bilan bog'liq, odatda yordamida amalga oshiriladi Baliqchining o'zgarishi, ${ displaystyle F}$:

${ displaystyle F (r) equiv { tfrac {1} {2}} , ln chap ({ frac {1 + r} {1-r}} right) = operatorname {arctanh} ( r)}$

F(r) taxminan a normal taqsimot bilan

${ displaystyle { text {mean}} = F ( rho) = operatorname {arctanh} ( rho)}$ va standart xato ${ displaystyle = { text {SE}} = { frac {1} { sqrt {n-3}}},}$

qayerda n namuna hajmi. Katta namuna hajmi uchun taxminiy xato eng past bo'ladi ${ displaystyle n}$ va kichik ${ displaystyle r}$ va ${ displaystyle rho _ {0}}$ va aks holda ko'payadi.

Taxminan foydalanib, a z-ball bu

${ displaystyle z = { frac {x - { text {mean}}} { text {SE}}} = [F (r) -F ( rho _ {0})] { sqrt {n- 3}}}$

ostida nol gipoteza bu ${ displaystyle rho = rho _ {0}}$, namunaviy juftliklar degan taxminni hisobga olgan holda mustaqil va bir xil taqsimlangan va amal qiling normal taqsimotning ikki o'zgaruvchanligi. Shunday qilib taxminiy p-qiymati oddiy ehtimollar jadvalidan olish mumkin. Masalan, agar z = 2.2 kuzatiladi va nol gipotezani sinash uchun ikki tomonlama p-qiymat talab qilinadi ${ displaystyle rho = 0}$, p qiymati 2 · Φ (-2.2) = 0.028 ga teng, bu erda p standart normal hisoblanadi kümülatif taqsimlash funktsiyasi.

$ R $ uchun ishonch oralig'ini olish uchun avval $ uchun ishonch oralig'ini hisoblaymiz F(${ displaystyle rho}$):

${ displaystyle 100 (1- alfa) \% { text {CI}}: operatorname {arctanh} ( rho) in [ operatorname {arctanh} (r) pm z _ { alpha / 2} { matn {SE}}]}$

Fisherning teskari o'zgarishi intervalni yana korrelyatsiya shkalasiga olib keladi.

${ displaystyle 100 (1- alfa) \% { text {CI}}: rho in [ operatorname {tanh} ( operatorname {arctanh} (r) -z _ { alpha / 2} { text {SE}}), operatorname {tanh} ( operatorname {arctanh} (r) + z _ { alpha / 2} { text {SE}})]}$

Masalan, biz kuzatmoqdamiz r = 0,3, namuna hajmi bilan n= 50, va biz $ r $ uchun 95% ishonch oralig'ini olishni xohlaymiz. O'zgartirilgan qiymat arctanh (r) = 0.30952, shuning uchun o'zgartirilgan shkala bo'yicha ishonch oralig'i 0.30952 ± 1.96 / ga teng√47, yoki (0.023624, 0.595415). Korrelyatsiya shkalasiga qaytganimizda hosil bo'ladi (0.024, 0.534).

Hech bo'lmaganda kvadratchalar regressiyasini tahlil qilish

Namuna korrelyatsiya koeffitsientining kvadrati odatda belgilanadi r² va bu alohida holat aniqlash koeffitsienti. Bunday holda, u dispersiyaning qismini in-ga baholaydi Y bu bilan izohlanadi X a oddiy chiziqli regressiya. Shunday qilib, bizda ma'lumotlar to'plami mavjud bo'lsa ${ displaystyle Y_ {1}, nuqtalar, Y_ {n}}$ va o'rnatilgan ma'lumotlar to'plami ${ displaystyle { hat {Y}} _ {1}, nuqtalar, { hat {Y}} _ {n}}$ keyin boshlang'ich nuqta sifatida Y_men ularning o'rtacha qiymati atrofida quyidagicha ajralish mumkin

${ displaystyle sum _ {i} (Y_ {i} - { bar {Y}}) ^ {2} = sum _ {i} (Y_ {i} - { hat {Y}} _ {i }) ^ {2} + sum _ {i} ({ hat {Y}} _ {i} - { bar {Y}}) ^ {2},}$

qaerda ${ displaystyle { hat {Y}} _ {i}}$ regressiya tahlilining mos qiymatlari. Buni berish uchun qayta tuzish mumkin

