Qvistlar teoremasi - Qvists theorem

Qvistning cheklangan tasvirlar haqidagi teoremasi

Yilda proektsion geometriya Qvist teoremasi, fin matematikasi nomi bilan atalgan Bertil Qvist, haqida bayonot tasvirlar yilda cheklangan proektsion samolyotlar. Ovallarning standart namunalari buzilmaydi (proektsion) konus kesimlari. Teorema savolga javob beradi Cheklangan proyeksiyalovchi tekislikdagi nuqta orqali ovalgacha qancha tanjens o'tishi mumkin? Javob asosan bog'liq buyurtma (-1 chiziqdagi nuqta soni) tekislikning.

Oval ta'rifi

A proektsion tekislik to'plam $Ω$ ball an deyiladi tuxumsimon, agar:

Har qanday chiziq $l$ uchrashadi $Ω$ ko'pi bilan ikkita nuqtada va
Har qanday nuqta uchun $P \in Ω$ aniq bitta chiziqli chiziq mavjud $t$ orqali $P$ , ya'ni, $t \cap Ω = {P$ }.

Uchun cheklangan samolyotlar (ya'ni nuqtalar to'plami cheklangan) bizda qulayroq tavsif mavjud:^[2]

Ning cheklangan proektsiyali tekisligi uchun buyurtma $n$ (ya'ni har qanday satr o'z ichiga oladi $n + 1$ ball) to'plam $Ω$ ballar oval shaklga ega bo'ladi, agar shunday bo'lsa $| Ω | = n + 1$ va uchta nuqta yo'q kollinear (umumiy chiziqda).

Qvist teoremasining bayonoti va isboti

Qvist teoremasi^[3]^[4]

Ruxsat bering $Ω$ tartibning chekli proektiv tekisligida oval bo'lishi $n$ .

(a) agar

n

bu g'alati,

har bir nuqta

P \notin Ω

0 yoki 2 taangens bilan sodir bo'lgan.

b) agar

n

bu hatto,

nuqta bor

N

, yadro yoki tugun, shunday qilib, tasvirlar tasvirlari to'plami

Ω

- bu barcha satrlarning qalamidir

N

.

Qvist teoremasi: n g'alati bo'lsa, dalilga

Qvist teoremasi: n juft bo'lsa ham dalilga

Isbot

(a) ruxsat bering $t R$ tangens bo'ling $Ω$ nuqtada $R$ va ruxsat bering $P 1, ... , P n$ ushbu qatorning qolgan nuqtalari bo'ling. Har biriga $men$ , chiziqlar $P men$ bo'lim $Ω$ 2 yoki 1 yoki 0 kardinallik to'plamlariga. Raqamdan beri $| Ω | = n + 1$ har qanday nuqta uchun ham teng $P men$ , bu nuqta orqali yana kamida bitta tangens mavjud bo'lishi kerak. Tangenslarning umumiy soni $n + 1$ , demak, har birida aniq ikkita tegins mavjud $P men$ , $t R$ va boshqa. Shunday qilib, har qanday nuqta uchun $P$ tasvirlar ichida emas $Ω$ , agar $P$ uchun har qanday teginish mavjud $Ω$ u aniq ikkita tanjansda.

b) ruxsat bering $s$ sekant bo'ling, $s \cap Ω = {P 0, P 1$ } va $s = {P 0, P 1,..., P n$ }. Chunki $| Ω | = n + 1$ har qanday narsa orqali g'alati $P men, i = 2, ..., n$ , kamida bitta tangens o'tadi $t men$ . Tangenslarning umumiy soni $n + 1$ . Demak, har qanday nuqta orqali $P men$ uchun $i = 2, ..., n$ aniq bitta teginish mavjud. Agar $N$ ikki teginishning kesishish nuqtasidir, hech qanday sekant o'tolmaydi $N$ . Chunki $n + 1$ , tangenslar soni, shuningdek, har qanday nuqta, har qanday chiziq orqali o'tadigan chiziqlar soni $N$ tangens.

Pappian tekis tartibdagi misol

Foydalanish bir hil bo'lmagan koordinatalar maydon ustida $K, | K | = n$ hatto to'plam

Ω 1 = {(x, y) | y = x 2} \cup {(\infty)

},

parabolaning proektsion yopilishi $y = x 2$ , nuqta bilan tasvirlar $N = (0)$ yadro sifatida (rasmga qarang), ya'ni har qanday chiziq $y = v$ , bilan $v \in K$ , tangens.

Giperminallarning ta'rifi va xususiyati

Har qanday tasvirlar $Ω$ a cheklangan ning proektiv tekisligi hatto buyurtma $n$ yadrosi bor $N$ .

Belgilangan nuqta

Ω : = Ω \cup {N

} a deyiladi giperoval yoki (

n + 2

)-yoy. (Sonli oval bu (

n + 1

)-yoy.)

Giperovalning quyidagi muhim xususiyatini osongina tekshiradi:

Giperoval uchun $Ω$ va nuqta $R \in Ω$ ballar to'plami $Ω \ {R$ } tasvirlar

proektsion konus bo'limi

Ω 1

Ushbu xususiyat berilgan ovaldan qo'shimcha tasvirlar yasashning oddiy vositasini taqdim etadi.

Misol

Cheklangan maydon bo'ylab proektsion tekislik uchun $K, | K | = n$ hatto va $n > 4$ , to'plam

Ω 1 = {(x, y) | y = x 2} \cup {(\infty)

} - oval (konus bo'limi) (rasmga qarang),

Ω 1 = {(x, y) | y = x 2} \cup {(0), (\infty)

} bu giperoval va

Ω 2 = {(x, y) | y = x 2} \cup {(0)

} - bu konus bo'limi bo'lmagan yana bir oval. (Esingizda bo'lsa, konus kesimi 5 ball bilan aniqlanadi.)

Izohlar

^ Ingliz adabiyotida ushbu atama odatda o'tish chizig'i sifatida tarjima qilish o'rniga, frantsuz (yoki nemis) tilida keltirilgan.
^ Dembovskiy 1968 yil, p. 147
^ Bertil Qvist: Cheklangan tekislikdagi ikkinchi darajali egri chiziqlarga oid ba'zi fikrlar, Xelsinki (1952), Ann. Akad. Ilmiy Fenn Nr. 134, 1-27
^ Dembovskiy 1968 yil, 147-8 betlar

Adabiyotlar

Betelspacher, Albrecht; Rozenbaum, Ute (1998), Proektiv Geometriya / asoslardan ilovalarga, Kembrij universiteti matbuoti, ISBN 978-0-521-48364-3
Dembovski, Piter (1968), Cheklangan geometriyalar, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, 44-band, Berlin, Nyu-York: Springer-Verlag, ISBN 3-540-61786-8, JANOB 0233275

Tashqi havolalar

E. Xartmann: Planar doira geometriyalari, Moebius, Laguerre va Minkowski samolyotlariga kirish. Skript, TH Darmshtadt (PDF; 891 kB), p. 40.

[1] Ingliz adabiyotida ushbu atama odatda o'tish chizig'i sifatida tarjima qilish o'rniga, frantsuz (yoki nemis) tilida keltirilgan.

[2] Dembovskiy 1968 yil, p. 147

[3] Bertil Qvist: Cheklangan tekislikdagi ikkinchi darajali egri chiziqlarga oid ba'zi fikrlar, Xelsinki (1952), Ann. Akad. Ilmiy Fenn Nr. 134, 1-27

[4] Dembovskiy 1968 yil, 147-8 betlar

[1]

[2]

[3]

[4]