Ponceletsni yopish teoremasi - Poncelets closure theorem

Poncelet porizmining tasviri n = 3, bir doiraga chizilgan va boshqasini aylanib o'tadigan uchburchak.

Yilda geometriya, Ponceletniki porizm, ba'zan deb nomlanadi Ponceletning yopilish teoremasi, har doim a ko'pburchak bu yozilgan bittasida konus bo'limi va sunniylar ikkinchisi, ko'pburchak bir xil ikkita konikka yozilgan va ularni aylanib o'tadigan cheksiz ko'pburchaklar oilasining bir qismi bo'lishi kerak.^[1][2] Unga frantsuz muhandisi va matematikasi nomi berilgan Jan-Viktor Ponsel, bu haqda 1822 yilda kim yozgan; ammo, uchburchak holat 1746 yilda ancha oldinroq topilgan Uilyam Chapl.^[3]

Poncelet porizmini an yordamida argument yordamida isbotlash mumkin elliptik egri chiziq, uning nuqtalari bitta konusga teguvchi chiziq va shu chiziqning ikkinchi konus bilan kesishish nuqtasini birlashtiradi.

Bayonot

Ruxsat bering C va D. ikkita samolyot bo'ling koniklar. Agar topish mumkin bo'lsa, berilgan uchun n > 2, bitta n- tomonli ko'pburchak bir vaqtning o'zida yozilgan C (uning barcha tepalari yotishini anglatadi) C) atrofida o'ralgan D. (uning barcha qirralari degan ma'noni anglatadi teginish ga D.), shunda ularning cheksiz ko'pini topish mumkin. Ning har bir nuqtasi C yoki D. shunday ko'pburchakning tepasi yoki tegishliligi (mos ravishda).

Agar konuslar bo'lsa doiralar, bir doira ichida yozilgan va ikkinchisiga o'ralgan ko'pburchaklar deyiladi bisentrik ko'pburchaklar, shuning uchun har bir bisentrik ko'pburchak xuddi shu ikki doiraga nisbatan cheksiz ikki pentrli ko'pburchak oilasining bir qismi ekanligini aytib, Ponselet porizmining ushbu maxsus holatini yanada ixchamroq ifodalash mumkin.^{[4]:p. 94}

Tasdiqlangan eskiz

Ko'rinish C va D. egri chiziqlar kabi murakkab proektsion tekislik P². Oddiylik uchun, deb taxmin qiling C va D. ko'ndalang bilan uchrashish (ikkalasining har bir kesishish nuqtasi oddiy o'tish degan ma'noni anglatadi). Keyin Bezut teoremasi, chorrahada C ∩ D. ikkita egri chiziq to'rtta murakkab nuqtadan iborat. Ixtiyoriy nuqta uchun d yilda D., ruxsat bering ℓ_d ga teginuvchi chiziq bo'ling D. da d. Ruxsat bering X ning subvariety bo'lishi C × D. iborat (v,d) shu kabi ℓ_d orqali o'tadi v. Berilgan v, soni d bilan (v,d) ∈ X agar 1 bo'lsa v ∈ C ∩ D. va aks holda 2 ta. Shunday qilib proektsiya X → C ≃ P¹ sovg'alar X 4 darajadan yuqoriga ko'tarilgan 2 darajali qopqoq sifatida, shuning uchun X bu elliptik egri (bir marta biz tayanch nuqtasini tuzatamiz X). Ruxsat bering ${ displaystyle sigma}$ ning involution bo'lishi X general yuborish (v,d) boshqa nuqtaga (v,d′) Xuddi shu birinchi koordinatali. Belgilangan nuqtaga ega bo'lgan elliptik egri chiziqning har qanday involyatsiyasi, guruh qonunida ifodalangan holda, shaklga ega x → p − x kimdir uchun p, shuning uchun ${ displaystyle sigma}$ ushbu shaklga ega. Xuddi shunday, proektsiya X → D. aloqa nuqtalari ustida tarqalgan 2 darajali morfizmdir D. ikkalasiga ham mos keladigan to'rt qatorning C va D.va tegishli involution ${ displaystyle tau}$ shaklga ega x → q − x kimdir uchun q. Shunday qilib kompozitsiya ${ displaystyle tau sigma}$ bu tarjima X. Agar kuch ${ displaystyle tau sigma}$ aniq bir nuqtaga ega, bu kuch identifikator bo'lishi kerak. Tiliga qayta tarjima qilingan C va D., bu degani, agar bitta nuqta bo'lsa v ∈ C (mos keladigan bilan jihozlangan d) yopiladigan orbitani keltirib chiqaradi (ya'ni n-gon), keyin har bir nuqta ham shunday bo'ladi. Buzilgan holatlar C va D. chegara argumentidan ko'ndalang emas.

Shuningdek qarang

• Hartshorne ellipsi
• Shtaynerning porizmi
• Doiralarga teginuvchi chiziqlar

Adabiyotlar

• Bos, H. J. M.; Kers, C .; Oort, F.; Raven, D. W. "Ponceletning yopilish teoremasi". Mathematicae ekspozitsiyalari 5 (1987), yo'q. 4, 289-364.

Tashqi havolalar

• Devid Speyer Ponceletning "Porizm" filmida
• D. Fuchs, S. Tabachnikov, Matematik Omnibus: Klassik matematikadan o'ttiz ma'ruza
• Interaktiv dastur Maykl Borcherds tomonidan ishlarni ko'rsatish n = 3, 4, 5, 6, 7, 8 (uchun n = 7, 8) yordamida qilingan GeoGebra.
• Interaktiv dastur Maykl Borcherds tomonidan Ponceletning umumiy Ellips va Parabola uchun porizmini namoyish etgan GeoGebra.
• Interaktiv dastur Maykl Borcherds tomonidan ishlatilgan 2 umumiy ellips uchun Ponseletning "Porizm" filmi (3-tartib) GeoGebra.
• Interaktiv dastur Maykl Borcherds tomonidan ishlatilgan 2 umumiy ellips uchun Ponceletning "Porizm" filmi (5-tartib) GeoGebra.
• Interaktiv dastur Maykl Borcherds tomonidan ishlatilgan 2 umumiy ellips uchun Ponceletning "Porizm" filmi (6-tartib) GeoGebra.
• Java ilovasi Milliy Tsing Xua Universitetida n = 3 uchun tashqi holatni ko'rsatmoqda.
• Ponseletning porizmiga oid maqola Mathworld-da.