Prekopa-Leyndler tengsizligi - Prékopa–Leindler inequality

Yilda matematika, Prekopa-Leyndler tengsizligi bu ajralmas tengsizlik bilan chambarchas bog'liq Youngning tengsizligini teskari yo'naltirish, Brunn-Minkovskiy tengsizligi va boshqa bir qator muhim va klassik tengsizliklar tahlil. Natijada nomlangan Venger matematiklar Andras Prekopa va Laslo Leindler.

Tengsizlik to'g'risidagi bayonot

0 λ <1 va ruxsat bering f, g, h : Rⁿ → [0, + ∞) noaniq bo'lishi keraksalbiy haqiqiy qadrli o'lchanadigan funktsiyalar bo'yicha belgilangan n- o'lchovli Evklid fazosi Rⁿ. Aytaylik, bu funktsiyalar qondirilsin

{displaystyle hleft ((1-lambda) x + lambda yight) geq f (x) ^ {1-lambda} g (y) ^ {lambda}}

(1)

Barcha uchun x va y yilda Rⁿ. Keyin

{displaystyle | h | _ {1}: = int _ {mathbb {R} ^ {n}} h (x), mathrm {d} xgeq left (int _ {mathbb {R} ^ {n}} f (x) ), mathrm {d} xight) ^ {1-lambda} chap (int _ {mathbb {R} ^ {n}} g (x), mathrm {d} xight) ^ {lambda} =: | f | _ { 1} ^ {1-lambda} | g | _ {1} ^ {lambda}.}

Tengsizlikning asosiy shakli

Eslatib o'tamiz muhim supremum o'lchovli funktsiya f : Rⁿ → R bilan belgilanadi

{displaystyle mathop {mathrm {ess, sup}} _ {xin mathbb {R} ^ {n}} f (x) = inf left {tin [-infty, + infty] mid f (x) leq t {ext {for deyarli barchasi}} xin mathbb {R} ^ {n} ight}.}

Ushbu yozuv quyidagilarga imkon beradi muhim shakl Prekopa-Leyndler tengsizligining: 0 λ <1 va ruxsat bering f, g ∈ L¹(Rⁿ; [0, + ∞)) manfiy emas mutlaqo integral funktsiyalari. Ruxsat bering

{displaystyle s (x) = mathop {mathrm {ess, sup}} _ {yin mathbb {R} ^ {n}} fleft ({frac {xy} {1-lambda}} ight) ^ {1-lambda} gleft ({frac {y} {lambda}} ight) ^ {lambda}.}

Keyin s o'lchanadi va

{displaystyle | s | _ {1} geq | f | _ {1} ^ {1-lambda} | g | _ {1} ^ {lambda}.}

Muhim supremum shakli berilgan.^[1] Uning ishlatilishi tengsizlikning chap tomonini o'zgartirishi mumkin. Masalan, funktsiya g aniq bir nuqtada 1 qiymatini oladigan bo'lsa, odatda "muhim bo'lmagan sup" shaklida nol chap tomon hosil bo'lmaydi, lekin u har doim "muhim sup" shaklida nol chap tomonga ega bo'ladi.

Brunn-Minkovskiy tengsizligi bilan munosabat

Ko'rinib turibdiki, odatdagi Prekopa-Leyndler tengsizligi shuni anglatadiki Brunn-Minkovskiy tengsizligi quyidagi shaklda: agar 0 <λ <1 va A va B bor chegaralangan, o'lchovli kichik to'plamlar ning Rⁿ shunday Minkovskiy summasi (1 − λ)A + λB keyin ham o'lchanadi

{displaystyle mu chap ((1-lambda) A + lambda Bight) geq mu (A) ^ {1-lambda} mu (B) ^ {lambda},}

qayerda m bildiradi n- o'lchovli Lebesg o'lchovi. Demak, Prékopa-Leindler tengsizligidan ham foydalanish mumkin^[2] Brunn-Minkovskiy tengsizligini tanishroq shaklda isbotlash: agar 0 <λ <1 va A va B emasbo'sh, chegaralangan, o'lchovli kichik to'plamlar ning Rⁿ shunday (1 -λ)A + λB keyin ham o'lchanadi

