Buyurtmani kamaytirish - Reduction of order

Ushbu maqolada a foydalanilgan adabiyotlar ro'yxati, tegishli o'qish yoki tashqi havolalar, ammo uning manbalari noma'lum bo'lib qolmoqda, chunki u etishmayapti satrda keltirilgan. Iltimos yordam bering yaxshilash tomonidan ushbu maqola tanishtirish aniqroq iqtiboslar. (2017 yil iyun) (Ushbu shablon xabarini qanday va qachon olib tashlashni bilib oling)

Buyurtmani kamaytirish ning texnikasi matematika ikkinchi darajali chiziqli echish uchun oddiy differentsial tenglamalar. Bitta echim bo'lganda ishlaydi ${ displaystyle y_ {1} (x)}$ ma'lum va bir soniya chiziqli mustaqil yechim ${ displaystyle y_ {2} (x)}$ kerakli. Usul n-tartibli tenglamalarga ham tegishli. Bu holda ansatz uchun (n-1) - tartibli tenglama hosil bo'ladi ${ displaystyle v}$.

Ikkinchi tartibli chiziqli oddiy differentsial tenglamalar

Misol

Umumiy, bir hil, ikkinchi tartibli chiziqli doimiy koeffitsient oddiy differentsial tenglamani ko'rib chiqing. (ODE)

${ displaystyle ay '' (x) + '(x) + cy (x) = 0, ;}$

qayerda ${ displaystyle a, b, c}$ haqiqiy nolga teng bo'lmagan koeffitsientlar. Ushbu ODE uchun ikkita chiziqli mustaqil echim yordamida to'g'ridan-to'g'ri topish mumkin xarakterli tenglamalar bundan mustasno diskriminant, ${ displaystyle b ^ {2} -4ac}$, yo'qoladi. Ushbu holatda,

${ displaystyle ay '' (x) + by '(x) + { frac {b ^ {2}} {4a}} y (x) = 0, ;}$

faqat bitta echim,

${ displaystyle y_ {1} (x) = e ^ {- { frac {b} {2a}} x},}$

xarakterli tenglamasidan foydalanib topish mumkin.

Tartibni qisqartirish usuli, ma'lum bo'lgan bitta echimimiz yordamida ushbu differentsial tenglamaning ikkinchi chiziqli mustaqil echimini olish uchun ishlatiladi. Ikkinchi echimni topish uchun biz taxmin qilamiz

${ displaystyle y_ {2} (x) = v (x) y_ {1} (x) ;}$

qayerda ${ displaystyle v (x)}$ aniqlanishi kerak bo'lgan noma'lum funktsiya. Beri ${ displaystyle y_ {2} (x)}$ asl ODE-ni qondirishi kerak, biz uni qaytarib olish uchun almashtiramiz

${ displaystyle a chap (v''y_ {1} + 2v'y_ {1} '+ vy_ {1}' ' o'ng) + b chap (v'y_ {1} + vy_ {1}' o‘ngda) + { frac {b ^ {2}} {4a}} vy_ {1} = 0.}$

Ning tenglamalari bo'yicha ushbu tenglamani qayta tuzish ${ displaystyle v (x)}$ biz olamiz

${ displaystyle chap (ay_ {1} o'ng) v '' + chap (2ay_ {1} '+ by_ {1} o'ng) v' + chap (ay_ {1} '' + by_ {1} '+ { frac {b ^ {2}} {4a}} y_ {1} right) v = 0.}$

Biz buni bilganimiz uchun ${ displaystyle y_ {1} (x)}$ bu asl muammoning echimi, oxirgi had koeffitsienti nolga teng. Bundan tashqari, almashtirish ${ displaystyle y_ {1} (x)}$ ikkinchi davrning koeffitsientiga (bu koeffitsient uchun)

${ displaystyle 2a chap (- { frac {b} {2a}} e ^ {- { frac {b} {2a}} x} o'ng) + be ^ {- { frac {b} {2a }} x} = chap (-b + b o'ng) e ^ {- { frac {b} {2a}} x} = 0.}$

Shuning uchun, biz bilan qolamiz

${ displaystyle ay_ {1} v '' = 0. ;}$

Beri ${ displaystyle a}$ nolga teng emas va ${ displaystyle y_ {1} (x)}$ bu eksponent funktsiya (va shuning uchun har doim nolga teng emas), bizda bor

${ displaystyle v '' = 0. ;}$

Bu hosil olish uchun ikki marta birlashtirilishi mumkin

${ displaystyle v (x) = c_ {1} x + c_ {2} ;}$

qayerda ${ displaystyle c_ {1}, c_ {2}}$ integratsiyaning konstantalari. Endi biz ikkinchi echimni quyidagicha yozishimiz mumkin

${ displaystyle y_ {2} (x) = (c_ {1} x + c_ {2}) y_ {1} (x) = c_ {1} xy_ {1} (x) + c_ {2} y_ {1 } (x). ;}$

Ikkinchi davrdan boshlab ${ displaystyle y_ {2} (x)}$ bu birinchi echimning skaler ko'paytmasi (va shu bilan chiziqli bog'liq), biz ushbu atamani tashlab, yakuniy echimini topamiz

