Maxsus burchak impulsi - Specific angular momentum

Shuningdek qarang: Klassik markaziy kuch muammosi

Yilda samoviy mexanika The o'ziga xos burchak impulsi ${ displaystyle { vec {h}}}$ tahlilida hal qiluvchi rol o'ynaydi ikki tanadagi muammo. Uning ideal sharoitda berilgan orbitaning doimiy vektori ekanligini ko'rsatish mumkin. Bu aslida isbotlaydi Keplerning ikkinchi qonuni.

Bu deyiladi aniq burchak momentum, chunki bu haqiqiy emas burchak momentum ${ displaystyle { vec {L}}}$, lekin massa uchun burchak momentum. Shunday qilib, "aniq "bu atama" ommaviy-o'ziga xos "yoki massaga bo'lingan holda qisqartiriladi:

${ displaystyle { vec {h}} = { frac { vec {L}} {m}}}$

Shunday qilib SI birligi bu: m²·s⁻¹. ${ displaystyle m}$ belgisini bildiradi kamaytirilgan massa ${ displaystyle { frac {1} {m}} = { frac {1} {m_ {1}}} + { frac {1} {m_ {2}}}}$.

Ta'rif

Muayyan nisbiy burchak impulsi quyidagicha aniqlanadi o'zaro faoliyat mahsulot qarindoshning pozitsiya vektori ${ displaystyle { vec {r}}}$ va qarindosh tezlik vektori ${ displaystyle { vec {v}}}$.

${ displaystyle { vec {h}} = { vec {r}} times { vec {v}} = { frac { vec {L}} {m}}}$

The ${ displaystyle { vec {h}}}$ vektor har doim bir lahzaga perpendikulyar tebranish orbital tekislik, bu bir lahzaga to'g'ri keladi bezovta qilingan orbit. Bu ko'p yillik bezovtaliklarni hisobga olgan o'rtacha tekislikka perpendikulyar bo'lishi shart emas.

Odatdagidek fizikada kattalik vektor miqdori ${ displaystyle { vec {h}}}$ bilan belgilanadi ${ displaystyle h}$:

${ displaystyle h = left | { vec {h}} right |}$

Ideal sharoitlarda o'ziga xos nisbiy burchak impulsi doimiy bo'lishining isboti

Old shartlar

Quyidagilar faqat qo'llaniladigan soddalashtirishlar ostida amal qiladi Nyutonning butun olam tortishish qonuni.

Biri ikki nuqta massasiga qaraydi ${ displaystyle m_ {1}}$ va ${ displaystyle m_ {2}}$, masofada ${ displaystyle r}$ bir-biridan va tortishish kuchi bilan ${ displaystyle { vec {F}} = G { frac {m_ {1} m_ {2}} {r ^ {2}}} { frac { vec {r}} {r}}}$ ular orasida harakat qilish. Ushbu kuch har qanday masofada bir zumda harakat qiladi va mavjud bo'lgan yagona kuchdir. Koordinatalar tizimi inersialdir.

Keyinchalik soddalashtirish ${ displaystyle m_ {1} gg m_ {2}}$ Quyidagilar taxmin qilinadi. Shunday qilib ${ displaystyle m_ {1}}$ bo'ladi markaziy tanasi koordinata tizimining kelib chiqishida va ${ displaystyle m_ {2}}$ bo'ladi sun'iy yo'ldosh uning atrofida aylanib chiqmoqda. Endi kamaytirilgan massa ham teng ${ displaystyle m_ {2}}$ va ikki tanali muammoning tenglamasi

${ displaystyle { ddot { vec {r}}} = - { frac { mu} {r ^ {2}}} { frac { vec {r}} {r}}}$

bilan standart tortishish parametri ${ displaystyle mu = Gm_ {1}}$ va masofa vektori ${ displaystyle { vec {r}}}$ (mutlaq qiymat ${ displaystyle r}$) kelib chiqishi (markaziy korpusidan) sun'iy yo'ldoshga, chunki uning ahamiyatsiz massasi.^{[Izohlar 1]}

Gravitatsion parametrni aralashtirib yubormaslik muhimdir ${ displaystyle mu}$ kamaytirilgan massa bilan, bu ba'zan bir xil harf bilan belgilanadi ${ displaystyle mu}$.