{displaystyle mu chap ((1-lambda) A + lambda Bight) ^ {1 / n} geq (1-lambda) mu (A) ^ {1 / n} + lambda mu (B) ^ {1 / n}. }

Ehtimollar va statistika bo'yicha qo'llanmalar

Log-konkav taqsimoti

Prékopa-Leindler tengsizligi nazariyasida foydalidir log-konkav tarqatish, log-concavity tomonidan saqlanib qolganligini ko'rsatish uchun ishlatilishi mumkin marginalizatsiya va mustaqil log-konkav taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchilarning yig'indisi. Aytaylik H(x,y) uchun log-konkav taqsimotix,y) ∈ R^m × Rⁿ, shuning uchun biz ta'rifga ko'ra

{displaystyle Hleft ((1-lambda) (x_ {1}, y_ {1}) + lambda (x_ {2}, y_ {2}) ight) geq H (x_ {1}, y_ {1}) ^ { 1-lambda} H (x_ {2}, y_ {2}) ^ {lambda},}

(2)

va ruxsat bering M(y) orqali integratsiya qilish natijasida olingan marginal taqsimotni belgilang x:

{displaystyle M (y) = int _ {mathbb {R} ^ {m}} H (x, y), dx.}

Ruxsat bering y₁, y₂ ∈ Rⁿ va 0 <λ <1 berilgan. Keyin tenglama (2) shartni qondiradi (1) bilan h(x) = H(x,(1 − λ) y₁ + λy₂), f(x) = H(x,y₁) va g(x) = H(x,y₂), shuning uchun Prékopa-Leindler tengsizligi amal qiladi. Jihatidan yozilishi mumkin M kabi

{displaystyle M ((1-lambda) y_ {1} + lambda y_ {2}) geq M (y_ {1}) ^ {1-lambda} M (y_ {2}) ^ {lambda},}

bu log-concavity ta'rifi M.

Qanday qilib log-konveksiyani mustaqil yig'indilar bilan saqlashni nazarda tutishini ko'rish uchun shunday deb taxmin qiling X va Y log-konkav taqsimotiga ega bo'lgan mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar. Ikkala log-concave funktsiyasining mahsuloti log-concave bo'lgani uchun, (X,Y) log-konkavdir. Log-konkavlik koordinatalarning afinaviy o'zgarishi bilan saqlanib qoladi, shuning uchun (X + Y, X − Y) log-concave hisoblanadi. Ning tarqatilishidan beri X + Y ning birgalikdagi taqsimoti bo'yicha marginal hisoblanadiX + Y, X − Y), degan xulosaga keldik X + Y log-konkav taqsimotiga ega.

O'lchov konsentratsiyasiga tatbiq etish

Prékopa-Leindler tengsizligidan o'lchov konsentratsiyasi natijalarini isbotlash uchun foydalanish mumkin.

Teorema^{[iqtibos kerak ]} Ruxsat bering ${extstyle Asubseteq mathbb {R} ^ {n}}$ va sozlang ${extstyle A_ {epsilon} = {x: d (x, A)$ . Ruxsat bering ${extstyle gamma (x)}$ standart Gauss pdf-ni belgilang va ${extstyle mu}$ uning o'lchovi. Keyin ${extstyle mu (A_ {epsilon}) geq 1- {frac {e ^ {- epsilon ^ {2} / 4}} {mu (A)}}}$ .

O'lchov konsentratsiyasini tasdiqlovchi dalil

Ushbu teoremaning isboti quyidagi lemma orqali amalga oshiriladi:

Lemma Teorema yozuvida, ${extstyle int _ {mathbb {R} ^ {n}} exp (d (x, A) ^ {2} / 4) dmu leq 1 / mu (A)}$ .

