Peetre teoremasi - Peetre theorem

Yilda matematika, (chiziqli) Peetre teoremasi, nomi bilan nomlangan Jak Pitre, natijasidir funktsional tahlil xarakteristikasini beradi differentsial operatorlar ularning umumlashtirilishiga ta'siri jihatidan funktsiya bo'shliqlari va eslatmasdan farqlash aniq so'zlar bilan. Peetre teoremasi a ga misol cheklangan tartib teoremasi unda funktsiya yoki a funktsiya, juda umumiy tarzda aniqlangan, aslida unga o'rnatilgan ba'zi bir begona holat yoki simmetriya tufayli polinom sifatida ko'rsatilishi mumkin.

Ushbu maqolada Peetre teoremasining ikki shakli ko'rib chiqilgan. Birinchisi, asl nusxasi, o'z-o'zidan juda foydali bo'lsa-da, aksariyat ilovalar uchun aslida juda umumiydir.

Asl Peetre teoremasi

Ruxsat bering M bo'lishi a silliq manifold va ruxsat bering E va F ikki bo'ling vektorli to'plamlar kuni M. Ruxsat bering

${ displaystyle Gamma ^ { infty} (E), { hbox {va}} Gamma ^ { infty} (F)}$

bo'shliqlari bo'ling silliq qismlar ning E va F. An operator

${ displaystyle D: Gamma ^ { infty} (E) rightarrow Gamma ^ { infty} (F)}$

a bintlarning morfizmi bu shunday bo'linmalar bo'yicha chiziqli qo'llab-quvvatlash ning D. bu o'smaydigan: supp Ds ⊆ sup s har bir silliq qism uchun s ning E. Asl Peetre teoremasi har bir nuqta uchun buni tasdiqlaydi p yilda M, mahalla bor U ning p va butun son k (bog'liq holda U) shu kabi D. a differentsial operator tartib k ustida U. Bu shuni anglatadiki D. chiziqli xaritalash orqali omillar men_D. dan k-bo'limlarning jeti ning E ning silliq kesimlari maydoniga F:

${ displaystyle D = i_ {D} circ j ^ {k}}$

qayerda

${ displaystyle j ^ {k}: Gamma ^ { infty} E rightarrow J ^ {k} E}$

bo'ladi k-jet operatori va

${ displaystyle i_ {D}: J ^ {k} E rightarrow F}$

vektor to'plamlarining chiziqli xaritasi.

Isbot

Muammo mahalliy diffeomorfizm ostida o'zgarmasdir, shuning uchun buni qachon isbotlash kifoya M bu ochiq to'plam Rⁿ va E va F ahamiyatsiz to'plamlar. Ushbu nuqtada, asosan, ikkita lemmasga tayanadi:

• Lemma 1. Agar teorema gipotezalari qondirilgan bo'lsa, unda har biri uchun x∈M va C > 0, mahalla mavjud V ning x va musbat butun son k har qanday kishi uchun y∈V\{x} va har qanday bo'lim uchun s ning E kimning k-jet yo'qoladi y (j^ks(y) = 0), bizda |Ds(y) |
• Lemma 2. Birinchi lemma teoremani isbotlash uchun etarli.

Biz Lemma 1-ning isboti bilan boshlaymiz.

Lemma yolg'on bo'lsa deylik. Keyin ketma-ketlik mavjud x_k moyilligi xva juda ajratilgan to'plarning ketma-ketligi B_k atrofida x_k (shuni anglatadiki, har qanday ikkita shunday to'p orasidagi geodezik masofa nolga teng emas) va bo'limlar s_k ning E har biri ustida B_k shu kabi j^ks_k(x_k) = 0 lekin |Ds_k(x_k) | ≥C> 0.

$ R $ ga ruxsat bering (x) standartni bildiradi zarba funktsiyasi kelib chiqadigan birlik shari uchun: 1 ga teng bo'lgan silliq real qiymatli funktsiya B_1/2(0), bu birlik shari chegarasida cheksiz tartibda yo'qoladi.

Boshqa barcha bo'limlarni ko'rib chiqing s_2k. Da x_2k, bu qondiradi

j^2ks_2k(x_2k)=0.