Isbot

Masofa vektori ${ displaystyle { vec {r}}}$, tezlik vektori ${ displaystyle { vec {v}}}$, haqiqiy anomaliya ${ displaystyle theta}$ va parvoz yo'lining burchagi ${ displaystyle phi}$ ning ${ displaystyle m_ {2}}$ atrofida orbitada ${ displaystyle m_ {1}}$. Ning eng muhim choralari ellips tasvirlangan (ular orasida, ga e'tibor bering haqiqiy anomaliya ${ displaystyle theta}$ deb etiketlanadi ${ displaystyle nu}$).

Masofa vektori bilan ikki tanali masalani tenglamasini ko'paytirish (o'zaro hosila) orqali o'ziga xos nisbiy burchak impulsini oladi. ${ displaystyle { vec {r}}}$

${ displaystyle { vec {r}} times { ddot { vec {r}}} = - { vec {r}} times { frac { mu} {r ^ {2}}} { frac { vec {r}} {r}} = - { frac { mu} {r ^ {3}}} left ({ vec {r}} times { vec {r}} o'ngda)}$

Vektorning o'zaro kesishgan hosilasi (o'ng tomon) 0. Chap tomon soddalashtiriladi

${ displaystyle { vec {r}} times { ddot { vec {r}}} = { dot { vec {r}}} times { dot { vec {r}}} + { vec {r}} times { ddot { vec {r}}} = { frac { mathrm {d} left ({ vec {r}} times { dot { vec {r} }} o'ng)} { mathrm {d} t}} = 0}$

mahsulotni farqlash qoidasiga muvofiq.

Bu shuni anglatadiki ${ displaystyle { vec {r}} times { dot { vec {r}}}}$ doimiy (ya'ni, a saqlanib qolgan miqdor ). Va bu aniq yo'ldosh massasi uchun burchak momentum:^{[Adabiyotlar 1]}

${ displaystyle { vec {h}} = { vec {r}} times { dot { vec {r}}} { text {const.}}}$

Ushbu vektor orbit tekisligiga perpendikulyar, orbit bu tekislikda qoladi, chunki burchak impulsi doimiydir.

Parvoz yo'lining burchagi ta'riflari bilan ikki tanadagi muammo haqida qo'shimcha ma'lumot olish mumkin ${ displaystyle phi}$ va tezlik vektorining transversal va radiusli komponenti (o'ngdagi rasmga qarang). Keyingi uchta formulalar aniq nisbiy burchak momentum vektorining mutlaq qiymatini hisoblash uchun teng imkoniyatlardir

• ${ displaystyle h = rv cos phi}$
• ${ displaystyle h = r ^ {2} { dot { theta}}}$
• ${ displaystyle h = { sqrt { mu p}}}$

Qaerda ${ displaystyle p}$ deyiladi yarim latus rektum egri chiziq.

Keplerning sayyoralar harakatining qonunlari

Keplerning sayyoralar harakatining qonunlarini deyarli yuqoridagi munosabatlar bilan isbotlash mumkin.

Birinchi qonun

Isbot yana ikki tanadagi muammoning tenglamasidan boshlanadi. Bu safar uni (o'zaro faoliyat mahsulot) o'ziga xos nisbiy burchak impulsi bilan ko'paytiradi

${ displaystyle { ddot { vec {r}}} times { vec {h}} = - { frac { mu} {r ^ {2}}} { frac { vec {r}} {r}} times { vec {h}}}$

Chap tomon hosilaga teng ${ displaystyle { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} t}} chap ({ dot { vec {r}}} times { vec {h}} right)}$ chunki burchak impulsi doimiydir.

