Loyihalashtirilgan dinamik tizim - Projected dynamical system

Loyihalashtirilgan dinamik tizimlar a matematik xatti-harakatlarini tekshiruvchi nazariya dinamik tizimlar bu erda echimlar cheklovlar to'plami bilan cheklangan. Intizom statik dunyo bilan aloqalarni va dasturlarni baham ko'radi optimallashtirish va muvozanat muammolar va dinamik dunyo oddiy differentsial tenglamalar. A prognoz qilingan dinamik tizim tomonidan berilgan oqim uchun prognoz qilingan differentsial tenglama

{displaystyle {frac {dx (t)} {dt}} = Pi _ {K} (x (t), - F (x (t)))}

qayerda K bizning cheklovimiz. Ushbu shaklning differentsial tenglamalari uzluksiz vektor maydoniga ega ekanligi bilan ajralib turadi.

Prognoz qilingan dinamik tizimlar tarixi

Rejalashtirilgan dinamik tizimlar ba'zi parametrlar bo'yicha muvozanat muammolarida nostatik echimlarning xatti-harakatlarini dinamik ravishda modellashtirish istagidan kelib chiqqan bo'lib, odatda vaqtni oladi. Ushbu dinamika odatdagi differentsial tenglamalardan farq qiladi, chunki echimlar hanuzgacha muvozanat muammosi asosida ishlagan har qanday cheklov bilan cheklangan. sarmoyalarning noaniqligi moliyaviy modellashtirish, qavariq ko'p qirrali o'rnatiladi operatsiyalarni o'rganish Prognoz qilingan dinamik tizimlarning ko'tarilishiga yordam bergan muvozanat muammolarining eng muhim sinflaridan biri bu edi. variatsion tengsizliklar.

Prognoz qilingan dinamik tizimlarni rasmiylashtirish 1990-yillarda boshlangan. Ammo shunga o'xshash tushunchalarni matematik adabiyotda bundan oldinroq topish mumkin, ayniqsa variatsion tengsizlik va differentsial qo'shimchalar bilan bog'liq.

Proektsiyalar va konuslar

Prognoz qilingan differentsial tenglamamizning har qanday echimi bizning cheklovlarimiz to'plamida qolishi kerak K hamma vaqt uchun. Ushbu kerakli natijaga proektsion operatorlar va ikkita muhim sinflardan foydalanish orqali erishiladi konveks konuslari. Mana biz olamiz K bo'lish a yopiq, qavariq ba'zilari Hilbert maydoni X.

The oddiy konus to'plamga K nuqtada x yilda K tomonidan berilgan

{displaystyle N_ {K} (x) = {pin V | langle p, x-x ^ {*} burchak geq 0, umuman x ^ {*} da K}.}

The teguvchi konus (yoki shartli konus) to'plamga K nuqtada x tomonidan berilgan

{displaystyle T_ {K} (x) = {overline {igcup _ {h> 0} {frac {1} {h}} (K-x)}}.}

The proektsion operator (yoki eng yaqin element xaritasi) nuqta x yilda X ga K nuqta bilan berilgan ${displaystyle P_ {K} (x)}$ yilda K shu kabi

{displaystyle | x-P_ {K} (x) | leq | x-y |}

har bir kishi uchun y yilda K.

The vektor proektsiyalash operatori vektor v yilda X bir nuqtada x yilda K tomonidan berilgan

{displaystyle Pi _ {K} (x, v) = lim _ {delta o 0 ^ {+}} {frac {P_ {K} (x + delta v) -x} {delta}}.}

Prognoz qilingan differentsial tenglamalar

Yopiq, konveks pastki to'plam berilgan K Hilbert makonining X va vektor maydoni -F qaysi elementlarni oladi K ichiga X, bilan bog'liq bo'lgan prognozlangan differentsial tenglama K va -F deb belgilangan

{displaystyle {frac {dx (t)} {dt}} = Pi _ {K} (x (t), - F (x (t)))}.

Ustida ichki makon ning K echimlar, agar tizim cheklanmagan oddiy differentsial tenglama bo'lsa, xuddi o'zlarini tutishadi. Biroq, vektor maydoni to'plam chegarasi bo'ylab uzluksiz bo'lgani uchun, proektsiyalangan differentsial tenglamalar uziluvchi oddiy differentsial tenglamalar sinfiga kiradi. Bu odatdagi differentsial tenglama nazariyasining ko'p qismini qo'llanib bo'lmaydigan holga keltirsa-da, qachon ma'lum -F a Lipschits doimiy vektor maydoni, noyob mutlaqo uzluksiz echim har bir boshlang'ich nuqta orqali mavjud x (0) = x₀ yilda K oraliqda ${displaystyle [0, yaroqsiz]}$ .

Ushbu differentsial tenglamani navbat bilan xarakterlash mumkin

{displaystyle {frac {dx (t)} {dt}} = P_ {T_ {K} (x (t))} (- F (x (t)))}

yoki

{displaystyle {frac {dx (t)} {dt}} = - F (x (t)) - P_ {N_ {K} (x (t))} (- F (x (t)))}.

Vektorli maydonni belgilaydigan konventsiya -F salbiy belgi bilan o'zgaruvchan tengsizliklarga ega bo'lgan dinamik tizimlar ulushini proektsiyalashgan ma'lum bir aloqadan kelib chiqadi. Adabiyotdagi konventsiya vektor maydonini variatsion tengsizlikda ijobiy, tegishli prognoz qilingan dinamik tizimda esa manfiy deb atashdan iborat.

Shuningdek qarang

Adabiyotlar

Aubin, JP va Cellina, A., Differentsial qo'shimchalar, Springer-Verlag, Berlin (1984).
Nagurney, A. va Zhang, D., Tasdiqlangan dinamik tizimlar va ilovalar bilan o'zgaruvchan tengsizliklar, Kluwer Academic Publishers (1996).
Cojocaru, M. va Jonker L., Hilbert bo'shliqlarida proektsiyalangan differentsial tenglamalar echimlarining mavjudligi, Proc. Amer. Matematika. Sok., 132 (1), 183-193 (2004).
Brogliato, B. va Daniilidis, A. va Lemarexal, S va Acary, V., "Komplementarlik tizimlari, prognoz qilingan tizimlar va differentsial qo'shimchalar o'rtasidagi ekvivalentlik to'g'risida", Tizimlar va boshqaruv xatlari, vol.55, s.45-51 (2006)