S sonli o'lchov - S-finite measure

Bu maqola uchun qo'shimcha iqtiboslar kerak tekshirish. Iltimos yordam bering ushbu maqolani yaxshilang tomonidan ishonchli manbalarga iqtiboslarni qo'shish. Ma'lumot manbasi bo'lmagan materialga qarshi chiqish va olib tashlash mumkin. Manbalarni toping: "S-sonli o'lchov"  – Yangiliklar  · gazetalar  · kitoblar  · olim  · JSTOR (2018 yil yanvar) (Ushbu shablon xabarini qanday va qachon olib tashlashni bilib oling)

Yilda o'lchov nazariyasi, jildlarning umumlashtirilgan tushunchalarini o'rganadigan matematika bo'limi, an cheklangan o'lchov ning maxsus turi o'lchov. S-sonli o'lchov cheklangan o'lchovga qaraganda umumiyroq, ammo cheklangan o'lchovlar uchun ma'lum dalillarni umumlashtirishga imkon beradi.

S-sonli choralar bilan aralashmaslik kerak b-sonli (sigma-sonli) o'lchovlar.

Ta'rif

Ruxsat bering ${displaystyle (X, {mathcal {A}})}$ bo'lishi a o'lchanadigan joy va ${displaystyle mu}$ bu o'lchanadigan bo'shliqdagi o'lchov. O'lchov ${displaystyle mu}$ sonli o'lchov deyiladi, agar uni a shaklida yozish mumkin bo'lsa hisoblanadigan yig'indisi cheklangan choralar ${displaystyle u _ {n}}$ (${displaystyle nin mathbb {N}}$),^[1]

${displaystyle mu = sum _ {n = 1} ^ {infty} u _ {n}.}$

Misol

The Lebesg o'lchovi ${displaystyle lambda}$ s-sonli o'lchovdir. Buning uchun sozlang

${displaystyle B_ {n} = (- n, -n + 1] stakan [n-1, n)}$

va chora-tadbirlarni aniqlang ${displaystyle u _ {n}}$ tomonidan

${displaystyle u _ {n} (A) = lambda (Acap B_ {n})}$

barcha o'lchovli to'plamlar uchun ${displaystyle A}$. Ushbu choralar cheklangan, chunki ${displaystyle u _ {n} (A) leq u _ {n} (B_ {n}) = 2}$ barcha o'lchovli to'plamlar uchun ${displaystyle A}$va qurilish bo'yicha qondirish

${displaystyle lambda = sum _ {n = 1} ^ {infty} u _ {n}.}$

Shuning uchun Lebesg o'lchovi s-sonli hisoblanadi.

Xususiyatlari

Σ-sonli o'lchovlar bilan bog'liqlik

Har bir b-chekli o'lchov s-sonli, ammo har bir s-sonli o'lchov ham b-sonli emas.

Har bir σ-sonli o'lchov s-sonli ekanligini ko'rsatish uchun, bo'lsin ${displaystyle mu}$ sonli bo'ling. Keyin o'lchanadigan disjoint to'plamlari mavjud ${displaystyle B_ {1}, B_ {2}, nuqtalar}$ bilan ${displaystyle mu (B_ {n})$ va

${displaystyle igcup _ {n = 1} ^ {infty} B_ {n} = X}$

Keyin chora-tadbirlar

${displaystyle u _ {n} (cdot): = mu (cdot shapkasi B_ {n})}$

cheklangan va ularning yig'indisi ${displaystyle mu}$. Ushbu yondashuv xuddi yuqoridagi misolga o'xshaydi.

To'plamda sonli bo'lmagan s-sonli o'lchov uchun misol tuzish mumkin ${displaystyle X = {a}}$ bilan b-algebra ${displaystyle {mathcal {A}} = {{a}, emptyset}}$. Barcha uchun ${displaystyle nin mathbb {N}}$, ruxsat bering ${displaystyle u _ {n}}$ bo'lishi hisoblash o'lchovi ushbu o'lchovli maydonda va aniqlang

${displaystyle mu: = sum _ {n = 1} ^ {infty} u _ {n}.}$

O'lchov ${displaystyle mu}$ s-sonli qurilish orqali (chunki hisoblash o'lchovi bitta elementli to'plamda cheklangan). Ammo ${displaystyle mu}$ b-sonli emas, chunki

${displaystyle mu ({a}) = sum _ {n = 1} ^ {infty} u _ {n} ({a}) = sum _ {n = 1} ^ {infty} 1 = infty.}$

Shunday qilib ${displaystyle mu}$ σ-sonli bo'lishi mumkin emas.

Ehtimollar o'lchovlariga tenglik

Har bir s-sonli o'lchov uchun ${displaystyle mu = sum _ {n = 1} ^ {infty} u _ {n}}$, mavjud teng ehtimollik o'lchovi ${displaystyle P}$, demak ${displaystyle mu sim P}$.^[1] Mumkin bo'lgan teng ehtimollik o'lchovi quyidagicha berilgan

${displaystyle P = sum _ {n = 1} ^ {infty} 2 ^ {- n} {frac {u _ {n}} {u _ {n} (X)}}.}$

Adabiyotlar

S-sonli o'lchovlar uchun manbalar

^[1]

^[2]

^[3]

^[4]