${ displaystyle 1 = { frac { sum _ {i} (Y_ {i} - { hat {Y}} _ {i}) ^ {2}} { sum _ {i} (Y_ {i} - { bar {Y}}) ^ {2}}} + { frac { sum _ {i} ({ hat {Y}} _ {i} - { bar {Y}}) ^ {2 }} { sum _ {i} (Y_ {i} - { bar {Y}}) ^ {2}}}.}$

Yuqoridagi ikkita chaqiriq - bu dispersiyaning qismidir Y bu bilan izohlanadi X (o'ngda) va bu bilan izohlanmagan X (chapda).

Keyinchalik, biz eng kam kvadratik regressiya modellari xususiyatini qo'llaymiz, ular orasida namuna kovaryansiyasi mavjud ${ displaystyle { hat {Y}} _ {i}}$ va ${ displaystyle Y_ {i} - { hat {Y}} _ {i}}$ nolga teng. Shunday qilib, regressiyada kuzatilgan va o'rnatilgan javob qiymatlari o'rtasidagi namunaviy korrelyatsiya koeffitsienti yozilishi mumkin (hisoblash kutilmoqda, Gauss statistikasini nazarda tutadi)

${ displaystyle { begin {aligned} r (Y, { hat {Y}}) & = { frac { sum _ {i} (Y_ {i} - { bar {Y}}) ({ shapka {Y}} _ {i} - { bar {Y}})} { sqrt { sum _ {i} (Y_ {i} - { bar {Y}}) ^ {2} cdot sum _ {i} ({ hat {Y}} _ {i} - { bar {Y}}) ^ {2}}}} [6pt] & = { frac { sum _ {i} (Y_ {i} - { hat {Y}} _ {i} + { hat {Y}} _ {i} - { bar {Y}}) ({ hat {Y}} _ {i} - { bar {Y}})} { sqrt { sum _ {i} (Y_ {i} - { bar {Y}}) ^ {2} cdot sum _ {i} ({ hat) {Y}} _ {i} - { bar {Y}}) ^ {2}}}} [6pt] & = { frac { sum _ {i} [(Y_ {i} - { shapka {Y}} _ {i}) ({ hat {Y}} _ {i} - { bar {Y}}) + ({ hat {Y}} _ {i} - { bar {Y }}) ^ {2}]} { sqrt { sum _ {i} (Y_ {i} - { bar {Y}}) ^ {2} cdot sum _ {i} ({ hat { Y}} _ {i} - { bar {Y}}) ^ {2}}}} [6pt] & = { frac { sum _ {i} ({ hat {Y}} _ {) i} - { bar {Y}}) ^ {2}} { sqrt { sum _ {i} (Y_ {i} - { bar {Y}}) ^ {2} cdot sum _ { i} ({ hat {Y}} _ {i} - { bar {Y}}) ^ {2}}}} [6pt] & = { sqrt { frac { sum _ {i} ({ hat {Y}} _ {i} - { bar {Y}}) ^ {2}} { sum _ {i} (Y_ {i} - { bar {Y}}) ^ {2 }}}}. end {hizalangan}}}$

Shunday qilib

${ displaystyle r (Y, { hat {Y}}) ^ {2} = { frac { sum _ {i} ({ hat {Y}} _ {i} - { bar {Y}} ) ^ {2}} { sum _ {i} (Y_ {i} - { bar {Y}}) ^ {2}}}}$

qayerda

${ displaystyle r (Y, { hat {Y}}) ^ {2}}$ ning o'zgaruvchanlik nisbati Y ning chiziqli funktsiyasi bilan izohlanadi X.

Yuqorida keltirilgan dalilda

${ displaystyle sum _ {i} (Y_ {i} - { hat {Y}} _ {i}) ({ hat {Y}} _ {i} - { bar {Y}}) = 0 }$

ning qisman hosilalari ekanligini payqab isbotlash mumkin kvadratlarning qoldiq yig'indisi (RSS) ustida β₀ va β₁ eng kichik kvadrat modelida 0 ga teng, bu erda

${ displaystyle { text {RSS}} = sum _ {i} (Y_ {i} - { hat {Y}} _ {i}) ^ {2}}$.

