Cheksizlikdagi qoldiq - Residue at infinity

Yilda kompleks tahlil, matematikaning bir bo'lagi abadiy qoldiq a qoldiq a holomorfik funktsiya bo'yicha halqa cheksiz tashqi radiusga ega. The cheksizlik ${ displaystyle infty}$ mahalliy makonga qo'shilgan nuqta ${ displaystyle mathbb {C}}$ uni ko'rsatish uchun ixcham (bu holda u a bir nuqtali kompaktlashtirish ). Bu bo'shliq qayd etilgan ${ displaystyle { hat { mathbb {C}}}}$ bu izomorfik uchun Riman shar.^[1] Ba'zilarini hisoblash uchun qoldiqni abadiylikda ishlatish mumkin integrallar.

Ta'rif

Holomorfik funktsiya berilgan f bo'yicha halqa ${ displaystyle A (0, R, infty)}$ (markazi 0, ichki radiusi bilan) ${ displaystyle R}$ va cheksiz tashqi radius), the abadiy qoldiq funktsiyasi f odatdagidek belgilanishi mumkin qoldiq quyidagicha:

${ displaystyle operator nomi {Res} (f, infty) = - operator nomi {Res} chap ({1 over z ^ {2}} f chap ({1 over z} right), 0 o'ngda)}$

Shunday qilib, o'qishni o'tkazish mumkin ${ displaystyle f (z)}$ ni o'rganish uchun cheksiz ${ displaystyle f (1 / z)}$ kelib chiqishi paytida.

Yozib oling ${ displaystyle forall r> R}$, bizda ... bor

${ displaystyle operatorname {Res} (f, infty) = {- 1 over 2 pi i} int _ {C (0, r)} f (z) , dz}$

Motivatsiya

Avval qoldiq ta'rifi haqida taxmin qilish mumkin f (z) abadiylikda faqat uning qoldig'i bo'lishi kerak f (1 / z) da z = 0. Biroq, buning o'rniga biz ko'rib chiqadigan sabab -f (1 / z) / z² qoldiqlarni olib ketmaslikdir funktsiyalari, lekin differentsial shakllar, ya'ni qoldiq f (z) dz cheksizligida bu qoldiq f (1 / z) d (1 / z) = - f (1 / z) dz / z² da z = 0.

Shuningdek qarang

• Riman shar
• Algebraik xilma-xillik
• Qoldiq teoremasi

Adabiyotlar

• Murray R. Spiegel, O'zgaruvchan komplekslar, Schaum, ISBN  2-7042-0020-3
• Anri Kardan, Théorie élémentaire des fonctions analytiques d'une ou plusieurs o'zgaruvchan komplekslar, Hermann, 1961 yil
• Mark J. Ablowits va Athanassios S. Fokas, Murakkab o'zgaruvchilar: Kirish va qo'llanmalar (Ikkinchi nashr), 2003, ISBN  978-0-521-53429-1, P211-212.