Yarim doimiy funktsiya - Quasi-continuous function

Yilda matematika, a tushunchasi yarim doimiy funktsiya a tushunchasiga o'xshash, ammo zaifroq doimiy funktsiya. Barcha uzluksiz funktsiyalar yarim doimiy, ammo aksincha, umuman to'g'ri emas.

Ta'rif

Ruxsat bering ${ displaystyle X}$ bo'lishi a topologik makon. Haqiqiy ahamiyatga ega funktsiya ${ displaystyle f: X rightarrow mathbb {R}}$ bir nuqtada yarim davomiydir ${ displaystyle x in X}$ agar mavjud bo'lsa ${ displaystyle epsilon> 0}$ va har qanday ochiq mahalla ${ displaystyle U}$ ning ${ displaystyle x}$ bo'sh bo'lmagan narsa bor ochiq to'plam ${ displaystyle G subset U}$ shu kabi

${ displaystyle | f (x) -f (y) | < epsilon ; ; ; ; for all y in G}$

E'tibor bering, yuqoridagi ta'rifda bunga ehtiyoj qolmaydi ${ displaystyle x in G}$.

Xususiyatlari

• Agar ${ displaystyle f: X rightarrow mathbb {R}}$ u holda doimiy bo'ladi ${ displaystyle f}$ yarim davomiydir
• Agar ${ displaystyle f: X rightarrow mathbb {R}}$ doimiy va ${ displaystyle g: X rightarrow mathbb {R}}$ kvazi-uzluksiz, keyin ${ displaystyle f + g}$ yarim davomiydir.

Misol

Funktsiyani ko'rib chiqing ${ displaystyle f: mathbb {R} rightarrow mathbb {R}}$ tomonidan belgilanadi ${ displaystyle f (x) = 0}$ har doim ${ displaystyle x leq 0}$ va ${ displaystyle f (x) = 1}$ har doim ${ displaystyle x> 0}$. Shubhasiz $ f $ $ x = 0 $ dan tashqari hamma joyda uzluksizdir, shuning uchun $ x = 0 $ dan tashqari hamma joyda yarim doimiy. $ X = 0 $ bo'lganida, $ x $ har qanday ochiq $ U $ mahallasini oling. Keyin ochiq to'plam mavjud ${ displaystyle G subset U}$ shu kabi ${ displaystyle y <0 ; forall y in G}$. Shubhasiz, bu hosil beradi ${ displaystyle | f (0) -f (y) | = 0 ; for all y in G}$ Shunday qilib $ f $ yarim doimiydir.

Aksincha, funktsiya ${ displaystyle g: mathbb {R} rightarrow mathbb {R}}$ tomonidan belgilanadi ${ displaystyle g (x) = 0}$ har doim ${ displaystyle x}$ ratsional son va ${ displaystyle g (x) = 1}$ har doim ${ displaystyle x}$ mantiqsiz raqam hech qaerda deyarli doimiy emas, chunki har bir bo'sh bo'lmagan ochiq to'plam ${ displaystyle G}$ ba'zi birlarini o'z ichiga oladi ${ displaystyle y_ {1}, y_ {2}}$ bilan ${ displaystyle | g (y_ {1}) - g (y_ {2}) | = 1}$.

Adabiyotlar

• Yan Borsik (2007-2008). "Davomiylik, kvazi-uzluksizlik, jumboqlilik va yuqori va quyi kvazi-uzluksizlik nuqtalari". Haqiqiy tahlillar almashinuvi. 33 (2): 339–350.
• T. Neubrunn (1988). "Yarim davomiylik". Haqiqiy tahlillar almashinuvi. 14 (2): 259–308. JSTOR  44151947.