Plurisubharmonik funktsiya - Plurisubharmonic function

Yilda matematika, plurisubarmonik funktsiyalari (ba'zan qisqartiriladi psh, plsh, yoki peluş funktsiyalari) ning muhim sinfini tashkil qiladi funktsiyalari ichida ishlatilgan kompleks tahlil. A Kähler manifoldu, plurisubharmonik funktsiyalar subharmonik funktsiyalar. Biroq, subharmonik funktsiyalardan farqli o'laroq (ular a da aniqlanadi) Riemann manifoldu ) plurisubarmonik funktsiyalar to'liq umumiylikda aniqlanishi mumkin murakkab analitik bo'shliqlar.

Rasmiy ta'rif

A funktsiya

{ displaystyle f colon G to { mathbb {R}} cup {- infty },}

bilan domen ${ displaystyle G subset { mathbb {C}} ^ {n}}$ deyiladi plurisubarmonik agar shunday bo'lsa yuqori yarim uzluksiz va har bir kishi uchun murakkab chiziq

{ displaystyle {a + bz mid z in { mathbb {C}} } subset { mathbb {C}} ^ {n}}

bilan

{ displaystyle a, b in { mathbb {C}} ^ {n}}

funktsiya ${ displaystyle z mapsto f (a + bz)}$ a subharmonik funktsiya to'plamda

{ displaystyle {z in { mathbb {C}} mid a + bz in G }.}

Yilda to'liq umumiylik, tushunchani ixtiyoriy ravishda aniqlash mumkin murakkab ko'p qirrali yoki hatto a Murakkab analitik makon ${ displaystyle X}$ quyidagicha. An yuqori yarim doimiy funktsiya

{ displaystyle f colon x to { mathbb {R}} cup {- infty }}

plurisubharmonic deyiladi va agar mavjud bo'lsa holomorfik xarita ${ displaystyle varphi colon Delta to X}$ funktsiya

{ displaystyle f circ varphi colon Delta to { mathbb {R}} cup {- infty }}

bu subharmonik, qayerda ${ displaystyle Delta subset { mathbb {C}}}$ birlik diskini bildiradi.

Differentsial plurisubarmonik funktsiyalar

Agar ${ displaystyle f}$ (differentsiallik) sinfiga kiradi ${ displaystyle C ^ {2}}$ , keyin ${ displaystyle f}$ plurisubarmonik, agar faqat hermit matritsasi bo'lsa ${ displaystyle L_ {f} = ( lambda _ {ij})}$ , Levi matritsasi deb ataladi

{ displaystyle lambda _ {ij} = { frac { kısmi ^ {2} f} { qisman z_ {i} qisman { bar {z}} _ {j}}}}

bu ijobiy yarim cheksiz.

Teng ravishda, a ${ displaystyle C ^ {2}}$ -funktsiya f plurisubharmonic hisoblanadi va agar shunday bo'lsa ${ displaystyle { sqrt {-1}} kısalt { bar { qismli}} f}$ a ijobiy (1,1) -form.

Misollar

Kähler ko'p qirrali aloqasi: Evklid fazosining n o'lchovli kompleksida ${ displaystyle mathbb {C} ^ {n}}$ , ${ displaystyle f (z) = | z | ^ {2}}$ plurisubarmonikdir. Aslini olib qaraganda, ${ displaystyle { sqrt {-1}} kısalt { overline { qismli}} f}$ standartga teng Kähler shakli kuni ${ displaystyle mathbb {C} ^ {n}}$ doimiy ko'paytmalargacha. Umuman olganda, agar ${ displaystyle g}$ qondiradi

{ displaystyle { sqrt {-1}} kısalt { overline { qismli}} g = omega}

ba'zi bir Kähler formasi uchun ${ displaystyle omega}$ , keyin ${ displaystyle g}$ plurisubharmonik bo'lib, unga Kler potentsiali deyiladi.

Dirak deltasiga munosabat: Evklid fazosining 1 o'lchovli kompleksida ${ displaystyle mathbb {C} ^ {1}}$ , ${ displaystyle u (z) = log (z)}$ plurisubarmonikdir. Agar ${ displaystyle f}$ bu C^∞-sinf funktsiyasi bilan ixcham qo'llab-quvvatlash, keyin Koshi integral formulasi deydi

{ displaystyle f (0) = - { frac { sqrt {-1}} {2 pi}} int _ {D} { frac { qismli f} { qism { bar {z}} }} { frac {dzd { bar {z}}} {z}}}

ga o'zgartirilishi mumkin

{ displaystyle { frac { sqrt {-1}} { pi}} kısalt { overline { qismli}} log | z | = dd ^ {c} log | z |}

.

Bu boshqa narsa emas Dirak o'lchovi kelib chiqishi 0.

Ko'proq misollar

Agar ${ displaystyle f}$ ochiq to'plamdagi analitik funktsiya, keyin ${ displaystyle log | f |}$ bu ochiq to'plamdagi plurisubarmonik.
Qavariq funktsiyalar plurisubarmonikdir
Agar ${ displaystyle Omega}$ u holda Holomorfiya domeni ${ displaystyle - log (dist (z, Omega ^ {c}))}$ plurisubarmonikdir
Harmonik funktsiyalar plurisubarmonik bo'lishi shart emas

Tarix

Plurisubharmonik funktsiyalar 1942 yilda aniqlanganKiyoshi Oka ^[1] va Per Lelong.^[2]

Xususiyatlari

Plurisubharmonik funktsiyalar to'plami a ni tashkil qiladi qavariq konus ichida vektor maydoni yarim davomli funktsiyalar, ya'ni.

agar ${ displaystyle f}$ plurisubharmonik funktsiyadir va ${ displaystyle c> 0}$ ijobiy haqiqiy son, keyin funktsiya ${ displaystyle c cdot f}$ plurisubarmonik,
agar ${ displaystyle f_ {1}}$ va ${ displaystyle f_ {2}}$ plurisubarmonik funktsiyalar, keyin yig'indidir ${ displaystyle f_ {1} + f_ {2}}$ plurisubarmonik funktsiyadir.