Ushbu lemmani Prekopa-Leindlerdan qabul qilish orqali isbotlash mumkin ${extstyle h (x) = gamma (x), f (x) = e ^ {frac {d (x, A) ^ {2}} {4}} gamma (x), g (x) = 1_ {A } (x) gamma (x)}$ va ${extstyle lambda = 1/2}$ . Tengsizlik gipotezasini tekshirish uchun ${extstyle h ({frac {x + y} {2}}) geq {sqrt {f (x) g (u)}}}$ , faqat e'tiborga olishimiz kerakligini unutmang ${extstyle yin A}$ , bu holda ${extstyle d (x, A) leq || x-y ||}$ . Bu bizga quyidagilarni hisoblash imkonini beradi:

{displaystyle (2pi) ^ {n} f (x) g (x) = exp ({frac {d (x, A)} {4}} - || x || ^ {2} / 2- || y || ^ {2} / 2) leq exp ({frac {|| xy || ^ {2}} {4}} - || x || ^ {2} / 2- || y || ^ {2 } / 2) = exp (- || {frac {x + y} {2}} || ^ {2}) = (2pi) ^ {n} h ({frac {x + y} {2}}) ^ {2}.}

Beri ${extstyle int h (x) dx = 1}$ , PL-tengsizlik darhol lemma beradi.

Lemmadan kontsentratsiya tengsizligini xulosa qilish uchun quyidagiga e'tibor bering ${extstyle mathbb {R} ^ {n} setminus A_ {epsilon}}$ , ${extstyle d (x, A)> epsilon}$ , shuning uchun bizda bor ${extstyle int _ {mathbb {R} ^ {n}} exp (d (x, A) ^ {2} / 4) dmu geq (1-mu (A_ {epsilon})) exp (epsilon ^ {2} / 4)}$ . Lemmani qo'llash va qayta tartibga solish natijani isbotlaydi.

Izohlar

^ Herm Jan Braskamp va Elliott H. Lieb (1976). "Brunn-Minkovskiy va Prekopa-Leindler teoremalarining kengaytmalari, shu jumladan log botiq funktsiyalari uchun tengsizlik va diffuziya tenglamasini qo'llash to'g'risida". Funktsional tahlillar jurnali. 22 (4): 366–389. doi:10.1016/0022-1236(76)90004-5.CS1 maint: mualliflar parametridan foydalanadi (havola)
^ Gardner, Richard J. (2002). "Brunn-Minkovskiy tengsizligi". Buqa. Amer. Matematika. Soc. (N.S.) 39 (3): 355-405 betlar (elektron). doi: 10.1090 / S0273-0979-02-00941-2. ISSN 0273-0979.

Adabiyotlar

Gardner, Richard J. (2002). "Brunn-Minkovskiy tengsizligi" (PDF). Buqa. Amer. Matematika. Soc. (N.S.). 39 (3): 355-405 (elektron). doi:10.1090 / S0273-0979-02-00941-2. ISSN 0273-0979.

Prekopa, Andras (1971). "Stoxastik dasturlashda qo'llaniladigan logaritmik konkav o'lchovlari" (PDF). Acta Sci. Matematika. 32: 301–316.

Prekopa, Andras (1973). "Logaritmik konkav o'lchovlari va funktsiyalari to'g'risida" (PDF). Acta Sci. Matematika. 34: 335–343.

[1] Herm Jan Braskamp va Elliott H. Lieb (1976). "Brunn-Minkovskiy va Prekopa-Leindler teoremalarining kengaytmalari, shu jumladan log botiq funktsiyalari uchun tengsizlik va diffuziya tenglamasini qo'llash to'g'risida". Funktsional tahlillar jurnali. 22 (4): 366–389. doi:10.1016/0022-1236(76)90004-5.CS1 maint: mualliflar parametridan foydalanadi (havola)

[2] Gardner, Richard J. (2002). "Brunn-Minkovskiy tengsizligi". Buqa. Amer. Matematika. Soc. (N.S.) 39 (3): 355-405 betlar (elektron). doi: 10.1090 / S0273-0979-02-00941-2. ISSN 0273-0979.

[1]

[2]