Shunchaki bog'langan makon - Simply connected space

Yilda topologiya, a topologik makon deyiladi oddiygina ulangan (yoki 1 ulangan, yoki 1-oddiy ulangan^[1]) agar bo'lsa yo'l bilan bog'langan va ikkita nuqta orasidagi har bir yo'l doimiy ravishda o'zgartirilishi mumkin (ichki bo'shliqlar uchun intuitiv ravishda, bo'shliq ichida qolish), ushbu ikkita so'nggi nuqtani saqlab, boshqa har qanday yo'lga. The asosiy guruh topologik makon - bu bo'shliqning oddiygina ulanmaganligi ko'rsatkichidir: yo'l bilan bog'langan topologik makon, agar uning asosiy guruhi ahamiyatsiz bo'lsa, shunchaki bog'lanadi.

Ta'rif va unga tenglashtirilgan formulalar

Ushbu shakl shunchaki bog'lanmagan to'plamni ifodalaydi, chunki teshiklarning bir yoki bir nechtasini yopadigan har qanday pastadir mintaqadan chiqmasdan turib bir nuqtaga qisqarib bo'lmaydi.

A topologik makon X deyiladi oddiygina ulangan agar u yo'lga ulangan bo'lsa va har qanday pastadir bo'lsa X tomonidan belgilanadi f : S¹ → X shartnoma tuzish mumkin: doimiy xarita mavjud F : D.² → X shu kabi F S bilan cheklangan¹ bu f. Mana, S¹ va D.² belgisini bildiradi birlik doirasi va yopiq birlik disk ichida Evklid samolyoti navbati bilan.

Ekvivalent formulalar bu: X va agar u faqat yo'l bilan bog'langan bo'lsa va shunchaki bog'langan bo'lsa p : [0,1] → X va q : [0,1] → X bir xil boshlang'ich va so'nggi nuqtaga ega bo'lgan ikkita yo'l (ya'ni doimiy kartalar) (p(0) = q(0) va p(1) = q(1)), keyin p doimiy ravishda deformatsiyalanishi mumkin q ikkala so'nggi nuqtani aniq ushlab turganda. Shubhasiz, a mavjud homotopiya ${ displaystyle F: [0,1] times [0,1] rightarrow X}$ shu kabi ${ displaystyle F (x, 0) = p (x)}$ va ${ displaystyle F (x, 1) = q (x)}$ .

Topologik makon X agar shunday bo'lsa va shunchaki bog'langan bo'lsa X yo'l bilan bog'langan va asosiy guruh ning X har bir nuqtada ahamiyatsiz, ya'ni faqat hisobga olish elementi. Xuddi shunday, X faqat barcha nuqtalar uchungina bog'langan ${ displaystyle x, y in X}$ , to'plami morfizmlar ${ displaystyle operatorname {Hom} _ { Pi (X)} (x, y)}$ ichida asosiy guruhoid ning X faqat bitta elementga ega.^[2]

Yilda kompleks tahlil: ochiq ichki qism ${ displaystyle X subseteq mathbb {C}}$ shunchaki ulanadi va agar ikkalasi bo'lsa X va uni to'ldiruvchi Riman shar ulangan. Xayoliy qismi noldan kattaroq va bittadan kichik bo'lgan murakkab sonlar to'plami samolyotning to'ldiruvchisi bog'lanmagan cheksiz, bog'langan, ochiq qismining yaxshi namunasini keltiradi. Shunga qaramay, u shunchaki bog'langan. Shuni ta'kidlash kerakki, bu talabning yumshatilishi X ulangan bo'lishi kengaytirilgan qo'shimcha bilan tekislikning ochiq pastki qismlarini qiziqarli o'rganishga olib keladi. Masalan, (majburiy ravishda bog'lanmagan) ochiq to'plam kengaytirilgan qo'shimchani har bir bog'langan tarkibiy qism shunchaki ulanganda aniq birlashtirgan.

Norasmiy munozara

Norasmiy ravishda, bizning kosmosdagi ob'ekt bir bo'lakdan iborat bo'lsa va u orqali o'tib ketadigan "teshiklari" bo'lmasa, shunchaki bog'langan. Masalan, donut ham, kofe kosasi ham (tutqichli) oddiygina bog'lanmagan, ammo ichi bo'sh rezina shar shunchaki bog'langan. Ikki o'lchamda aylana oddiygina bog'lanmagan, lekin disk va chiziq bog'langan. Bo'shliqlar ulangan lekin shunchaki bog'langan emas deyiladi oddiygina ulanmagan yoki ko'paytirildi.

A soha shunchaki bog'langan, chunki har bir pastadir (sirt ustida) bir nuqtaga qisqarishi mumkin.

Ta'rif faqat istisno qiladi tutqich - shakllangan teshiklar. Sfera (yoki unga teng ravishda, ichi bo'sh bo'lgan kauchuk shar) oddiygina bog'langan, chunki shar sirtidagi har qanday halqa, ichi bo'sh markazda "teshik" bo'lsa ham, bir nuqtaga qisqarishi mumkin. Kuchliroq holat, ob'ektning teshiklari yo'q har qanday o'lchov, deyiladi kontraktivlik.

