Regulyatsiya qilingan funktsiya - Regulated function

Yilda matematika, a tartibga solinadigan funktsiya, yoki boshqariladigan funktsiya, bu yaxshi xulq-atvorning ma'lum bir turi funktsiya bitta haqiqiy o'zgaruvchan. Tartibga solingan funktsiyalar sinf sifatida paydo bo'ladi integral funktsiyalar va bir nechta teng xususiyatlarga ega. Tomonidan tartibga solinadigan funktsiyalar kiritildi Nikolas Burbaki 1949 yilda ularning "Livre IV: Fonctions d'une variable réelle" kitobida.

Ta'rif

Ruxsat bering X bo'lishi a Banach maydoni norma bilan || - ||_X. Funktsiya f : [0, T] → X deb aytiladi a tartibga solinadigan funktsiya agar quyidagi ikkita ekvivalent shartlardan biri (va shuning uchun ikkalasi) to'g'ri bo'lsa:^[1]

har bir kishi uchun t ichida oraliq [0, T], ikkalasi ham chap va o'ng chegaralar f(t-) va f(t+) mavjud X (bundan tashqari, aniq, f(0−) va f(T+));
mavjud a ketma-ketlik ning qadam funktsiyalari φ_n : [0, T] → X bir xilda yaqinlashmoqda ga f (ya'ni. ga nisbatan supremum normasi || - ||_∞).

Ushbu ikki shartning teng ekanligini ko'rsatish uchun ozgina mehnat talab etiladi. Ammo, ikkinchi shart quyidagi ekvivalent usullar bilan qayta bayon etilishini ko'rish osonroq:

har bir kishi uchun δ > 0, ba'zi bir qadam funktsiyasi mavjud φ_δ : [0, T] → X shu kabi

{ displaystyle | f- varphi _ { delta} | _ { infty} = sup _ {t in [0, T]} | f (t) - varphi _ { delta} ( t) | _ {X} < delta;}

f yotadi yopilish kosmik qadam ([0, T]; X) [0, dan boshlab barcha qadam funktsiyalarining, T] ichiga X (B fazasidagi supremum normasiga nisbatan yopilish ([0, T]; X) barcha chegaralangan funktsiyalarning [0, T] ichiga X).

Tartibga solinadigan funktsiyalarning xususiyatlari

Regga ruxsat bering ([0,T]; X) ni belgilang o'rnatilgan barcha tartibga solinadigan funktsiyalar f : [0, T] → X.

Tartibga solinadigan funktsiyalarning yig'indisi va skalar ko'paytmasi yana tartibga solinadigan funktsiyalardir. Boshqacha qilib aytganda, Reg ([0,T]; X) a vektor maydoni shu bilan maydon K makon sifatida X; odatda, K bo'ladi haqiqiy yoki murakkab sonlar. Agar X ko'paytirish operatsiyasi bilan jihozlangan, keyin regulyatsiya qilingan funktsiyalar mahsuloti yana regulyatsiya qilingan funktsiyalardir. Boshqacha qilib aytganda, agar X a K-algebra, keyin Reg ([0,T]; X).
Supremum normasi - a norma Reg ([0,T]; X) va Reg ([0,T]; X) a topologik vektor maydoni supremum normasi keltirib chiqaradigan topologiyaga nisbatan.
Yuqorida ta'kidlab o'tilganidek, Reg ([0,T]; X) - B ning yopilishi ([0,T]; X) qadam ([0,T]; X) supremum normasiga nisbatan.
Agar X a Banach maydoni, keyin Reg ([0,T]; X), shuningdek, supremum normasiga nisbatan Banach makoni.
Reg ([0, T]; R) cheksiz o'lchovli realni hosil qiladi Banach algebra: regulyatsiya qilingan funktsiyalarning cheklangan chiziqli birikmalari va mahsulotlari yana tartibga solinadigan funktsiyalardir.
A doimiy funktsiya a da aniqlangan ixcham joy (masalan, [0, T]) avtomatik ravishda bir xilda uzluksiz, har qanday doimiy funktsiya f : [0, T] → X shuningdek tartibga solinadi. Aslida, supremum normasiga nisbatan, makon C⁰([0, T]; X) doimiy funktsiyalar bu a yopiq chiziqli pastki bo'shliq Reg ([0,T]; X).
Agar X a Banach maydoni, keyin bo'shliq BV ([0,T]; X) funktsiyalari chegaralangan o'zgarish shakllantiradi a zich Regning chiziqli subspace ([0,T]; X):