Bir necha qadamdan keyin o'ng tomon:

${ displaystyle - { frac { mu} {r ^ {3}}} chap ({ vec {r}} times { vec {h}} right) = - { frac { mu} {r ^ {3}}} chap ( chap ({ vec {r}} cdot { vec {v}} o'ng) { vec {r}} - r ^ {2} { vec { v}} o'ng) = - chap ({ frac { mu} {r ^ {2}}} { nuqta {r}} { vec {r}} - { frac { mu} {r }} { vec {v}} o'ng) = mu { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} t}} chap ({ frac { vec {r}} {r} } o'ng)}$

Ushbu ikkita ifodani teng qilib belgilash va vaqt o'tishi bilan integratsiya (integral doimiysi bilan) olib keladi ${ displaystyle { vec {C}}}$)

${ displaystyle { dot { vec {r}}} times { vec {h}} = mu { frac { vec {r}} {r}} + { vec {C}}}$

Endi bu tenglama ko'paytiriladi (nuqta mahsuloti ) bilan ${ displaystyle { vec {r}}}$ va qayta tashkil etilgan

${ displaystyle { begin {aligned} { vec {r}} cdot left ({ dot { vec {r}}} times { vec {h}} right) & = { vec { r}} cdot chap ( mu { frac { vec {r}} {r}} + { vec {C}} o'ng) Rightarrow {} chap ({ vec {r} } times { dot { vec {r}}} right) cdot { vec {h}} & = mu r + rC cos theta Rightarrow {} h ^ {2} & = mu r + rC cos theta end {hizalanmış}}}$

Nihoyat, birini oladi orbitadagi tenglama ^{[Adabiyotlar 2]}

${ displaystyle r = { frac { frac {h ^ {2}} { mu}} {1 + { frac {C} { mu}} cos theta}}}$

qaysi qutb koordinatalaridagi konus kesimining tenglamasi yarim latus rektum bilan ${ displaystyle p = { frac {h ^ {2}} { mu}}}$ va ekssentriklik ${ displaystyle e = { frac {C} { mu}}}$. Bu Keplerning birinchi qonunini quyidagicha tasdiqlaydi:

Sayyora orbitasi Quyosh bir fokusda joylashgan ellipsdir.

— Yoxannes Kepler, Astronomiya yangi aitiologetos seu Physica coelestis, ^[3-adabiyot]

Ikkinchi qonun

Ikkinchi qonun o'ziga xos nisbiy burchak momentumining mutlaq qiymatini hisoblash uchun uchta tenglamaning ikkinchisidan bir zumda amal qiladi.

Agar kimdir tenglamaning ushbu shaklini birlashtirsa ${ displaystyle mathrm {d} t = { frac {r ^ {2}} {h}} mathrm {d} theta}$ munosabatlar bilan ${ displaystyle mathrm {d} A = { frac {r ^ {2}} {2}} mathrm {d} theta}$ cheksiz kichik burchakka ega sektor maydoni uchun ${ displaystyle mathrm {d} theta}$ (juda kichik tomoni bo'lgan uchburchak), tenglama ^{[Adabiyotlar 4]}

${ displaystyle mathrm {d} t = { frac {2} {h}} mathrm {d} A}$

chiqadi, ya'ni so'zlarning matematik formulasi:

Sayyorani Quyoshga qo'shadigan chiziq teng vaqtni teng maydonlarni silamoqda.

— Yoxannes Kepler, Astronomiya yangi aitiologetos seu Physica coelestis, ^[3-adabiyot]

Uchinchi qonun

Keplerning uchinchisi - bu ikkinchi qonunning bevosita natijasidir. Bitta inqilobni birlashtirish natijasida orbital davr

${ displaystyle T = { frac {2 pi ab} {h}}}$

maydon uchun ${ displaystyle pi ab}$ ellips. Yarim kichik o'qni bilan almashtirish ${ displaystyle b = { sqrt {ap}}}$ va o'ziga xos nisbiy burchak impulsi ${ displaystyle h = { sqrt { mu p}}}$ bitta oladi ^{[Adabiyotlar 4]}

${ displaystyle T = 2 pi { sqrt { frac {a ^ {3}} { mu}}}}$

Shunday qilib, yarim katta o'q va sun'iy yo'ldoshning orbital davri o'rtasida o'zaro bog'liqlik mavjud bo'lib, uni markaziy korpusning doimiy darajasiga etkazish mumkin. Bu qonunning mashhur formulasi bilan bir xil:

Sayyora davrining kvadrati uning Quyoshgacha bo'lgan o'rtacha masofasining kubiga mutanosibdir.

— Yoxannes Kepler, Harmonices Mundi libri V, ^[3-adabiyot]

Shuningdek qarang

• Maxsus orbital energiya, ikki tanadagi muammoning yana bir saqlanadigan miqdori.

Izohlar

Adabiyotlar