Ramifikatsiya guruhi - Ramification group

Taklif qilingan Baholashning ramifikatsiya nazariyasi bo'lishi birlashtirildi ushbu maqolada. (Muhokama qiling) 2020 yil martidan beri taklif qilingan.

Yilda sonlar nazariyasi, aniqrog'i mahalliy sinf maydon nazariyasi, shov-shuv guruhlari a filtrlash ning Galois guruhi a mahalliy dala haqida batafsil ma'lumot beradigan kengaytma tarqalish kengayish hodisalari.

Pastroq raqamlashdagi ramifikatsiya guruhlari

Ramifikatsiya guruhlari Galois guruhining takomillashtirilishi ${ displaystyle G}$ cheklangan ${ displaystyle L / K}$ Galois kengaytmasi ning mahalliy dalalar. Biz yozamiz ${ displaystyle w, { mathcal {O}} _ {L}, { mathfrak {p}}}$ qiymat uchun butun sonlarning halqasi va uning uchun maksimal ideal ${ displaystyle L}$. Natijada Gensel lemmasi, yozish mumkin ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {L} = { mathcal {O}} _ {K} [ alfa]}$ kimdir uchun ${ displaystyle alpha in L}$ qayerda ${ displaystyle O_ {K}}$ ning butun sonlari halqasi ${ displaystyle K}$.^[1] (Bu kuchliroq ibtidoiy element teoremasi.) Keyin, har bir butun son uchun ${ displaystyle i geq -1}$, biz aniqlaymiz ${ displaystyle G_ {i}}$ barchaning to'plami bo'lish ${ displaystyle s in G}$ quyidagi teng shartlarni qondiradigan.

• (i) ${ displaystyle s}$ ahamiyatsiz ishlaydi ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {L} / { mathfrak {p}} ^ {i + 1}.}$
• (ii) ${ displaystyle w (s (x) -x) geq i + 1}$ Barcha uchun ${ displaystyle x in { mathcal {O}} _ {L}}$
• (iii) ${ displaystyle w (s ( alpha) - alpha) geq i + 1.}$

Guruh ${ displaystyle G_ {i}}$ deyiladi ${ displaystyle i}$- uchinchi ramifikatsiya guruhi. Ular kamayishni hosil qiladi filtrlash,

${ displaystyle G _ {- 1} = G supset G_ {0} supset G_ {1} supset dots {* }.}$

Aslida ${ displaystyle G_ {i}}$ (i) va bilan normaldir ahamiyatsiz etarli darajada katta ${ displaystyle i}$ tomonidan (iii). Eng past ko'rsatkichlar uchun qo'ng'iroq qilish odatiy holdir ${ displaystyle G_ {0}}$ The inertsiya kichik guruhi ning ${ displaystyle G}$ bilan bog'liqligi sababli asosiy ideallarning bo'linishi, esa ${ displaystyle G_ {1}}$ The yovvoyi inertsiya kichik guruhi ning ${ displaystyle G}$. Miqdor ${ displaystyle G_ {0} / G_ {1}}$ uyg'unlashtiruvchi deyiladi.

Galois guruhi ${ displaystyle G}$ va uning kichik guruhlari ${ displaystyle G_ {i}}$ yuqoridagi filtratsiya yoki aniqrog'i tegishli takliflarni qo'llash orqali o'rganiladi. Jumladan,

• ${ displaystyle G / G_ {0} = operatorname {Gal} (l / k),}$ qayerda ${ displaystyle l, k}$ ning (cheklangan) qoldiq maydonlari ${ displaystyle L, K}$.^[2]
• ${ displaystyle G_ {0} = 1 Leftrightarrow L / K}$ bu rasmiylashtirilmagan.
• ${ displaystyle G_ {1} = 1 Leftrightarrow L / K}$ bu butunlay ramified (ya'ni qoldiq xarakteristikasi uchun tarqalish ko'rsatkichi asosiy hisoblanadi.)

