Oddiy funktsiya - Simple function

In matematik maydoni haqiqiy tahlil, a oddiy funktsiya a haqiqiy (yoki murakkab ) ning kichik to'plami orqali baholangan funktsiya haqiqiy chiziq, a ga o'xshash qadam funktsiyasi. Oddiy funktsiyalar etarlicha "yoqimli" bo'lib, ulardan foydalanish matematik fikrlash, nazariya va isbotlashni osonlashtiradi. Masalan, oddiy funktsiyalar faqat cheklangan sonli qiymatlarga erishadi. Ba'zi mualliflar oddiy funktsiyalarni talab qilishadi o'lchovli; amalda ishlatilgandek, ular doimo o'zgarib turadi.

Oddiy funktsiyaga asosiy misol qavat funktsiyasi faqat {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} qiymatlari bo'lgan yarim ochiq oraliqda [1, 9). Keyinchalik rivojlangan misol Dirichlet funktsiyasi haqiqiy chiziq ustida, agar bu 1 qiymatini oladi x oqilona va aks holda 0. (Shunday qilib, "oddiy funktsiya" ning "sodda" si umumiy ma'noga zid ravishda texnik ma'noga ega.) Hammasi qadam funktsiyalari oddiy.

Nazariyalari rivojlanishining birinchi bosqichi sifatida oddiy funktsiyalardan foydalaniladi integratsiya kabi Lebesg integrali, chunki oddiy funktsiya uchun integratsiyani aniqlash oson, shuningdek oddiy funktsiyalar ketma-ketligi bo'yicha umumiy funktsiyalarni taxmin qilish oson.

Ta'rif

Rasmiy ravishda oddiy funktsiya cheklangan hisoblanadi chiziqli birikma ning ko'rsatkich funktsiyalari ning o'lchovli to'plamlar. Aniqrog'i, (X, Σ) a o'lchanadigan joy. Ruxsat bering A₁, ..., A_n ∈ Σ bo'lishi a ketma-ketlik ajratilgan o'lchovli to'plamlarning to'plami va ruxsat bering a₁, ..., a_n ning ketma-ketligi bo'lishi haqiqiy yoki murakkab sonlar. A oddiy funktsiya funktsiya ${ displaystyle f: X to mathbb {C}}$ shaklning

${ displaystyle f (x) = sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} { mathbf {1}} _ {A_ {k}} (x),}$

qayerda ${ displaystyle { mathbf {1}} _ {A}}$ bo'ladi ko'rsatkich funktsiyasi to'plamning A.

Oddiy funktsiyalarning xususiyatlari

Ikki oddiy funktsiyalarning yig'indisi, farqi va ko'paytmasi yana oddiy funktsiyalar bo'lib, doimiyga ko'paytish oddiy funktsiyani sodda qiladi; Demak, barcha oddiy funktsiyalarning ma'lum bir o'lchanadigan maydonda yig'ilishi a hosil qiladi komutativ algebra ustida ${ displaystyle mathbb {C}}$.

Oddiy funktsiyalarning integratsiyasi

Agar a o'lchov m bo'shliqda aniqlanadi (X, Σ), the ajralmas ning f m ga nisbatan

${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} mu (A_ {k}),}$

agar barcha chaqiriqlar cheklangan bo'lsa.

Lebesgue integratsiyasi bilan bog'liqlik

Har qanday salbiy bo'lmagan o'lchovli funktsiya ${ displaystyle f colon X to mathbb {R} ^ {+}}$ bo'ladi yo'naltirilgan manfiy bo'lmagan oddiy funktsiyalarning monotonik ortib boruvchi ketma-ketligining chegarasi. Haqiqatan ham, ruxsat bering ${ displaystyle f}$ o'lchov oralig'ida aniqlangan salbiy bo'lmagan o'lchovli funktsiya bo'lishi ${ displaystyle (X, Sigma, mu)}$ oldingi kabi. Har biriga ${ displaystyle n in mathbb {N}}$, oralig'ini ajratish ${ displaystyle f}$ ichiga ${ displaystyle 2 ^ {2n} +1}$ intervallar, ${ displaystyle 2 ^ {2n}}$ ularning uzunligi bor ${ displaystyle 2 ^ {- n}}$. Har biriga ${ displaystyle n}$, o'rnatilgan

${ displaystyle I_ {n, k} = chap [{ frac {k-1} {2 ^ {n}}}, { frac {k} {2 ^ {n}}} o'ng)}$ uchun ${ displaystyle k = 1,2, ldots, 2 ^ {2n}}$va ${ displaystyle I_ {n, 2 ^ {2n} +1} = [2 ^ {n}, infty)}$.

(Ruxsat etilganlar uchun buni unutmang ${ displaystyle n}$, to'plamlar ${ displaystyle I_ {n, k}}$ ajratilgan va salbiy bo'lmagan haqiqiy qatorni qamrab oladi.)

Endi o'lchovli to'plamlarni aniqlang

${ displaystyle A_ {n, k} = f ^ {- 1} (I_ {n, k}) ,}$ uchun ${ displaystyle k = 1,2, ldots, 2 ^ {2n} +1}$.

Keyin oddiy funktsiyalarning ketma-ketligi ortib bormoqda

${ displaystyle f_ {n} = sum _ {k = 1} ^ {2 ^ {2n} +1} { frac {k-1} {2 ^ {n}}} { mathbf {1}} _ {A_ {n, k}}}$

ga yo'naltiriladi ${ displaystyle f}$ kabi ${ displaystyle n to infty}$. E'tibor bering, qachon ${ displaystyle f}$ chegaralangan, yaqinlashish bir hil. Bu taxminan ${ displaystyle f}$ oddiy funktsiyalar bo'yicha (ular osonlikcha birlashtirilishi mumkin) integralni aniqlashga imkon beradi ${ displaystyle f}$ o'zi; maqolani ko'ring Lebesgue integratsiyasi batafsil ma'lumot uchun.

Adabiyotlar

• J. F. C. Kingman, S. J. Teylor. O'lchov va ehtimollikka kirish, 1966, Kembrij.
• S. Lang. Haqiqiy va funktsional tahlil, 1993 yil, Springer-Verlag.
• V. Rudin. Haqiqiy va kompleks tahlil, 1987 yil, McGraw-Hill.
• H. L. Royden. Haqiqiy tahlil, 1968, Kollier Makmillan.