Oxir-oqibat, tenglamani quyidagicha yozish mumkin:

${ displaystyle r (Y, { hat {Y}}) ^ {2} = { frac {{ text {SS}} _ { text {reg}}} {{ text {SS}} _ { text {tot}}}}}$

qayerda

${ displaystyle { text {SS}} _ { text {reg}} = sum _ {i} ({ hat {Y}} _ {i} - { bar {Y}}) ^ {2} }$

${ displaystyle { text {SS}} _ { text {tot}} = sum _ {i} (Y_ {i} - { bar {Y}}) ^ {2}}$

Belgisi ${ displaystyle { text {SS}} _ { text {reg}}}$ kvadratlarning regressiya yig'indisi deyiladi, shuningdek kvadratlarning yig'indisi tushuntirildi va ${ displaystyle { text {SS}} _ { text {tot}}}$ bo'ladi kvadratlarning umumiy yig'indisi (ga mutanosib dispersiya ma'lumotlar).

Ma'lumotlarning tarqalishiga sezgirlik

Mavjudlik

Populyatsiyaning Pearson korrelyatsiya koeffitsienti bo'yicha belgilanadi lahzalar, va shuning uchun har qanday ikkitomonlama uchun mavjud ehtimollik taqsimoti buning uchun aholi kovaryans belgilanadi va marginal aholining farqlari belgilanadi va nolga teng emas. Kabi ba'zi ehtimollik taqsimotlari Koshi taqsimoti aniqlanmagan dispersiyasiga ega va agar $ r $ aniqlanmasa X yoki Y bunday taqsimotga amal qiladi. Ba'zi amaliy dasturlarda, masalan, ta'qib qilinishi shubhali ma'lumotlar bilan bog'liq bo'lgan dasturlarda og'ir dumaloq taqsimot, bu muhim masaladir. Biroq, korrelyatsiya koeffitsientining mavjudligi odatda tashvishlantirmaydi; masalan, agar tarqatish diapazoni chegaralangan bo'lsa, har doim r aniqlanadi.

Namuna hajmi

• Agar tanlov hajmi o'rtacha yoki katta bo'lsa va populyatsiya normal bo'lsa, u holda ikki o'zgaruvchilik holatida normal taqsimot, namunaviy korrelyatsiya koeffitsienti bu maksimal ehtimollik smetasi aholining o'zaro bog'liqlik koeffitsienti va asimptotik tarzda xolis va samarali, bu shuni anglatadiki, namunaviy korrelyatsiya koeffitsientiga qaraganda aniqroq taxmin qilish mumkin emas.
• Agar tanlangan hajm katta bo'lsa va populyatsiya normal bo'lmasa, unda namuna korrelyatsiya koeffitsienti taxminan xolis bo'lib qoladi, ammo samarali bo'lmasligi mumkin.
• Agar namuna kattaligi katta bo'lsa, unda namuna korrelyatsiya koeffitsienti a izchil baholovchi namunaviy vositalar, tafovutlar va kovaryanslar mos keladigan bo'lsa, aholi korrelyatsiya koeffitsientining (bu katta sonlar qonuni qo'llanilishi mumkin).
• Agar namuna hajmi kichik bo'lsa, u holda namuna korrelyatsiya koeffitsienti r ning xolis bahosi emas r.^[10] Buning o'rniga sozlangan korrelyatsiya koeffitsientidan foydalanish kerak: ta'rif uchun ushbu maqolaning boshqa joylarini ko'ring.
• Balanssizligi uchun korrelyatsiyalar boshqacha bo'lishi mumkin ikkilamchi namunadagi dispersiya xatosi mavjud bo'lganda ma'lumotlar.^[27]

Sog'lomlik

Ko'p ishlatiladigan statistikalar singari, namunaviy statistika r emas mustahkam,^[28] shuning uchun uning qiymati noto'g'ri bo'lishi mumkin, agar chetga chiquvchilar mavjud.^[29][30] Xususan, PMCC tarqatish jihatidan mustahkam emas,^{[iqtibos kerak ]} na chidamli^[28] (qarang Sog'lom statistika # Ta'rif ). Tekshirish sochilib ketish o'rtasida X va Y odatda mustahkamlikning etishmasligi muammo bo'lishi mumkin bo'lgan vaziyatni ochib beradi va bunday hollarda mustahkam assotsiatsiyadan foydalanish tavsiya etilishi mumkin. Shuni e'tiborga olingki, assotsiatsiyaning eng ishonchli taxminchilari o'lchovni amalga oshiradilar statistik bog'liqlik qaysidir ma'noda, ular odatda Pearson korrelyatsiya koeffitsienti bilan bir xil miqyosda talqin qilinishi mumkin emas.

