Koordinata halqalarida vakillik - Representation on coordinate rings

Matematikada a koordinata halqalarida tasvirlash a guruhning vakili afin navlarining koordinatali halqalarida.

Ruxsat bering X bo'lish afine algebraik xilma-xilligi algebraik yopiq maydon ustida k a harakati bilan xarakterli nolning reduktiv algebraik guruh G.^[1] G keyin koordinata halqasida harakat qiladi ${ displaystyle k [X]}$ ning X kabi chap doimiy vakillik: ${ displaystyle (g cdot f) (x) = f (g ^ {- 1} x)}$ . Bu G ning koordinatali halqasida X.

Eng asosiy holat bu qachon X afinaviy bo'shliq (ya'ni, X ning chekli o'lchovli tasviridir G) va koordinata halqasi polinom halqasidir. Eng muhim holat bu qachon X a nosimmetrik xilma-xillik; ya'ni G tomonidan a sobit nuqtali kichik guruh involution.

Izotipik parchalanish

Ruxsat bering ${ displaystyle k [X] _ {( lambda)}}$ barchasining yig'indisi bo'ling Gning submodullari ${ displaystyle k [X]}$ oddiy modul uchun izomorf bo'lgan ${ displaystyle V ^ { lambda}}$ ; bunga deyiladi ${ displaystyle lambda}$ -izotipik komponent ning ${ displaystyle k [X]}$ . Keyin to'g'ridan-to'g'ri yig'indining parchalanishi mavjud:

{ displaystyle k [X] = bigoplus _ { lambda} k [X] _ {( lambda)}}

bu erda summa hamma oddiy ishlaydi G-modullar ${ displaystyle V ^ { lambda}}$ . Parchalanishning mavjudligi, masalan, ning guruh algebrasi ekanligidan kelib chiqadi G beri yarim oddiy G reduktivdir.

X deyiladi ko'pliksiz (yoki sferik xilma-xillik^[2]) agar har bir kamaytirilmaydigan vakili G koordinatali halqada ko'pi bilan paydo bo'ladi; ya'ni, ${ displaystyle operator nomi {dim} k [X] _ {( lambda)} leq operator nomi {dim} V ^ { lambda}}$ .Masalan, ${ displaystyle G}$ kabi ko'pliksiz ${ displaystyle G times G}$ -modul. Aniqrog'i, yopiq kichik guruh berilgan H ning G, aniqlang

{ displaystyle phi _ { lambda}: V ^ {{ lambda} *} otimes (V ^ { lambda}) ^ {H} to k [G / H] _ {( lambda)}}

sozlash orqali ${ displaystyle phi _ { lambda} ( alfa otimes v) (gH) = langle alpha, g cdot v rangle}$ keyin kengaytirmoq ${ displaystyle phi _ { lambda}}$ chiziqlilik bo'yicha. Ning tasviridagi funktsiyalar ${ displaystyle phi _ { lambda}}$ odatda deyiladi matritsa koeffitsientlari. Keyin to'g'ridan-to'g'ri yig'indisi parchalanishi mavjud ${ displaystyle G times N}$ -modullar (N ning normalizatori H)

{ displaystyle k [G / H] = bigoplus _ { lambda} phi _ { lambda} (V ^ {{ lambda} *} otimes (V ^ { lambda}) ^ {H})}

,

ning algebraik versiyasi bo'lgan Piter-Veyl teoremasi (va aslida analitik versiya darhol natijadir.) Dalil: ruxsat bering V oddiy bo'ling ${ displaystyle G times N}$ ning submodullari ${ displaystyle k [G / H] _ {( lambda)}}$ . Biz taxmin qilishimiz mumkin ${ displaystyle V ^ { lambda} = W}$ . Ruxsat bering ${ displaystyle delta _ {1}}$ ning lineer funktsional bo'lishi V shu kabi ${ displaystyle delta _ {1} (w) = w (1)}$ . Keyin ${ displaystyle w (gH) = phi _ { lambda} ( delta _ {1} otimes w) (gH)}$ .Bu tasvir ${ displaystyle phi _ { lambda}}$ o'z ichiga oladi ${ displaystyle k [G / H] _ {( lambda)}}$ va qarama-qarshi qo'shilish beri davom etmoqda ${ displaystyle phi _ { lambda}}$ ekvivalentdir.

Misollar

Ruxsat bering ${ displaystyle v _ { lambda} in V ^ { lambda}}$ bo'lishi a B- asosiy vektor va X orbitaning yopilishi ${ displaystyle G cdot v _ { lambda}}$ . Bu Vinberg-Popov tomonidan eng katta vaznli vektor navi deb atalgan afin turidir. Bu ko'pliksiz.