${ displaystyle y_ {2} (x) = xy_ {1} (x) = xe ^ {- { frac {b} {2a}} x}.}$

Va nihoyat, biz ikkinchi echim ekanligini isbotlashimiz mumkin ${ displaystyle y_ {2} (x)}$ ushbu usul orqali topilgan, hisoblash yo'li bilan birinchi echimdan chiziqli ravishda mustaqil Vronskiy

${ displaystyle W (y_ {1}, y_ {2}) (x) = { begin {vmatrix} y_ {1} & xy_ {1} y_ {1} '& y_ {1} + xy_ {1}' end {vmatrix}} = y_ {1} (y_ {1} + xy_ {1} ') - xy_ {1} y_ {1}' = y_ {1} ^ {2} + xy_ {1} y_ {1 } '- xy_ {1} y_ {1}' = y_ {1} ^ {2} = e ^ {- { frac {b} {a}} x} neq 0.}$

Shunday qilib ${ displaystyle y_ {2} (x)}$ biz izlayotgan ikkinchi chiziqli mustaqil echim.

Umumiy usul

Umumiy bir hil bo'lmagan chiziqli differentsial tenglama berilgan

${ displaystyle y '' + p (t) y '+ q (t) y = r (t) ,}$

va bitta echim ${ displaystyle y_ {1} (t)}$ bir hil tenglamaning [${ displaystyle r (t) = 0}$], keling, bir hil bo'lmagan tenglamaning quyidagi shaklda echimini ko'raylik:

${ displaystyle y_ {2} = v (t) y_ {1} (t) ,}$

qayerda ${ displaystyle v (t)}$ ixtiyoriy funktsiya. Shunday qilib

${ displaystyle y_ {2} '= v' (t) y_ {1} (t) + v (t) y_ {1} '(t) ,}$

va

${ displaystyle y_ {2} '' = v '' (t) y_ {1} (t) + 2v '(t) y_ {1}' (t) + v (t) y_ {1} '' (t) ). ,}$

Agar ular almashtirilsa ${ displaystyle y}$, ${ displaystyle y '}$va ${ displaystyle y ''}$ differentsial tenglamada, keyin

${ displaystyle y_ {1} (t) , v '' + (2y_ {1} '(t) + p (t) y_ {1} (t)) , v' + (y_ {1} '' (t) + p (t) y_ {1} '(t) + q (t) y_ {1} (t)) , v = r (t).}$

Beri ${ displaystyle y_ {1} (t)}$ asl bir hil differentsial tenglamaning echimi, ${ displaystyle y_ {1} '' (t) + p (t) y_ {1} '(t) + q (t) y_ {1} (t) = 0}$, shuning uchun biz kamaytirishimiz mumkin

${ displaystyle y_ {1} (t) , v '' + (2y_ {1} '(t) + p (t) y_ {1} (t)) , v' = r (t)}$

uchun birinchi darajali differentsial tenglama ${ displaystyle v '(t)}$ (buyurtmani qisqartirish). Ajratish ${ displaystyle y_ {1} (t)}$, olish

${ displaystyle v '' + chap ({ frac {2y_ {1} '(t)} {y_ {1} (t)}} + p (t) right) , v' = { frac { r (t)} {y_ {1} (t)}}}$.

The birlashtiruvchi omil bu ${ displaystyle mu (t) = e ^ { int ({ frac {2y_ {1} '(t)} {y_ {1} (t)}} + p (t)) dt} = y_ {1 } ^ {2} (t) e ^ { int p (t) dt}}$.

Differentsial tenglamani integrallovchi koeffitsient bilan ko'paytirish ${ displaystyle mu (t)}$, uchun tenglama ${ displaystyle v (t)}$ ga kamaytirilishi mumkin

${ displaystyle { frac {d} {dt}} (v '(t) y_ {1} ^ {2} (t) e ^ { int p (t) dt}) = y_ {1} (t) r (t) e ^ { int p (t) dt}}$.

Oxirgi tenglamani birlashtirgandan so'ng, ${ displaystyle v '(t)}$ topilishda bitta doimiy integral mavjud. Keyin, integratsiya qiling ${ displaystyle v '(t)}$ kerak bo'lganidek integralning ikkita konstantasini namoyish etib, asl bir hil bo'lmagan ikkinchi darajali tenglamaning to'liq echimini topish:

${ displaystyle y_ {2} (t) = v (t) y_ {1} (t) ,}$.

Shuningdek qarang

• Parametrlarning o'zgarishi

Adabiyotlar

• W. E. Boyce va R. C. DiPrima, Boshlang'ich differentsial tenglamalar va chegara masalalari (8-nashr), John Wiley & Sons, Inc., 2005 yil. ISBN  0-471-43338-1.
• Teschl, Jerald (2012). Oddiy differentsial tenglamalar va dinamik tizimlar. Dalil: Amerika matematik jamiyati. ISBN  978-0-8218-8328-0.
• Erik Vaytshteyn, Ikkinchi tartibli oddiy differentsial tenglama Ikkinchi yechim, MathWorld-dan - Wolfram veb-resursi.