Koareaning tekis formulasi - Smooth coarea formula

Yilda Riemann geometriyasi, silliq koarea formulalari ba'zi xaritalashlar domenidagi integrallarni ularning kodomanlaridagi integrallar bilan bog'lash.

Ruxsat bering ${displaystyle stsenariysi M ,, N}$ silliq bo'ling Riemann manifoldlari tegishli o'lchovlar ${displaystyle scriptstyle m, geq, n}$. Ruxsat bering ${displaystyle stsenariysi F: M, uzun bo'yli o'q, N}$ silliq bo'ling qarshi chiqish shunday oldinga siljish (differentsial) ning ${displaystyle stsenariysi F}$ deyarli hamma joyda sur'ektivdir. Ruxsat bering ${displaystyle scriptstyle varphi: M, uzun bo'yli o'q, [0, mohir)}$ a o'lchanadigan funktsiya. Keyin quyidagi ikkita tenglik bajariladi:

${displaystyle int _ {xin M} varphi (x), dM = int _ {yin N} int _ {xin F ^ {- 1} (y)} varphi (x) {frac {1} {N! J; F (x)}}, dF ^ {- 1} (y), dN}$

${displaystyle int _ {xin M} varphi (x) N! J; F (x), dM = int _ {yin N} int _ {xin F ^ {- 1} (y)} varphi (x), dF ^ {-1} (y), dN}$

qayerda ${displaystyle ssenariysi N! J; F (x)}$ bo'ladi oddiy Jacobian ning ${displaystyle stsenariysi F}$, ya'ni hosilaning determinanti uning yadrosining ortogonal komplementi bilan cheklangan.

Dan e'tibor bering Sard lemmasi deyarli har bir nuqta ${displaystyle stsenariysi y, in, N}$ ning muntazam nuqtasidir ${displaystyle stsenariysi F}$ va shuning uchun to'plam ${displaystyle skript uslubi F ^ {- 1} (y)}$ Riemann submanifoldidir ${displaystyle stsenariysi M}$, shuning uchun yuqoridagi formulalarning o'ng tomonidagi integrallar mantiqan to'g'ri keladi.

Adabiyotlar

• Chavel, Ishoq (2006) Riemann geometriyasi. Zamonaviy kirish. Ikkinchi nashr.

Bu bog'liq bo'lgan differentsial geometriya maqola a naycha. Siz Vikipediyaga yordam berishingiz mumkin uni kengaytirish.