Pearsonning korrelyatsiya koeffitsienti bo'yicha statistik xulosa ma'lumotlar tarqalishiga sezgir. Aniq testlar va asosidagi asimptotik testlar Baliqchining o'zgarishi ma'lumotlar taxminan normal taqsimlangan taqdirda qo'llanilishi mumkin, ammo aks holda chalg'itishi mumkin. Ba'zi holatlarda bootstrap ishonch oralig'ini qurish uchun qo'llanilishi mumkin va almashtirish sinovlari gipoteza sinovlarini o'tkazish uchun qo'llanilishi mumkin. Bular parametrsiz yondashuvlar ikki tomonlama odatiylikni saqlamaydigan ba'zi holatlarda yanada mazmunli natijalar berishi mumkin. Biroq, ushbu yondashuvlarning standart versiyalari ishonadi almashinuvchanlik ma'lumotlar, ya'ni korrelyatsiya bahosining xatti-harakatlariga ta'sir qilishi mumkin bo'lgan tahlil qilinadigan ma'lumotlar juftlarini buyurtma qilish yoki guruhlash yo'qligini anglatadi.

Qatlamli tahlil - bu ikki o'zgaruvchan normallikning etishmasligini ta'minlash yoki boshqasini boshqarish paytida bir omil natijasida yuzaga keladigan o'zaro bog'liqlikni ajratish usullaridan biridir. Agar V klasterga a'zolikni yoki uni boshqarish kerak bo'lgan boshqa omilni ifodalaydi, biz ma'lumotlarning qiymatiga qarab qatlamlashimiz mumkin V, keyin har bir qatlam ichida korrelyatsiya koeffitsientini hisoblang. Qatlam darajasidagi taxminlarni keyinchalik umumiy korrelyatsiyani baholash uchun birlashtirish mumkin V.^[31]

Variantlar

Korrelyatsiya koeffitsientining o'zgarishini turli maqsadlar uchun hisoblash mumkin. Mana ba'zi misollar.

Korrelyatsiya koeffitsienti sozlangan

Namuna korrelyatsiya koeffitsienti r ning xolis bahosi emas r. Quyidagi ma'lumotlar uchun a normal taqsimotning ikki o'zgaruvchanligi, kutish E [r] namunaviy korrelyatsiya koeffitsienti uchun r oddiy ikki xillikning^[32]

${ displaystyle operatorname { mathbb {E}} chap [r o'ng] = rho - { frac { rho chap (1- rho ^ {2} o'ng)} {2n}} + cdots, quad}$ shuning uchun r ning noaniq baholovchisi ${ displaystyle , rho.}$

Noyob minimal dispersiyani xolis baholovchi r_adj tomonidan berilgan^[33]

${ displaystyle (1) qquad r _ { text {adj}} = r , mathbf {_ {2} F_ {1}} chap ({ frac {1} {2}}, { frac { 1} {2}}; { frac {n-1} {2}}; 1-r ^ {2} o'ng),}$

qaerda:

${ displaystyle r, n}$ yuqoridagi kabi belgilanadi,

${ displaystyle , mathbf {_ {2} F_ {1}} (a, b; c; z)}$ bo'ladi Gauss gipergeometrik funktsiyasi.

Taxminan xolis baholovchi r_adj olinishi mumkin^{[iqtibos kerak ]} qisqartirish orqali E [r] va ushbu qisqartirilgan tenglamani echish:

${ displaystyle (2) qquad r = operatorname { mathbb {E}} [r] taxminan r _ { text {adj}} - { frac {r _ { text {adj}} (1-r_ { text {adj}} ^ {2})} {2n}}.}$

Taxminan echim^{[iqtibos kerak ]} (2) tenglamaga:

${ displaystyle (3) qquad r _ { text {adj}} approx r chap [1 + { frac {1-r ^ {2}} {2n}} right],}$

qaerda (3):

${ displaystyle r, n}$ yuqoridagi kabi belgilanadi,

r_adj suboptimal taxminchi,^{[iqtibos kerak ][tushuntirish kerak ]}

r_adj jurnalni maksimal darajada oshirish orqali ham olish mumkin (f(r)),

r_adj ning katta qiymatlari uchun minimal dispersiyaga ega n,

r_adj tartibli tomonga egadir¹⁄_(n − 1).

