Ko'p qirrali makon - Polyhedral space

Ko'p qirrali makon aniq metrik bo'shliq. A (Evklid ) ko'p qirrali bo'shliq (odatda cheklangan) soddalashtirilgan kompleks unda har bir sodda a yassi metrik. (Boshqa qiziqish doiralari sharsimon va giperbolik ko'pburchak bo'shliqlardir, bu erda har bir simpleks doimiy ijobiy yoki salbiy egrilik metrikasiga ega). Davomida barcha ko'p qirrali bo'shliqlar Evklidli ko'p qirrali bo'shliqlar deb qabul qilingan.

Misollar

Barcha 1 o'lchovli ko'p qirrali bo'shliqlar adolatli metrik grafikalar. Ikki o'lchovli misollarning yaxshi manbai 2 o'lchovli sirtlarning uchburchaklarini tashkil qiladi. Qavariq ko'pburchak yuzasi ${displaystyle R ^ {3}}$ bu ikki o'lchovli ko'p qirrali bo'shliq.

Har qanday PL-manifold (bu aslida a bilan bir xil soddalashtirilgan manifold, shunchaki qulaylik uchun ba'zi texnik taxminlar bilan) ko'p qirrali makonning namunasidir. Aslida, o'ylab ko'rish mumkin pseudomanifolds, odatdagi manifoldlarga e'tiborni cheklash mantiqan to'g'ri keladi.

Metrik o'ziga xoslik

Ko'p qirrali bo'shliqlarni o'rganishda (ayniqsa, ular ham mavjud) topologik manifoldlar ) metrik o'ziga xosliklar markaziy rol o'ynaydi. Ko'p qirrali bo'shliq n o'lchovli ko'p qirrali bo'lsin. Agar ko'p o'lchovli fazoviy n-o'lchovli topologik manifold bo'lgan nuqta R ^ n-dagi Evklid mahallasi uchun qo'shni izometrik bo'lmasa, bu nuqta metrik o'ziga xoslik deb aytiladi. Bu $ k $ koeffitsientining o'ziga xosligi, agar u R ^ {n-k} ga qo'shni izometrik bo'lsa va metrik konus. 2-kod o'lchovining o'ziga xos xususiyatlari katta ahamiyatga ega; ular bitta raqam, konusning burchagi bilan tavsiflanadi.

Yakkaliklar topologik jihatdan ham o'rganilishi mumkin. Masalan, 2-o'lchovning topologik o'ziga xosliklari mavjud emas. 3-o'lchovli ko'p qirrali bo'shliqda chegarasiz (yuzlar boshqa yuzlarga yopishtirilmagan) har qanday nuqta yoki ochiq sharga yoki konusning ustiga konusga mahalla gomomorfiga ega. proektsion tekislik. Avvalgi holatda, nuqta 3 metrik o'ziga xosligini kodimensiya bo'lishi shart. Ko'p qirrali bo'shliqlarda o'ziga xosliklarni topologik jihatdan tasniflashning umumiy muammosi asosan hal qilinmagan (masalan, oddiy bayonotlardan tashqari, masalan, har qanday o'ziga xoslik mahalliy darajada sferik ko'p qirrali kosmosdagi konus bo'lib, bir o'lchovga kam bo'ladi va biz u erda birliklarni o'rganishimiz mumkin).

Egrilik

Ko'p qirrali bo'shliqlarning egriligini o'rganish (ma'noda egrilik) Aleksandrov bo'shliqlari ), xususan, salbiy va ijobiy bo'lmagan egrilikning ko'p qirrali bo'shliqlari. 2-kod o'lchovining o'ziga xos xususiyatlariga manfiy egrilik umuman salbiy bo'lmagan egrilikni nazarda tutadi. Biroq, bu ijobiy bo'lmagan egrilik uchun noto'g'ri. Masalan, bitta oktant o'chirilgan holda R ^ 3 ni ko'rib chiqing. Keyinchalik, bu oktantaning chekkalarida (2-kod o'lchovining o'ziga xosligi) egrilik ijobiy emas (dallanayotgan geodeziya tufayli), shunga qaramay (3-kod o'lchovining o'ziga xosligi), bu erda uchburchak (0,0, e), (0, e, 0), (e, 0,0) ning evklid tekisligida bo'lishiga nisbatan mediani uzunroq, bu esa salbiy bo'lmagan egrilikka xosdir.

Qo'shimcha tuzilish

Ning ko'plab tushunchalari Riemann geometriyasi qo'llanilishi mumkin. Degan yagona aniq tushuncha mavjud parallel transport va faqat bitta tabiiy ulanish. Tushunchasi holonomiya bu holda juda oddiy. The cheklangan holonomiya guruhi ahamiyatsiz va shuning uchun ham bor homomorfizm dan asosiy guruh ustiga holonomiya guruhi. Yassi Riemann metrikasi bilan bo'sh joy olish va u erdagi holonomiyalarni o'rganish uchun barcha o'ziga xosliklarni olib tashlash ayniqsa qulay bo'lishi mumkin. Shunday qilib vujudga keladigan tushunchalardan biri, ko'p qirrali guruhlar tarkibiga kirganda, ko'p qirrali Kahler kollektorlari. unitar matritsalar. Bunday holda, holonomiyalar ham saqlaydi simpektik shakl bilan birga murakkab tuzilish birliklar olib tashlangan holda bu ko'p qirrali bo'shliqda (ko'p qirrali). Kabi barcha tushunchalar differentsial shakl, L2 differentsial shakli va boshqalar shunga mos ravishda o'rnatiladi.

Boshqa mavzular

Tadqiqotning yana bir yo'nalishi - bu ishlanmalar dinamik bilyard ko'p qirrali bo'shliqlarda, masalan. ijobiy bo'lmagan egrilik (giperbolik billiard). Ijobiy egri ko'p qirrali bo'shliqlar quyidagicha paydo bo'ladi havolalar Evklidli ko'p qirrali bo'shliqlardagi nuqta (odatda metrik o'ziga xoslik).

Tarix

To'liq umumiylikda ko'p qirrali bo'shliqlar birinchi marta Milka tomonidan aniqlangan ^[1]

Adabiyotlar

• Burago, Dmitriy; Yuriy Burago; Sergey Ivanov (2001-06-12) [1984]. Metrik geometriya kursi. Amerika matematik jamiyati (noshir). pp.417 sahifalar. ISBN  0-8218-2129-6 (2001 yil nashr).

• Dmitriy Panov. "Polyhedral Kahler manifoldlari"