Ruzsa uchburchagi tengsizligi - Ruzsa triangle inequality

Yilda qo'shimchalar kombinatorikasi, Ruzsa uchburchagi tengsizligi, deb ham tanilgan Ruzsa farqi uchburchagi tengsizligi uni ba'zi bir variantlaridan farqlash uchun, ikkala to'plamning farq miqdorini ikkala farqning o'lchamlari bo'yicha uchinchi to'plam bilan chegaralaydi. Bu tomonidan isbotlangan Imre Ruzsa (1996),^[1] ga o'xshashligi uchun shunday nomlangan uchburchak tengsizligi. Bu isbotlashda muhim lemma Plyunnke-Ruzsa tengsizligi.

Bayonot

Agar ${ displaystyle A}$ va ${ displaystyle B}$ ning kichik to'plamlari abeliy guruhi, keyin sumset yozuv ${ displaystyle A + B}$ belgilash uchun ishlatiladi ${ displaystyle {a + b: a in A, b in B }}$. Xuddi shunday, ${ displaystyle A-B}$ bildiradi ${ displaystyle {a-b: a in A, b in B }}$. Keyin, Ruzsa uchburchagi tengsizligi quyidagilarni bildiradi.

Muqobil formulalar tarkibiga tushunchasi kiradi Ruzsa masofasi.^[2]

Ta'rif. Agar ${ displaystyle A}$ va ${ displaystyle B}$ abeliya guruhining cheklangan kichik to'plamlari, keyin Ruzsa masofasi ushbu ikki to'plam o'rtasida belgilanadi ${ displaystyle d (A, B)}$, deb belgilanadi

${ displaystyle d (A, B) = log { frac {| A-B |} { sqrt {| A || B |}}}.}$

Keyinchalik, Ruzsa uchburchagi tengsizligi quyidagi ekvivalent formulaga ega:

Ushbu formulalar a uchun uchburchak tengsizligiga o'xshaydi metrik bo'shliq; ammo, Ruzsa masofasi metrik bo'shliqni aniqlamaydi ${ displaystyle d (A, A)}$ har doim ham nolga teng emas.

Isbot

Gapni isbotlash uchun to'plamdan in'ektsiya qurish kifoya ${ displaystyle A times (B-C)}$ to'plamga ${ displaystyle (A-B) times (A-C)}$. Funktsiyani aniqlang ${ displaystyle phi}$ quyidagicha. Har biriga ${ displaystyle x in B-C}$ tanlang a ${ displaystyle b (x) in B}$ va a ${ displaystyle c (x) in C}$ shu kabi ${ displaystyle x = b (x) -c (x)}$. Ta'rifi bo'yicha ${ displaystyle B-C}$, buni har doim qilish mumkin. Ruxsat bering ${ displaystyle phi: A times (B-C) rightarrow (A-B) times (A-C)}$ yuboradigan funktsiya bo'lishi ${ displaystyle (a, x)}$ ga ${ displaystyle (a-b (x), a-c (x))}$. Har bir nuqta uchun ${ displaystyle phi (a, x) = (y, z)}$ to'plamda ${ displaystyle (A-B) times (A-C)}$, shunday bo'lishi kerak ${ displaystyle x = z-y}$ va ${ displaystyle a = y + b (x)}$. Shuning uchun, ${ displaystyle phi}$ har bir nuqtani xaritada aks ettiradi ${ displaystyle A times (B-C)}$ aniq bir nuqtaga ${ displaystyle (A-B) times (A-C)}$ va shu bilan in'ektsiya. Xususan, unda kamida shuncha nuqta bo'lishi kerak ${ displaystyle (A-B) times (A-C)}$ kabi ${ displaystyle A times (B-C)}$. Shuning uchun,

${ displaystyle | A || B-C | = | A marta (B-C) | leq | (A-B) marta (A-C) | = | A-B || A-C |,}$

dalilni to'ldirish.

Ruzsa uchburchagi tengsizligining variantlari

The Ruzsa sum uchburchagi tengsizligi Plyunekke-Ruzsa tengsizligining xulosasi (bu o'z navbatida oddiy Ruzsa uchburchagi tengsizligi yordamida isbotlangan).

Isbot. Dalilda quyidagi lemma ishlatiladi Plunnecke-Ruzsa tengsizligining isboti.

Lemma. Ruxsat bering ${ displaystyle A}$ va ${ displaystyle B}$ abeliya guruhining cheklangan kichik to'plamlari ${ displaystyle G}$. Agar ${ displaystyle X subseteq A}$ qiymatini minimallashtiradigan bo'sh bo'lmagan to'plamdir ${ displaystyle K '= | X + B | / | X |}$, keyin barcha cheklangan pastki to'plamlar uchun ${ displaystyle C subset G,}$

${ displaystyle | X + B + C | leq K '| X + C |.}$

Agar ${ displaystyle A}$ bo'sh to'plam, keyin tengsizlikning chap tomoni bo'ladi ${ displaystyle 0}$, shuning uchun tengsizlik haqiqatdir. Aks holda, ruxsat bering ${ displaystyle X}$ ning pastki qismi bo'lishi ${ displaystyle A}$ bu minimallashtiradi ${ displaystyle K '= | X + B | / | X |}$. Ruxsat bering ${ displaystyle K = | A + B | / | A |}$. Ning ta'rifi ${ displaystyle X}$ shuni anglatadiki ${ displaystyle K ' leq K.}$ Chunki ${ displaystyle X subset A}$, yuqorida keltirilgan lemmani beradi

${ displaystyle | B + C | leq | X + B + C | leq K '| X + C | leq K' | A + C | leq K | A + C | = { frac {| A + B || A + C |} {| A |}}.}$

Qayta tartibga solish Ruzsa yig'indisi uchburchagi tengsizligini beradi.

O'zgartirish bilan ${ displaystyle B}$ va ${ displaystyle C}$ Ruzsa uchburchagi tengsizligida va Ruzsa summasi uchburchagi tengsizligi bilan ${ displaystyle -B}$ va ${ displaystyle -C}$ kerak bo'lganda, umumiyroq natijaga erishish mumkin: Agar ${ displaystyle A}$, ${ displaystyle B}$va ${ displaystyle C}$ u holda abeliya guruhining cheklangan kichik to'plamlari

${ displaystyle | A || B pm C | leq | A pm B || A pm C |,}$

bu erda barcha sakkizta konfiguratsiya belgilari mavjud. Ushbu natijalar ba'zida umumiy sifatida tanilgan Ruzsa uchburchagi tengsizliklari.

Adabiyotlar