Boshqa taklif qilingan^[10] tuzatilgan korrelyatsiya koeffitsienti:^{[iqtibos kerak ]}

${ displaystyle r _ { text {adj}} = { sqrt {1 - { frac {(1-r ^ {2}) (n-1)} {(n-2)}}}}}.}$

Yozib oling r_adj ≈ r ning katta qiymatlari uchunn.

O'lchangan korrelyatsiya koeffitsienti

O'zaro bog'liq bo'lgan kuzatuvlar og'irlik vektori bilan ifodalanishi mumkin bo'lgan turli xil ahamiyatga ega deylik w. Vektorlar o'rtasidagi o'zaro bog'liqlikni hisoblash uchun x va y vazn vektori bilan w (butun uzunligi)n),^[34][35]

• Og'irligi o'rtacha:

${ displaystyle operator nomi {m} (x; w) = { frac { sum _ {i} w_ {i} x_ {i}} { sum _ {i} w_ {i}}}.}$

• Kovaryansning og'irligi

${ displaystyle operator nomi {cov} (x, y; w) = { frac { sum _ {i} w_ {i} cdot (x_ {i} - operatorname {m} (x; w))) y_ {i} - operator nomi {m} (y; w))} { sum _ {i} w_ {i}}}.}$

• O'lchangan korrelyatsiya

${ displaystyle operator nomi {corr} (x, y; w) = { frac { operatorname {cov} (x, y; w)} { sqrt { operatorname {cov} (x, x; w) operator nomi {cov} (y, y; w)}}}.}$

Yansıtıcı korrelyatsiya koeffitsienti

Yansıtıcı korrelyatsiya, ma'lumotlar o'rtacha qiymatlari atrofida markazlashtirilmagan Pearson korrelyatsiyasining bir variantidir.^{[iqtibos kerak ]} Populyatsiyani aks ettiruvchi korrelyatsiya

${ displaystyle operatorname {corr} _ {r} (X, Y) = { frac { operatorname { mathbb {E}} [, X , Y ,]} { sqrt { operatorname { mathbb {E}} [, X ^ {2} ,] cdot operator nomi { mathbb {E}} [, Y ^ {2} ,]}}}.}$

Yansıtıcı korrelyatsiya nosimmetrikdir, lekin tarjimada o'zgarmas emas:

${ displaystyle operator nomi {corr} _ {r} (X, Y) = operator nomi {corr} _ {r} (Y, X) = operator nomi {corr} _ {r} (X, bY) neq operator nomi {corr} _ {r} (X, a + bY), quad a neq 0, b> 0.}$

Yansıtıcı korrelyatsiya namunasi tengdir kosinus o'xshashligi:

${ displaystyle rr_ {xy} = { frac { sum x_ {i} y_ {i}} { sqrt {( sum x_ {i} ^ {2}) ( sum y_ {i} ^ {2} )}}}.}$

Namunali aks ettiruvchi korrelyatsiyaning vaznli versiyasi

${ displaystyle rr_ {xy, w} = { frac { sum w_ {i} x_ {i} y_ {i}} { sqrt {( sum w_ {i} x_ {i} ^ {2}) ( sum w_ {i} y_ {i} ^ {2})}}}.}$

Miqyosli korrelyatsiya koeffitsienti

Miqyosli korrelyatsiya - bu ma'lumotlar qatori ataylab va boshqariladigan tarzda vaqt qatoridagi tezkor tarkibiy qismlar o'rtasidagi o'zaro bog'liqlikni aniqlash uchun cheklangan Pirson korrelyatsiyasining bir variantidir.^[36] Miqyosli korrelyatsiya ma'lumotlarning qisqa segmentlari bo'yicha o'rtacha korrelyatsiya sifatida aniqlanadi.