Aytaylik 2k berilgan. Keyin, chunki bu funktsiyalar yumshoq va har biri qondiradi j^2k(s_2k)(x_2k) = 0, kichikroq to'pni ko'rsatish mumkin B ′_δ(x_2k) yuqori darajadagi hosilalar quyidagi bahoga bo'ysunishi uchun:

${ displaystyle sum _ {| alpha | leq k} sup _ {y in B '_ { delta} (x_ {2k})} | nabla ^ { alpha} s_ {k} ( y) | leq { frac {1} {M_ {k}}} chap ({ frac { delta} {2}} o'ng) ^ {k}}$

qayerda

${ displaystyle M_ {k} = sum _ {| alpha | leq k} sup | nabla ^ { alpha} rho |.}$

Endi

${ displaystyle rho _ {2k} (y): = rho chap ({ frac {y-x_ {2k}} { delta}} right)}$

qo'llab-quvvatlanadigan standart zarba funktsiyasi B ′_δ(x_2k) va mahsulotning hosilasi s_2kr_2k shunday chegaralanganki

${ displaystyle max _ {| alpha | leq k} sup _ {y in B '_ { delta} (x_ {2k})} | nabla ^ { alpha} ( rho _ { 2k} s_ {2k}) | leq 2 ^ {- k}.}$

Natijada, quyidagi qator va uning hosilalarining barcha qisman yig'indilari bir xilda yaqinlashadi

${ displaystyle q (y) = sum _ {k = 1} ^ { infty} rho _ {2k} (y) s_ {2k} (y),}$

q(y) bularning hammasida yumshoq funktsiya V.

Endi biz shuni kuzatmoqdamiz s_2k va ${ displaystyle rho}$_2ks_2k ning mahallasida tengdir x_2k,

${ displaystyle lim _ {k rightarrow infty} | Dq (x_ {2k}) | geq C}$

Shunday qilib davomiylik bo'yicha |Dq(x) | ≥ C> 0. Boshqa tarafdan,

${ displaystyle lim _ {k rightarrow infty} Dq (x_ {2k + 1}) = 0}$

beri Dq(x_{2k + 1}) = 0 chunki q bir xil nolga teng B_{2k + 1} va D. qo'llab-quvvatlamaydi. Shunday qilib Dq(x) = 0. Bu qarama-qarshilik.

Endi biz Lemma 2 ni isbotlaymiz.

Birinchidan, doimiylikdan voz kechaylik C birinchi lemmadan. Lemma 1 bilan bir xil farazlarga binoan, | Ds (y) | = 0 ekanligini ko'rsatamiz. A ni tanlang y yilda V\{x} Shuning uchun; ... uchun; ... natijasida j^ks(y) = 0 lekin |Ds(y)|=g> 0. O'lchash s 2 martaC/ g. Keyin agar g ning chiziqliligi bo'yicha nolga teng emas D., |Ds(y)|=2C>C, bu Lemma tomonidan imkonsizdir. Bu teoremani teshilgan mahallada isbotlaydi V\{x}.

Endi biz differentsial operatorni markaziy nuqtaga qadar davom ettirishimiz kerak x teshilgan mahallada. D. silliq koeffitsientlarga ega bo'lgan chiziqli differentsial operator. Bundan tashqari, u silliq funktsiyalar mikroblarini silliq funktsiyalar mikroblariga yuboradi x shuningdek. Shunday qilib. Ning koeffitsientlari D. ham silliqdir x.

Ixtisoslashtirilgan dastur

Ruxsat bering M bo'lishi a ixcham silliq manifold (ehtimol bilan chegara ) va E va F cheklangan o'lchovli bo'lishi vektorli to'plamlar kuni M. Ruxsat bering

${ displaystyle Gamma ^ { infty} (E)}$to'plamidir silliq qismlar ning E. An operator

${ displaystyle D: Gamma ^ { infty} (E) rightarrow Gamma ^ { infty} (F)}$

silliq funktsiya (ning Frechet manifoldlari ) tolalar ustida chiziqli va tayanch nuqtasini hurmat qiladigan M:

${ displaystyle pi circ D_ {p} = p.}$

Peetre teoremasi har bir operator uchun buni tasdiqlaydi D., butun son mavjud k shu kabi D. a differentsial operator tartib k. Xususan, biz parchalanishimiz mumkin

${ displaystyle D = i_ {D} circ j ^ {k}}$

qayerda ${ displaystyle i_ {D}}$ dan xaritalashdir samolyotlar bo'limlari E to'plamga F. Shuningdek qarang ichki differentsial operatorlar.

