Sigma qo'shimchasi - Sigma additivity

Yilda matematika, a ning qo'shimchasi (aniq cheklangan qo'shimchalar) va sigma qo'shimchalari (shuningdek, hisoblanadigan qo'shimchalar deb ham ataladi) funktsiya (ko'pincha a o'lchov ) belgilangan pastki to'plamlar berilgan o'rnatilgan hajmning intuitiv xususiyatlarining mavhumligi (uzunlik, maydon, hajmi ) bir nechta ob'ektlarni ko'rib chiqishda belgilangan summaning. Additivlik b-qo'shimchadan zaifroq holat; ya'ni g-qo'shimchasi qo'shimchani nazarda tutadi.

Qo'shimchalar (yoki cheklangan qo'shimchalar) funktsiyalari

Ruxsat bering ${ displaystyle mu}$ an-da aniqlangan funktsiya bo'lishi to'plamlar algebrasi ${ displaystyle scriptstyle { mathcal {A}}}$ [−∞, + ∞] qiymatlari bilan (ga qarang kengaytirilgan haqiqiy raqam liniyasi ). Funktsiya ${ displaystyle mu}$ qo'shimchalar yoki cheklangan qo'shimchalar, agar har doim bo'lsa deyiladi A va B bor ajratilgan to'plamlar yilda ${ displaystyle scriptstyle { mathcal {A}}}$, bitta bor

${ displaystyle mu (A chashka B) = mu (A) + mu (B). ,}$

(Buning natijasi shundaki, qo'shimcha funktsiya −∞ va + −∞ ni ikkalasini ham qiymat sifatida qabul qila olmaydi, chunki ∞ - the ifodasi aniqlanmagan.) °

Kimdir buni isbotlashi mumkin matematik induksiya qo'shimchalar funktsiyasi qondiradi

${ displaystyle mu left ( bigcup _ {n = 1} ^ {N} A_ {n} right) = sum _ {n = 1} ^ {N} mu (A_ {n})}$

har qanday kishi uchun ${ displaystyle A_ {1}, A_ {2}, nuqtalar, A_ {N}}$ ajratilgan to'plamlar ${ displaystyle scriptstyle { mathcal {A}}}$.

b-qo'shimchalar to'plami funktsiyalari

Aytaylik ${ displaystyle scriptstyle { mathcal {A}}}$ a b-algebra. Agar mavjud bo'lsa ketma-ketlik ${ displaystyle A_ {1}, A_ {2}, nuqta, A_ {n}, nuqta}$ ikkitadan ajratilgan to'plamlar ${ displaystyle scriptstyle { mathcal {A}}}$, bitta bor

${ displaystyle mu left ( bigcup _ {n = 1} ^ { infty} A_ {n} right) = sum _ {n = 1} ^ { infty} mu (A_ {n}) }$,

biz $ m $ sezilarli darajada qo'shimchalar yoki $ phi $ qo'shimchalar deymiz.
Har qanday σ-additiv funktsiyasi qo'shimcha hisoblanadi, lekin aksincha emas, quyida ko'rsatilgan.

b-qo'shimchalar to'plami funktsiyalari

Aytaylik, sigma algebrasidan tashqari ${ displaystyle scriptstyle { mathcal {A}}}$, bizda topologiya τ. Agar mavjud bo'lsa yo'naltirilgan o'lchovli oila ochiq to'plamlar ${ displaystyle scriptstyle { mathcal {G}}}$ ⊆ ${ displaystyle scriptstyle { mathcal {A}}}$ ∩ τ,

${ displaystyle mu left ( bigcup { mathcal {G}} right) = sup _ {G in { mathcal {G}}} mu (G)}$,

biz m ning τ-qo'shimchasi deb aytamiz. Xususan, agar $ m $ bo'lsa ichki muntazam (ixcham to'plamlarga nisbatan), u b-qo'shimchadir.^[1]

Xususiyatlari

Asosiy xususiyatlar

M funktsiyasining foydali xususiyatlari quyidagilarni o'z ichiga oladi:

