Rieszs lemma - Rieszs lemma

Rizem lemmasi (keyin Frigyes Riesz ) a lemma yilda funktsional tahlil. Bu kafolat beruvchi shartlarni (ko'pincha tekshirish oson) aniqlaydi subspace a normalangan vektor maydoni bu zich. Lemma shuningdek Rizem lemmasi yoki Riesz tengsizligi. Ichki mahsulot makonida bo'lmaganida uni ortogonallikning o'rnini bosuvchi sifatida ko'rish mumkin.

Natija

Rizzning Lemmasi. Ruxsat bering X odatiy joy bo'ling, Y ning yopiq tegishli subspace bo'lishi X va a haqiqiy son bilan 0 Keyin mavjud x yilda X bilan |x| = 1 shunday |x − y| ≥ a hamma uchun y yilda Y.[1]

Izoh 1. Sonli o'lchovli holat uchun tenglikka erishish mumkin. Boshqacha qilib aytganda, mavjud x birlik normasi shunday d(xY) = 1. qachon X sonli, birlik to'pi B ⊂ X ixchamdir. Shuningdek, masofa funktsiyasi d(· , Y) uzluksiz. Shuning uchun uning birligi sharidagi tasvir B da'voni isbotlovchi haqiqiy chiziqning ixcham pastki qismi bo'lishi kerak.

Izoh 2. Bo'sh joy ℓ barcha chegaralangan ketma-ketliklardan lemmaning a = 1 uchun tutilmasligini ko'rsatadi.

Dalilni Kreyzzig kabi funktsional tahlil matnlarida topish mumkin. An Pol Garretning onlayn dalillari mavjud.

Ba'zi oqibatlari

The ixcham operatorlarning spektral xususiyatlari Banach makonida harakat qilish matritsalarga o'xshaydi. Ushbu faktni aniqlashda Rizz lemmasi muhim ahamiyatga ega.

Rizz lemmasi har qanday cheksiz o'lchovli normalangan bo'shliqda birlik vektorlari ketma-ketligini o'z ichiga olganligini kafolatlaydi {xn} bilan 0 a <1. Bu aniqning mavjud emasligini ko'rsatishda foydalidir chora-tadbirlar cheksiz o'lchovli Banach bo'shliqlari. Rizz lemmasi, shuningdek, Banach maydonida identifikator operatori ekanligini ko'rsatadi X ixchamdir va agar bo'lsa X cheklangan o'lchovli.[2]

Cheklangan o'lchovli normalangan bo'shliqlarni tavsiflash uchun ushbu lemmadan ham foydalanish mumkin: agar X normalangan vektor maydoni bo'lsa, u holda X cheklangan o'lchovli bo'ladi va faqat Xdagi yopiq birlik shari ixcham bo'lsa.

Cheklangan o'lchovning xarakteristikasi

Ekanligini isbotlash uchun Rizz lemmasini bevosita qo'llash mumkin birlik to'pi cheksiz o'lchovli normalangan fazoning X hech qachon ixcham: Elementni oling x1 birlik sferasidan. Tanlang xn birlik sohasidan shunday

doimiy 0 a <1, qaerda Yn−1 ning chiziqli oralig'ix1 ... xn−1} va .

Aniq {xn} tarkibida konvergent ketma-ketlik mavjud emas va birlik sharining kompaktligi quyidagicha bo'ladi.

Umuman olganda, agar a topologik vektor maydoni X bu mahalliy ixcham, keyin u cheklangan o'lchovlidir. Buning aksi ham to'g'ri. Ya'ni, agar topologik vektor maydoni cheklangan o'lchovli bo'lsa, u mahalliy darajada ixchamdir[3]. Shuning uchun mahalliy ixchamlik cheklangan o'lchovliligini tavsiflaydi. Ushbu klassik natija ham Rizzga tegishli. Qisqa dalilni quyidagicha chizish mumkin: ruxsat bering C 0 of bo'lgan ixcham mahalla bo'ling X. Ixchamlik bor v1, ..., vnC shu kabi

Biz cheklangan o'lchovli pastki bo'shliqni da'vo qilamiz Y tomonidan yozilgan {vmen} zich joylashgan X, yoki unga teng ravishda, uning yopilishi X. Beri X ning skalar ko'paytmalarining birlashishi C, buni ko'rsatish kifoya CY. Endi, induksiya bo'yicha,

har bir kishi uchun m. Ammo ixcham to'plamlar chegaralangan, shuning uchun C yopilishida yotadi Y. Bu natijani isbotlaydi. Hahn-Banach teoremasiga asoslangan boshqa dalillarni ko'ring [4].

Shuningdek qarang

Adabiyotlar

  1. ^ Reyn, Bryan P.; Youngson, Martin A. (2008). Lineer funktsional tahlil (2-nashr). London: Springer. p. 47. ISBN  978-1848000049.
  2. ^ Kreytsig (1978), Teorema 2.5-3, 2.5-5)
  3. ^ https://terrytao.wordpress.com/2011/05/24/locally-compact-topological-vector-spaces/
  4. ^ https://www.emis.de/journals/PM/51f2/pm51f205.pdf/
  • Kreyzig, Ervin (1978), Ilovalar bilan kirish funktsional tahlil, John Wiley & Sons, ISBN  0-471-50731-8