Barqaror modul toifasi - Stable module category

Yilda vakillik nazariyasi, barqaror modul toifasi a toifasi unda proektivlar "hisobga olingan".

Ta'rif

Ruxsat bering R bo'lishi a uzuk. Ikki kishi uchun modullar M va N ustida R, aniqlang ${ displaystyle { underline { mathrm {Hom}}} (M, N)}$ to'plami bo'lish R- chiziqli xaritalar dan M ga N degan munosabatni modullash f ~ g agar f − g orqali omillar proektiv modul. Barqaror modul toifasi belgilash orqali aniqlanadi ob'ektlar bo'lish R-modullar va morfizmlar ular ekvivalentlik darslari ${ displaystyle { underline { mathrm {Hom}}} (M, N)}$.

Modul berilgan M, ruxsat bering P a bilan proektiv modul bo'ling qarshi chiqish ${ displaystyle p ikki nuqta P dan M} gacha$. Keyin o'rnating ${ displaystyle Omega (M)}$ bo'lish yadro ning p. Aytaylik, bizga morfizm berilgan ${ displaystyle f yo'g'on ichak M dan Ngacha$ va qarshi chiqish ${ displaystyle q ikki nuqta Q dan N} gacha$ qayerda Q proektivdir. Keyin ko'tarish mumkin f xaritaga ${ displaystyle P to Q}$ qaysi xaritalar ${ displaystyle Omega (M)}$ ichiga ${ displaystyle Omega (N)}$. Bu aniq belgilangan narsani beradi funktsiya ${ displaystyle Omega}$ barqaror modul toifasidan o'ziga.

Kabi ba'zi halqalar uchun Frobenius algebralari, ${ displaystyle Omega}$ bu toifalarning ekvivalentligi. Bunday holda, teskari ${ displaystyle Omega ^ {- 1}}$ quyidagicha ta'riflanishi mumkin. Berilgan M, toping in'ektsion modul Men qo'shilish bilan ${ displaystyle i yo'g'on ichak M dan I ga}$. Keyin ${ displaystyle Omega ^ {- 1} (M)}$ deb belgilanadi kokernel ning men. Qo'ng'iroq qachon alohida qiziqish uyg'otadi R a guruh algebra.

Ω funktsiyasi⁻¹ hattoki umumiy halqaning modul toifasida (proektsiyani ajratmasdan), masalan, kokernel sifatida aniqlanishi mumkin. in'ektsion konvert. Bu holda the funktsiyasi to'g'ri bo'lmasligi kerak⁻¹ aslida Ω ga teskari. Barqaror modul toifasining muhim xususiyatlaridan biri bu umumiy halqalar uchun Ω funktsiyasini aniqlashga imkon beradi. Qachon R bu mukammal (yoki M bu nihoyatda hosil bo'lgan va R bu yarim mukammal ), keyin Ω (M) ni yadrosi sifatida aniqlash mumkin proektsion qopqoq, modul toifasida funktsiyani berish. Ammo, umuman olganda, proektsion qopqoqlar mavjud emas va shuning uchun barqaror modul toifasiga o'tish zarur.

Kogomologiya bilan aloqalar

Endi biz shunday deb o'ylaymiz R = kG ba'zilar uchun guruh algebra maydon k va ba'zilari guruh G. Biror kishi borligini ko'rsatishi mumkin izomorfizmlar

${ displaystyle { underline { mathrm {Hom}}} ( Omega ^ {n} (M), N) cong mathrm {Ext} _ {kG} ^ {n} (M, N) cong { tagiga chizish { mathrm {Hom}}} (M, Omega ^ {- n} (N))}$

har bir ijobiy uchun tamsayı n. The guruh kohomologiyasi vakillik M tomonidan berilgan ${ displaystyle mathrm {H} ^ {n} (G; M) = mathrm {Ext} _ {kG} ^ {n} (k, M)}$ qayerda k ahamiyatsiz narsaga ega G- harakat, shuning uchun barqaror modul toifasi guruh kohomologiyasi yashaydigan tabiiy muhitni beradi.

Bundan tashqari, yuqoridagi izomorfizm salbiy qiymatlar uchun kohomologiya guruhlarini aniqlashni taklif qiladi nva shu tarzda odam o'zini tiklaydi Tate kohomologiyasi.

Uchburchak tuzilish

An aniq ketma-ketlik

${ displaystyle 0 dan X ga E ga Y dan 0} gacha$

odatdagi modul turkumidagi elementini belgilaydi ${ displaystyle mathrm {Ext} _ {kG} ^ {1} (Y, X)}$va shuning uchun ${ displaystyle { underline { mathrm {Hom}}} (Y, Omega ^ {- 1} (X))}$, shuning uchun biz ketma-ketlikni olamiz

${ displaystyle X to E to Y to Omega ^ {- 1} (X).}$

Qabul qilish ${ displaystyle Omega ^ {- 1}}$ tarjima funktsiyasi va yuqoridagi kabi ketma-ketliklar aniq uchburchak bo'lish uchun barqaror modul toifasi a ga aylanadi uchburchak toifasi.

Shuningdek qarang

• Barqaror homotopiya nazariyasi

Adabiyotlar

• J. F. Karlson, Liza Taunsli, Luis Valero-Elizondo, Mucheng Chjan, Sonli guruhlarning kohomologik uzuklari, Springer-Verlag, 2003 yil.