Rambifikatsiya guruhlarini o'rganish, mavjud bo'lganidan beri butunlay tarqaladigan holatga kamayadi ${ displaystyle G_ {i} = (G_ {0}) _ {i}}$ uchun ${ displaystyle i geq 0}$.

Ulardan biri funktsiyani belgilaydi ${ displaystyle i_ {G} (s) = w (s ( alfa) - alfa), s in G}$. (ii) yuqoridagi ko'rsatmalarda ${ displaystyle i_ {G}}$ tanlovidan mustaqil ${ displaystyle alpha}$ va bundan tashqari, filtrlashni o'rganish ${ displaystyle G_ {i}}$ mohiyatiga teng ${ displaystyle i_ {G}}$.^[3] ${ displaystyle i_ {G}}$ quyidagilarni qondiradi: uchun ${ displaystyle s, t in G}$,

• ${ displaystyle i_ {G} (s) geq i + 1 Leftrightrow s G_ {i} da}.}$
• ${ displaystyle i_ {G} (tst ^ {- 1}) = i_ {G} (s).}$
• ${ displaystyle i_ {G} (st) geq min {i_ {G} (s), i_ {G} (t) }.}$

Formalashtirgichni tuzating ${ displaystyle pi}$ ning ${ displaystyle L}$. Keyin ${ displaystyle s mapsto s ( pi) / pi}$ in'ektsiyani keltirib chiqaradi ${ displaystyle G_ {i} / G_ {i + 1} to U_ {L, i} / U_ {L, i + 1}, i geq 0}$ qayerda ${ displaystyle U_ {L, 0} = { mathcal {O}} _ {L} ^ { times}, U_ {L, i} = 1 + { mathfrak {p}} ^ {i}}$. (Xarita aslida birlashtiruvchi tanloviga bog'liq emas.^[4]) Bundan kelib chiqadiki^[5]

• ${ displaystyle G_ {0} / G_ {1}}$ buyurtmaning tsikli boshlangichga teng ${ displaystyle p}$
• ${ displaystyle G_ {i} / G_ {i + 1}}$ tartibli tsiklik guruhlar mahsulidir ${ displaystyle p}$.

Jumladan, ${ displaystyle G_ {1}}$ a p-grup va ${ displaystyle G_ {0}}$ bu hal etiladigan.

Hisoblash uchun ramifikatsiya guruhlaridan foydalanish mumkin boshqacha ${ displaystyle { mathfrak {D}} _ {L / K}}$ kengaytmaning ${ displaystyle L / K}$ va kichik kengaytmalar:^[6]

${ displaystyle w ({ mathfrak {D}} _ {L / K}) = sum _ {s neq 1} i_ {G} (s) = sum _ {i = 0} ^ { infty} (| G_ {i} | -1).}$

Agar ${ displaystyle H}$ ning oddiy kichik guruhi ${ displaystyle G}$, keyin, uchun ${ displaystyle sigma in G}$, ${ displaystyle i_ {G / H} ( sigma) = {1 over e_ {L / K}} sum _ {s mapsto sigma} i_ {G} (s)}$.^[7]

Buni yuqoridagilar bilan birlashtirib quyidagilar olinadi: pastki kengaytma uchun ${ displaystyle F / K}$ ga mos keladi ${ displaystyle H}$,

${ displaystyle v_ {F} ({ mathfrak {D}} _ {F / K}) = {1 over e_ {L / F}} sum _ {s not in H} i_ {G} ( s).}$

Agar ${ displaystyle s in G_ {i}, t in G_ {j}, i, j geq 1}$, keyin ${ displaystyle sts ^ {- 1} t ^ {- 1} in G_ {i + j + 1}}$.^[8] Ning terminologiyasida Lazard, bu degani, deb tushunish mumkin Yolg'on algebra ${ displaystyle operator nomi {gr} (G_ {1}) = sum _ {i geq 1} G_ {i} / G_ {i + 1}}$ abeliya.