Ruxsat bering ${ displaystyle K}$ signalning umumiy uzunligiga mos keladigan segmentlar soni ${ displaystyle T}$ ma'lum bir o'lchov uchun ${ displaystyle s}$:

${ displaystyle K = operatorname {round} chap ({ frac {T} {s}} o'ng).}$

Barcha signallar bo'yicha miqyosli korrelyatsiya ${ displaystyle { bar {r}} _ {s}}$ keyin sifatida hisoblanadi

${ displaystyle { bar {r}} _ {s} = { frac {1} {K}} sum limit _ {k = 1} ^ {K} r_ {k},}$

qayerda ${ displaystyle r_ {k}}$ bu Pirsonning segment uchun korrelyatsiya koeffitsienti ${ displaystyle k}$.

Parametrni tanlash orqali ${ displaystyle s}$, qadriyatlar diapazoni kamayadi va uzoq vaqt ko'lamidagi korrelyatsiyalar filtrlanadi, faqat qisqa vaqt o'lchovlaridagi korrelyatsiyalar aniqlanadi. Shunday qilib, sekin komponentlarning hissalari olib tashlanadi va tezkor tarkibiy qismlar saqlanib qoladi.

Pearsonning masofasi

Sifatida tanilgan ikkita o'zgaruvchi X va Y uchun masofa metrikasi Pearsonning masofasi kabi o'zaro bog'liqlik koeffitsientidan aniqlanishi mumkin^[37]

${ displaystyle d_ {X, Y} = 1- rho _ {X, Y}.}$

Pirsonning korrelyatsiya koeffitsienti [-1, +1] oralig'iga to'g'ri kelishini hisobga olsak, Pirson masofasi [0, 2] ga to'g'ri keladi. Pearson masofasi ishlatilgan klaster tahlili va noma'lum daromad va ofset bilan aloqa va saqlash uchun ma'lumotlarni aniqlash^[38]

Dumaloq korrelyatsiya koeffitsienti

O'zgaruvchilar uchun X = {x₁,...,x_n} va Y = {y₁,...,y_n} birlik aylanasida aniqlangan [0, 2π), a ni aniqlash mumkin dumaloq Pearson koeffitsientining analogi.^[39] Bu X va Y dagi ma'lumotlar nuqtalarini a ga o'zgartirib amalga oshiriladi sinus funktsiyasi, korrelyatsiya koeffitsienti quyidagicha berilgan:

${ displaystyle r _ { text {circular}} = { frac { sum _ {i = 1} ^ {n} sin (x_ {i} - { bar {x}}) sin (y_ {i } - { bar {y}})} {{ sqrt { sum _ {i = 1} ^ {n} sin (x_ {i} - { bar {x}}) ^ {2}}} { sqrt { sum _ {i = 1} ^ {n} sin (y_ {i} - { bar {y}}) ^ {2}}}}}}$

qayerda ${ displaystyle { bar {x}}}$ va ${ displaystyle { bar {y}}}$ ular dairesel vositalar ning X vaY. Ushbu o'lchov ma'lumotlarning burchak yo'nalishi muhim bo'lgan meteorologiya kabi sohalarda foydali bo'lishi mumkin.

Qisman korrelyatsiya

Agar populyatsiya yoki ma'lumotlar to'plami ikkitadan ko'p o'zgaruvchilar bilan tavsiflangan bo'lsa, a qisman korrelyatsiya koeffitsient boshqa o'zgaruvchilarning tanlangan kichik qismidagi o'zgarishlarga javoban ularning ikkalasi o'zgarishi bilan hisobga olinmaydigan juftlik o'rtasidagi bog'liqlik kuchini o'lchaydi.

Dekoratsiya n tasodifiy o'zgaruvchilar

O'zgaruvchilar orasidagi bog'liqlik chiziqli bo'lmagan bo'lsa ham, ma'lumotlarning o'zgarishi yordamida tasodifiy o'zgaruvchilarning ixtiyoriy sonining barcha juftliklari o'rtasidagi o'zaro bog'liqlikni olib tashlash har doim ham mumkin. Ushbu natijani aholi taqsimoti uchun taqdimoti Cox & Hinkley tomonidan taqdim etilgan.^[40]