Misol: laplasiya

Quyidagi operatorni ko'rib chiqing:

${ displaystyle (Lf) (x_ {0}) = lim _ {r dan 0} { frac {2d} {r ^ {2}}} { frac {1} {| S_ {r} |} } int _ {S_ {r}} (f (x) -f (x_ {0})) dx}$

qayerda ${ displaystyle f in C ^ { infty} ( mathbb {R} ^ {d})}$ va ${ displaystyle S_ {r}}$ markazlashgan shar ${ displaystyle x_ {0}}$ radius bilan ${ displaystyle r}$. Bu aslida laplacian. Biz ko'rsatamiz ${ displaystyle L}$ Peetre teoremasi bo'yicha differentsial operatordir. Asosiy g'oya shundan beri ${ displaystyle Lf (x_ {0})}$ atamalari bilan belgilanadi ${ displaystyle f}$yaqinidagi xatti-harakatlar ${ displaystyle x_ {0}}$, bu mahalliy tabiatdir; xususan, agar ${ displaystyle f}$ mahalliy sifatida nolga teng ${ displaystyle Lf}$va shuning uchun qo'llab-quvvatlash o'sishi mumkin emas.

Texnik dalil quyidagicha.

Ruxsat bering ${ displaystyle M = mathbb {R} ^ {d}}$ va ${ displaystyle E}$ va ${ displaystyle F}$ daraja bo'lish ${ displaystyle 1}$ ahamiyatsiz to'plamlar.

Keyin ${ displaystyle Gamma ^ { infty} (E)}$ va ${ displaystyle Gamma ^ { infty} (F)}$ shunchaki bo'sh joy ${ displaystyle C ^ { infty} ( mathbb {R} ^ {d})}$ silliq funktsiyalar yoqilgan ${ displaystyle mathbb {R} ^ {d}}$. Bir dasta sifatida, ${ displaystyle { mathcal {F}} (U)}$ ochiq to'plamdagi silliq funktsiyalar to'plamidir ${ displaystyle U}$ cheklash esa funktsiyani cheklashdir.

Ko'rish uchun ${ displaystyle L}$ chindan ham morfizm, biz tekshirishimiz kerak ${ displaystyle (Lu) | V = L (u | V)}$ ochiq to'plamlar uchun ${ displaystyle U}$ va ${ displaystyle V}$ shu kabi ${ displaystyle V subseteq U}$ va ${ displaystyle u in C ^ { infty} (U)}$. Bu aniq, chunki ${ displaystyle x in V}$, ikkalasi ham ${ displaystyle [(Lu) | V] (x)}$ va ${ displaystyle [L (u | V)] (x)}$ oddiygina ${ displaystyle lim _ {r to 0} { frac {2d} {r ^ {2}}} { frac {1} {| S_ {r} |}} int _ {S_ {r}} (u (y) -u (x)) dy}$kabi ${ displaystyle S_ {r}}$ oxir-oqibat ikkalasining ichida o'tiradi ${ displaystyle U}$ va ${ displaystyle V}$ nima bo'lganda ham.

Buni tekshirish oson ${ displaystyle L}$ chiziqli:

${ displaystyle L (f + g) = L (f) + L (g)}$ va ${ displaystyle L (af) = aL (f)}$

Nihoyat, biz buni tekshiramiz ${ displaystyle L}$ degan ma'noda mahalliy hisoblanadi ${ displaystyle suppLf subseteq suppf}$. Agar ${ displaystyle x_ {0} notin supp (f)}$, keyin ${ displaystyle mavjud r> 0}$ shu kabi ${ displaystyle f = 0}$ radius to'pida ${ displaystyle r}$ markazida ${ displaystyle x_ {0}}$. Shunday qilib, uchun ${ displaystyle x in B (x_ {0}, r)}$,

${ displaystyle int _ {S_ {r '}} (f (y) -f (x)) dy = 0}$

uchun ${ displaystyle r '$va shuning uchun ${ displaystyle (Lf) (x) = 0}$.Shuning uchun, ${ displaystyle x_ {0} notin suppLf}$.

Shunday qilib Peetre teoremasi bilan, ${ displaystyle L}$ - differentsial operator.

Adabiyotlar

• Peetre, J., Une caractérisation abstraite des opérateurs différentiels, Matematik. Skandal. 7 (1959), 211-218.
• Peetre, J., Rectification à l'article Une caractérisation abstraite des opérateurs différentiels, Matematik. Skandal. 8 (1960), 116-120.
• Terng, KL, Tabiiy vektor to'plamlari va tabiiy differentsial operatorlar, Am. J. Matematik. 100 (1978), 775-828.