Misol: siklotomik kengayish

A uchun tarqalish guruhlari siklotomik kengayish ${ displaystyle K_ {n}: = mathbf {Q} _ {p} ( zeta) / mathbf {Q} _ {p}}$, qayerda ${ displaystyle zeta}$ a ${ displaystyle p ^ {n}}$- ibtidoiy birlikning ildizi, aniq ta'riflanishi mumkin:^[9]

${ displaystyle G_ {s} = Gal (K_ {n} / K_ {e}),}$

qayerda e shunday tanlangan ${ displaystyle p ^ {e-1} leq s$

.

Misol: kvartik kengaytma

Ning kengaytmasi bo'lsin Q₂ tomonidan yaratilgan ${ displaystyle x_ {1} = { sqrt {2 + { sqrt {2}} }}}$. X ning konjugatlari₁ x₂=${ displaystyle x_ {2} = { sqrt {2 - { sqrt {2}} }},}$ x₃ = −x₁, x₄ = −x₂.

Kichkina hisoblash shuni ko'rsatadiki, ulardan ikkitasining miqdori a birlik. Shuning uchun ularning barchasi bir xil idealni yaratadilar; qo'ng'iroq qiling π. ${ displaystyle { sqrt {2}}}$ hosil qiladi π²; (2)=π⁴.

Endi x₁ − x₃ = 2x₁, qaysi ichida π⁵.

va ${ displaystyle x_ {1} -x_ {2} = { sqrt {4-2 { sqrt {2}} , ,}},}$ qaysi ichida π³.

Galois guruhi K bu ${ displaystyle C_ {4}}$, tartib davriyligi 4. Shuningdek:

${ displaystyle G_ {0} = G_ {1} = G_ {2} = C_ {4}.}$

va ${ displaystyle G_ {3} = G_ {4} = (13) (24).}$

${ displaystyle w ({ mathfrak {D}} _ {K / Q_ {2}}) = 3 + 3 + 3 + 1 + 1 = 11,}$ shuning uchun boshqacha ${ displaystyle { mathfrak {D}} _ {K / Q_ {2}} = pi ^ {11}}$

x₁ qondiradi x⁴ − 4x² 2048 = 2 diskriminantiga ega bo'lgan + 2¹¹.

Yuqori raqamlashdagi ramifikatsiya guruhlari

Agar ${ displaystyle u}$ haqiqiy raqam ${ displaystyle geq -1}$, ruxsat bering ${ displaystyle G_ {u}}$ belgilash ${ displaystyle G_ {i}}$ qayerda men eng kichik tamsayı ${ displaystyle geq u}$. Boshqa so'zlar bilan aytganda, ${ displaystyle s in G_ {u} Leftrightarrow i_ {G} (s) geq u + 1.}$ Aniqlang ${ displaystyle phi}$ tomonidan^[10]

${ displaystyle phi (u) = int _ {0} ^ {u} {dt over (G_ {0}: G_ {t})}}$

qaerda, shartnoma bo'yicha, ${ displaystyle (G_ {0}: G_ {t})}$ ga teng ${ displaystyle (G _ {- 1}: G_ {0}) ^ {- 1}}$ agar ${ displaystyle t = -1}$ va ga teng ${ displaystyle 1}$ uchun ${ displaystyle -1$.^[11] Keyin ${ displaystyle phi (u) = u}$ uchun ${ displaystyle -1 leq u leq 0}$. Bu darhol ${ displaystyle phi}$ doimiy va qat'iy ravishda ko'payib boradi va shu bilan doimiy teskari funktsiyaga ega ${ displaystyle psi}$ bo'yicha belgilangan ${ displaystyle [-1, infty)}$. Aniqlang${ displaystyle G ^ {v} = G _ { psi (v)}}$.${ displaystyle G ^ {v}}$ keyin deyiladi v- uchinchi ramifikatsiya guruhi yuqori raqamlashda. Boshqa so'zlar bilan aytganda, ${ displaystyle G ^ { phi (u)} = G_ {u}}$. Eslatma ${ displaystyle G ^ {- 1} = G, G ^ {0} = G_ {0}}$. Yuqori raqamlash kvotalarga o'tish uchun mos keladigan tarzda aniqlanadi:^[12] agar ${ displaystyle H}$ normaldir ${ displaystyle G}$, keyin

${ displaystyle (G / H) ^ {v} = G ^ {v} H / H}$ Barcha uchun ${ displaystyle v}$

(pastki raqamlash kichik guruhlarga o'tish bilan mos keladi.)