Tegishli natija namunadagi o'zaro bog'liqlikni nolga kamaytirish uchun mavjud. Ning vektori deylik n tasodifiy o'zgaruvchilar kuzatiladi m marta. Ruxsat bering X bu erda matritsa bo'ling ${ displaystyle X_ {i, j}}$ bo'ladi jkuzatishning o'zgaruvchisi men. Ruxsat bering ${ displaystyle Z_ {m, m}}$ bo'lish m tomonidan m har bir element bilan kvadrat matritsa 1. Keyin D. ma'lumotlar o'zgartirilgan, shuning uchun har bir tasodifiy nol o'rtacha qiymatga ega va T ma'lumotlar o'zgartirilgan, shuning uchun barcha o'zgaruvchilar nol o'rtacha va nol korrelyatsiyaga ega, boshqa barcha o'zgaruvchilar bilan namuna korrelyatsiya matritsasi ning T identifikatsiya matritsasi bo'ladi. Birlik dispersiyasini olish uchun buni standart og'ish bilan ajratish kerak. O'zgargan o'zgaruvchilar o'zaro bog'liq bo'lmaydi, garchi ular bo'lmasa ham mustaqil.

${ displaystyle D = X - { frac {1} {m}} Z_ {m, m} X}$

${ displaystyle T = D (D ^ { mathsf {T}} D) ^ {- { frac {1} {2}}},}$

qaerda− ¹⁄₂ ifodalaydi matritsa kvadrat ildizi ning teskari matritsaning Ning korrelyatsion matritsasi T identifikatsiya matritsasi bo'ladi. Agar yangi ma'lumotlarni kuzatish bo'lsa x ning qatorli vektori n elementlari bo'lsa, unda bir xil konvertatsiya qo'llanilishi mumkin x o'zgartirilgan vektorlarni olish uchun d va t:

${ displaystyle d = x - { frac {1} {m}} Z_ {1, m} X,}$

${ displaystyle t = d (D ^ { mathsf {T}} D) ^ {- { frac {1} {2}}}.}$

Ushbu dekoratsiya bog'liqdir asosiy tarkibiy qismlarni tahlil qilish ko'p o'zgaruvchan ma'lumotlar uchun.

Dasturiy ta'minotni amalga oshirish

• R Statistikaning asosiy to'plami testni amalga oshiradi cor.test (x, y, method = "pearson") uning "statistikasi" to'plamida (shuningdek) cor (x, y, method = "pearson") ishlaydi, lekin p-qiymatini qaytarmasdan). Pearson sukut bo'yicha bo'lgani uchun, usul argumenti ham qoldirilishi mumkin.
• Python Statistik funktsiyalar moduli testni amalga oshiradi pearsonr (x, y) uning "scipy.stats" modulida va korrelyatsiya koeffitsienti r va p-qiymatini (r, p-qiymati) sifatida qaytaradi.

Shuningdek qarang

• Anscombe kvarteti
• Assotsiatsiya (statistika)
• Kolligatsiya koeffitsienti
  • Yulning Q
  • Yulning Y
• Muvofiqlik korrelyatsiya koeffitsienti
• O'zaro bog'liqlik va qaramlik
• Korrelyatsiya koeffitsienti
• Buzilish
• Masofadagi korrelyatsiya
• Maksimal ma'lumot koeffitsienti
• Ko'p korrelyatsiya
• Odatda taqsimlangan va o'zaro bog'liq bo'lmagan mustaqillikni anglatmaydi
• Koeffitsientlar nisbati
• Qisman korrelyatsiya
• Polikorik korrelyatsiya
• Kvadrantlarni hisoblash nisbati
• RV koeffitsienti
• Spirmanning martabali korrelyatsiya koeffitsienti

Izohlar

Adabiyotlar

Tashqi havolalar

• "cocor". comparingcorrelations.org. – A free web interface and R package for the statistical comparison of two dependent or independent correlations with overlapping or non-overlapping variables.
• "Correlation". nagysandor.eu. – an interactive Flash simulation on the correlation of two normally distributed variables.
• "Correlation coefficient calculator". hackmath.net. Linear regression. –
• "Critical values for Pearson's correlation coefficient" (PDF). frank.mtsu.edu/~dkfuller. – large table.
• "O'zaro bog'liqlikni taxmin qiling". – A game where players guess how correlated two variables in a scatter plot are, in order to gain a better understanding of the concept of correlation.