1. Yoki m (∅) = 0, yoki m o'z domenidagi barcha to'plamlarga ∞ ni tayinlaydi yoki m uning domenidagi barcha to'plamlarga −∞ ni beradi.
2. Agar m manfiy bo'lmagan va A ⊆ B, keyin m (A) ≤ m (B).
3. Agar A ⊆ B va m (B) - m (A) aniqlanadi, keyin m (B \ A) = m (B) - m (A).
4. Berilgan A va B, m (A ∪ B) + m (A ∩ B) = m (A) + m (B).

Misollar

Σ-additiv funktsiyaga misol, ustida aniqlangan m funktsiya quvvat o'rnatilgan ning haqiqiy raqamlar, shu kabi

${ displaystyle mu (A) = { begin {case} 1 & { mbox {if}} 0 in A 0 & { mbox {if}} 0 notin A. end {case}}}$

Agar ${ displaystyle A_ {1}, A_ {2}, nuqta, A_ {n}, nuqta}$ bu haqiqiy sonlarning bo'linmagan to'plamlari ketma-ketligi, shunda hech bir to'plam 0 ga teng emas, yoki ulardan bittasi yo'q. Ikkala holatda ham tenglik

${ displaystyle mu left ( bigcup _ {n = 1} ^ { infty} A_ {n} right) = sum _ {n = 1} ^ { infty} mu (A_ {n}) }$

ushlab turadi.

Qarang o'lchov va imzolangan o'lchov b-additiv funktsiyalarning ko'proq misollari uchun.

B-qo'shimchasi bo'lmagan qo'shimcha funktsiya

B-qo'shimchasi bo'lmagan qo'shimchalar funktsiyasining misoli, Lebesg to'plamlari ustida aniqlangan m ni hisobga olgan holda olinadi. haqiqiy raqamlar formula bo'yicha

${ displaystyle mu (A) = lim _ {k to infty} { frac {1} {k}} cdot lambda left (A cap left (0, k right) right ),}$

qayerda λ belgisini bildiradi Lebesg o'lchovi va lim The Banach limiti.

Limitning lineerligini ishlatib, ushbu funktsiya qo'shimchali ekanligini tekshirish mumkin. Ushbu funktsiya σ-qo'shimchasi emasligi, ajratilgan to'plamlarning ketma-ketligini ko'rib chiqadi

${ displaystyle A_ {n} = chap [n, n + 1 o'ng)}$

uchun n= 0, 1, 2, ... Ushbu to'plamlarning birlashishi ijobiy natijalar, va birlashma uchun qo'llaniladigan m bir bo'lsa, individual to'plamlarning har biriga qo'llaniladigan m nolga teng bo'ladi, shuning uchun m ning yig'indisi (A_n) nolga teng, bu esa qarshi namunani isbotlaydi.

Umumlashtirish

Har qanday qo'shimchadagi qiymatlar bilan qo'shimcha funktsiyalarni aniqlash mumkin monoid (masalan, har qanday guruh yoki odatda a vektor maydoni ). Sigma-additivlik uchun qo'shimcha ravishda kontseptsiya kerak ketma-ketlikning chegarasi ushbu to'plamda aniqlanadi. Masalan, spektral o'lchovlar a qiymatiga ega sigma-additiv funktsiyalardir Banach algebra. Kvant mexanikasidan olingan yana bir misol - bu operator tomonidan baholanadigan ijobiy o'lchov.

Shuningdek qarang

• imzolangan o'lchov
• o'lchov (matematika)
• qo'shimchalar xaritasi
• subadditive funktsiyasi
• b-chekli o'lchov
• Xahn-Kolmogorov teoremasi
• b-qo'shimchalar

Ushbu maqola qo'shimcha moddalarni o'z ichiga oladi PlanetMath, ostida litsenziyalangan Creative Commons Attribution / Share-Alike litsenziyasi.

Adabiyotlar