{ displaystyle mathrm {Reg} ([0, T]; X) = { overline { mathrm {BV} ([0, T]; X)}} { mbox {w.r.t. }} | cdot | _ { infty}.}

Agar X bu Banach maydoni, keyin funktsiya f : [0, T] → X tartibga solinadi agar va faqat agar u chegaralangan φ-variatsiya kimdir uchun φ:

{ displaystyle mathrm {Reg} ([0, T]; X) = bigcup _ { varphi} mathrm {BV} _ { varphi} ([0, T]; X).}

Agar X a ajratiladigan Hilbert maydoni, keyin Reg ([0,T]; X) deb nomlanuvchi ixchamlik teoremasini qondiradi Frakovova - Helli tanlovi teoremasi.
To'plami uzilishlar ning tartibga solinadigan funktsiyasi chegaralangan o'zgarish BV - bu hisoblanadigan chunki bunday funktsiyalar uchun faqat sakrash tipidagi uzilishlar mavjud. Buni ko'rish uchun berilgan narsani ta'kidlash kifoya ${ displaystyle epsilon> 0}$ , o'ng va chap chegaralar bir-biridan ko'proq farq qiladigan nuqtalar to'plami ${ displaystyle epsilon}$ cheklangan. Xususan, uzilishlar to'plami mavjud nolni o'lchash, shundan kelib chiqadiki, regulyatsiya qilingan funktsiya aniq belgilangan Riemann integrali.
Izoh: Baire toifasi teoremasi bo'yicha bunday funktsiyani to'xtatish nuqtalari to'plami ${ displaystyle F _ { sigma}}$ yoki ozgina, yoki bo'sh bo'lmagan ichki makonga ega. Bu har doim ham hisoblashga teng kelavermaydi.^[2]

Qadam funktsiyalari aniq belgilangan integral, tabiiy ravishda Reg ([0,T]; X) regulyatsiya qilingan funktsiyaning integralini unga teng ravishda yaqinlashadigan har qanday qadam funktsiyalari ketma-ketligining chegarasi bo'lishini aniqlash orqali. Ushbu kengaytma aniq belgilangan va integralning barcha odatiy xususiyatlarini qondiradi. Xususan, tartibga solinadigan integral
- a chegaralangan chiziqli funktsiya Regdan [[0,T]; X) ga X; demak, bu holda X = R, integral elementning elementidir er-xotin Regga ([0, T]; R);
- bilan rozi Riemann integrali.

Adabiyotlar

^ Dieudonne 1969 yil, §7.6
^ Stackexchange munozarasi

Aumann, Georg (1954), Reelle Funktionen, Die Grundlehren derhematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete, Bd LXVIII (nemis tilida), Berlin: Springer-Verlag, viii + 416-bet. JANOB0061652
Dieudonne, Jan (1969), Zamonaviy tahlil asoslari, Academic Press, xviii + 387 bet JANOB0349288
Frakova, Dana (1991), "Tartibga solinadigan funktsiyalar", Matematika. Bohem., 116 (1): 20–59, ISSN 0862-7959 JANOB1100424
Gordon, Rassel A. (1994), Lebesg, Denjoy, Perron va Xenstokning integrallari, Matematika aspiranturasi, 4, Providence, RI: Amerika Matematik Jamiyati, pp.xii + 395, ISBN 0-8218-3805-9 JANOB1288751
Lang, Serj (1985), Differentsial manifoldlar (Ikkinchi nashr), Nyu-York: Springer-Verlag, ix + 230 bet, ISBN 0-387-96113-5 JANOB772023

Tashqi havolalar

"Qanday qilib ortib boruvchi funktsiyaning uzluksiz nuqtalari to'plami eng ko'p hisoblash mumkinligini ko'rsatadi". Stack Exchange. 2011 yil 23-noyabr.
"Chegaralangan variatsiya funktsiyalari sakrash tipidagi uzilishlarga ega". Stack Exchange. 2013 yil 28-noyabr.
"Qanday qilib lotin bo'lishi mumkin?". Stack Exchange. 2012 yil 22 fevral.

[1] Dieudonne 1969 yil, §7.6

[2] Stackexchange munozarasi

[1]

[2]