Herbrand teoremasi

Herbrand teoremasi pastki raqamlashdagi ramifikatsion guruhlar qondirishini bildiradi ${ displaystyle G_ {u} H / H = (G / H) _ {v}}$ (uchun ${ displaystyle v = phi _ {L / F} (u)}$ qayerda ${ displaystyle L / F}$ ga mos keladigan pastki kengaytma ${ displaystyle H}$) va yuqori raqamlashdagi ramifikatsiya guruhlari qondiradi ${ displaystyle G ^ {u} H / H = (G / H) ^ {u}}$.^[13][14] Bu cheksiz Galois kengaytmalari uchun yuqori raqamlashda ramifikatsiya guruhlarini aniqlashga imkon beradi (masalan mutlaq Galois guruhi cheklangan pastki kengaytmalar uchun ramifikatsion guruhlarning teskari tizimidan).

Abeliya kengaytmasi uchun yuqori raqamlash muhim ahamiyatga ega Xasse-Arf teoremasi. Unda aytilganidek ${ displaystyle G}$ abeliya, keyin filtrlashda sakrab chiqadi ${ displaystyle G ^ {v}}$ butun sonlar; ya'ni, ${ displaystyle G_ {i} = G_ {i + 1}}$ har doim ${ displaystyle phi (i)}$ butun son emas.^[15]

Yuqori raqamlash me'yor qoldiqlari guruhini ostidagi birlik guruhlari tomonidan filtrlash bilan mos keladi Artin izomorfizmi. Ning tasviri ${ displaystyle G ^ {n} (L / K)}$ izomorfizm ostida

${ displaystyle G (L / K) ^ { mathrm {ab}} leftrightarrow K ^ {*} / N_ {L / K} (L ^ {*})}$

faqat^[16]

${ displaystyle U_ {K} ^ {n} / (U_ {K} ^ {n} cap N_ {L / K} (L ^ {*})) .}$

Shuningdek qarang

• Baholashning ramifikatsiya nazariyasi

Izohlar

Adabiyotlar

• B. Konrad, Matematik 248A. Yuqori darajali guruhlar
• Fruhlich, A.; Teylor, M.J. (1991). Algebraik sonlar nazariyasi. Kembrij ilg'or matematikada o'qiydi. 27. Kembrij universiteti matbuoti. ISBN  0-521-36664-X. Zbl  0744.11001.
• Noykirx, Yurgen (1999). Algebraik sonlar nazariyasi. Grundlehren derhematischen Wissenschaften. 322. Berlin: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-65399-8. JANOB  1697859. Zbl  0956.11021.
• Ser, Jan-Per (1967). "VI. Mahalliy sinf maydon nazariyasi". Yilda Kassellar, J.W.S.; Fruhlich, A. (tahr.). Algebraik sonlar nazariyasi. London Matematik Jamiyati (NATOning Kengaytirilgan O'rganish Instituti) tomonidan Xalqaro Matematik Ittifoqi ko'magida tashkil etilgan o'quv-uslubiy konferentsiya materiallari.. London: Academic Press. 128–161 betlar. Zbl  0153.07403.
• Ser, Jan-Per (1979). Mahalliy dalalar. Matematikadan aspirantura matnlari. 67. Tarjima qilingan Grinberg, Marvin Jey. Berlin, Nyu-York: Springer-Verlag. ISBN  0-387-90424-7. JANOB  0554237. Zbl  0423.12016.
• Snayt, Viktor P. (1994). Galois moduli tuzilishi. Fields instituti monografiyalari. Providence, RI: Amerika matematik jamiyati. ISBN  0-8218-0264-X. Zbl  0830.11042.