Plurisubarmonizm - bu mahalliy mulk, ya'ni funktsiya plurisubarmonik bo'lib, agar u har bir nuqtaning yaqinida plurisubarmonik bo'lsa.
Agar ${ displaystyle f}$ plurisubarmonik va ${ displaystyle phi: mathbb {R} dan mathbb {R}}$ keyin monotonik ravishda o'sib boruvchi, qavariq funktsiya ${ displaystyle phi circ f}$ plurisubarmonikdir.
Agar ${ displaystyle f_ {1}}$ va ${ displaystyle f_ {2}}$ plurisubharmonik funktsiyalar, keyin funktsiya ${ displaystyle f (x): = max (f_ {1} (x), f_ {2} (x))}$ plurisubarmonikdir.
Agar ${ displaystyle f_ {1}, f_ {2}, dots}$ plurisubarmonik funktsiyalarning monoton kamayib ketadigan ketma-ketligi

keyin ${ displaystyle f (x): = lim _ {n to infty} f_ {n} (x)}$ plurisubarmonikdir.

Har qanday doimiy plurisubarmonik funktsiyani silliq plurisubarmonik funktsiyalarning monotonik kamayib ketma-ketligi chegarasi sifatida olish mumkin. Bundan tashqari, ushbu ketma-ketlikni bir xil konvergent tanlash mumkin.^[3]
Odatdagidek tengsizlik yarim davomiylik shart tenglik sifatida saqlanadi, ya'ni agar ${ displaystyle f}$ plurisubarmonikdir

{ displaystyle limsup _ {x to x_ {0}} f (x) = f (x_ {0})}

(qarang chegara ustun va chegara past ning ta'rifi uchun lim sup).

Plurisubharmonik funktsiyalar quyidagilardir subharmonik, har qanday kishi uchun Keler metrikasi.
Shuning uchun plurisubarmonik funktsiyalar maksimal tamoyil, ya'ni agar ${ displaystyle f}$ plurisubarmonik hisoblanadi ulangan ochiq domen ${ displaystyle D}$ va

{ displaystyle sup _ {x in D} f (x) = f (x_ {0})}

bir muncha vaqt uchun ${ displaystyle x_ {0} in D}$ keyin ${ displaystyle f}$ doimiy.

Ilovalar

Yilda kompleks tahlil, plurisubharmonik funktsiyalar tavsiflash uchun ishlatiladi psevdokonveks domenlari, holomorfiya domenlari va Stein manifoldlari.

Oka teoremasi

Plurisubarmonik funktsiyalar nazariyasining asosiy geometrik qo'llanilishi - bu isbotlangan mashhur teorema Kiyoshi Oka 1942 yilda.^[1]

Doimiy funktsiya ${ displaystyle f: ; M mapsto { mathbb {R}}}$ deyiladi to'liq agar preimage ${ displaystyle f ^ {- 1} (] - infty, c])}$ hamma uchun ixchamdir ${ displaystyle c in { mathbb {R}}}$ . Plurisubarmonik funktsiya f deyiladi kuchli plurisubharmonikagar shakl ${ displaystyle { sqrt {-1}} ( kısalt { bar { qismli}} f- omega)}$ bu ijobiy, ba'zilari uchun Kähler shakli ${ displaystyle omega}$ kuni M.

Oka teoremasi: Ruxsat bering M silliq, to'liq, kuchli plurisubarmonik funktsiyani tan oladigan murakkab manifold bo'ling M bu Shteyn. Aksincha, har qandayStein manifold bunday funktsiyani tan oladi.

Adabiyotlar

Stiven G. Krantz. Bir nechta murakkab o'zgaruvchilarning funktsional nazariyasi, AMS Chelsea Publishing, Providence, Rod-Aylend, 1992 y.
Robert C. Gunning. Holomorfik funktsiyalarga bir nechta o'zgaruvchida kirish, Wadsworth & Brooks / Cole.
Klimek, Pluripotensial nazariya, Clarendon Press 1992 y.

Tashqi havolalar

"Plurisubharmonik funktsiya", Matematika entsiklopediyasi, EMS Press, 2001 [1994]

Izohlar

^ ^a ^b K. Oka, Domenlar psevdokonvekslar, Tohoku matematikasi. J. 49 (1942), 15–52.
^ P. Lelong, Des fonctions plurisousharmoniques ta'rifi, C. R. Acd. Ilmiy ish. Parij 215 (1942), 398–400.
^ R. E. Grin va H. Vu, ${ displaystyle C ^ { infty}}$ - qavariq, subarmonik va plurisubarmonik funktsiyalarning yaqinlashishi, Ann. Ilmiy. Ek. Norm. Sup. 12 (1979), 47-84.

[oka-1] K. Oka, Domenlar psevdokonvekslar, Tohoku matematikasi. J. 49 (1942), 15–52.

[2] P. Lelong, Des fonctions plurisousharmoniques ta'rifi, C. R. Acd. Ilmiy ish. Parij 215 (1942), 398–400.

[3] R. E. Grin va H. Vu, ${ displaystyle C ^ { infty}}$ - qavariq, subarmonik va plurisubarmonik funktsiyalarning yaqinlashishi, Ann. Ilmiy. Ek. Norm. Sup. 12 (1979), 47-84.

[1]

[2]

[3]