Misollar

Torus oddiygina bog'langan sirt emas. Bu erda ko'rsatilgan ikkita rangli ilmoqlarning ikkalasi ham sirtdan chiqmasdan turib bir nuqtaga qisqarishi mumkin emas. A qattiq torus Bundan tashqari, shunchaki bog'langan emas, chunki binafsha halqa qattiq jismdan chiqmasdan bir nuqtaga qisila olmaydi.

The Evklid samolyoti R² shunchaki bog'langan, ammo R² minus kelib chiqishi (0,0) emas. Agar n > 2, keyin ikkalasi ham Rⁿ va Rⁿ minus kelib chiqishi shunchaki bog'langan.
Shunga o'xshash: the no'lchovli soha Sⁿ agar shunday bo'lsa va shunchaki bog'langan bo'lsa n ≥ 2.
Har bir konveks pastki to'plami ning Rⁿ shunchaki ulangan.
A torus, (elliptik) silindr, Mobius chizig'i, proektsion tekislik va Klein shishasi shunchaki bog'liq emas.
Har bir topologik vektor maydoni oddiygina bog'langan; Bunga quyidagilar kiradi Banach bo'shliqlari va Xilbert bo'shliqlari.
Uchun n ≥ 2, the maxsus ortogonal guruh SO (n,R) shunchaki bog'langan emas va maxsus unitar guruh SU (n) shunchaki ulangan.
Ning bir nuqtali kompaktifikatsiyasi R shunchaki bog'liq emas (garchi bo'lsa ham R shunchaki bog'langan).
The uzun chiziq L shunchaki bog'langan, ammo uning ixchamlashtirilishi, kengaytirilgan uzun chiziq L* emas (chunki u hatto yo'l bilan bog'lanmagan).

Xususiyatlari

Yuzaki (ikki o'lchovli topologik ko'p qirrali ) shunchaki bog'langan bo'lsa va faqat unga bog'langan bo'lsa tur (soni tutqichlar sirt) 0 ga teng.

Har qanday (mos) makonning universal qoplamasi X bu xaritaga tushadigan oddiy bog'langan bo'shliq X orqali qoplama xaritasi.

Agar X va Y bor homotopiya ekvivalenti va X shunchaki bog'langan, keyin ham shunday Y.

Uzluksiz funktsiya ostida oddiygina bog'langan to'plamning tasvirini oddiygina bog'lash kerak emas. Masalan, eksponensial xarita ostidagi murakkab tekislikni olaylik: rasm shunday C - oddiygina ulanmagan {0}.

Oddiy bog'lanish tushunchasi muhim ahamiyatga ega kompleks tahlil quyidagi faktlar tufayli:

The Koshining integral teoremasi agar shunday bo'lsa U ning oddiy bog'langan ochiq to'plamidir murakkab tekislik Cva f : U → C a holomorfik funktsiya, keyin f bor antivivativ F kuni Uva har birining qiymati chiziqli integral yilda U integrand bilan f faqat so'nggi nuqtalarga bog'liq siz va v yo'lini va quyidagicha hisoblash mumkin F(v) - F(siz). Shunday qilib integral integral yo'lga bog'liq emas siz va v.
The Riemann xaritalash teoremasi har qanday bo'sh bo'lmagan ochiq sodda bog'langan kichik to'plamni bildiradi C (dan tashqari C o'zi) bu mos ravishda teng uchun birlik disk.

Oddiy bog'lanish tushunchasi ham hal qiluvchi shartdir Puankare gipotezasi.

Shuningdek qarang

Asosiy guruh - topologik bo'shliqdagi ilmoqlarning gomotopiya sinflarining matematik guruhi
Deformatsiyani orqaga tortish
n ga ulangan bo'shliq
Yo'lga ulangan
Bir xil bo'lmagan bo'shliq

Adabiyotlar

^ "nLab-dagi n-ulangan bo'sh joy". ncatlab.org. Olingan 2017-09-17.
^ Ronald, Braun (2006 yil iyun). Topologiya va Groupoids. Akademik qidiruv tugallandi. Shimoliy Charleston: CreateSpace. ISBN 1419627228. OCLC 712629429.

Ispaniya, Edvin (1994 yil dekabr). Algebraik topologiya. Springer. ISBN 0-387-94426-5.
Conway, Jon (1986). Bitta kompleks o'zgaruvchining vazifalari I. Springer. ISBN 0-387-90328-3.
Burbaki, Nikolas (2005). Yolg'on guruhlari va Yolg'on algebralari. Springer. ISBN 3-540-43405-4.
Gamelin, Teodor (2001 yil yanvar). Kompleks tahlil. Springer. ISBN 0-387-95069-9.
Joshi, Kapli (1983 yil avgust). Umumiy topologiyaga kirish. Yangi asr noshirlari. ISBN 0-85226-444-5.

[1] "nLab-dagi n-ulangan bo'sh joy". ncatlab.org. Olingan 2017-09-17.

[2] Ronald, Braun (2006 yil iyun). Topologiya va Groupoids. Akademik qidiruv tugallandi. Shimoliy Charleston: CreateSpace. ISBN 1419627228. OCLC 712629429.

[1]

[2]