Kuchli ikki makon - Strong dual space

Yilda funktsional tahlil, kuchli dual a topologik vektor maydoni (TVS) X bo'ladi doimiy er-xotin bo'shliq ning X bilan jihozlangan kuchli topologiya yoki ning cheklangan kichik to'plamlari bo'yicha bir xil yaqinlashuv topologiyasi X, bu erda bu topologiya belgilanadi ${ displaystyle b chap (X ^ { prime}, X o'ng)}$ yoki ${ displaystyle beta chap (X ^ { prime}, X o'ng)}$. Kuchli ikkilamchi makon zamonaviy funktsional tahlilda shunday muhim rol o'ynaydi, chunki doimiy ravishda ikki tomonlama makon, agar boshqacha ko'rsatilmagan bo'lsa, odatda kuchli ikki tomonlama topologiyaga ega bo'ladi. Shuni ta'kidlash kerakki, doimiy er-xotin bo'shliq, ${ displaystyle X ^ { prime}}$kuchli dual topologiyaga ega, ${ displaystyle X_ {b} ^ { prime}}$ yoki ${ displaystyle X _ { beta} ^ { prime}}$ yozilishi mumkin.

Kuchli dual topologiya

Ikki tomonlama tizimdan ta'rif

Ruxsat bering ${ displaystyle (X, Y, left langle cdot, cdot right rangle)}$ bo'lishi a ikkilamchi tizim maydon bo'ylab vektor bo'shliqlarining ${ displaystyle { mathbb {F}}}$ haqiqiy (${ displaystyle { mathbb {R}}}$) yoki murakkab (${ displaystyle { mathbb {C}}}$) raqamlar X na Y topologiyaga ega, shuning uchun biz kichik to'plamni aniqlaymiz B ning X chegaralangan bo'lishi kerak va faqat agar ${ displaystyle sup _ {x in B} chap | chap langle x, y right rangle right | < infty}$ Barcha uchun ${ displaystyle y in Y}$. Bu odatdagi tushunchaga tengdir cheklangan pastki to'plamlar qachon X tomonidan induktsiya qilingan zaif topologiya berilgan Y, bu Hausdorff mahalliy konveks topologiya. Kuchli er-xotin topologiyaning ta'rifi hozirda TVSda bo'lgani kabi davom etmoqda.

E'tibor bering, agar X uzluksiz ikki kishilik maydoni bo'lgan TVS nuqtani ajratadi kuni X, keyin X kanonik dual tizimning bir qismidir ${ displaystyle chap (X, X ^ { prime}, chap langle cdot, cdot right rangle right)}$ qayerda ${ displaystyle left langle x, x ^ { prime} right rangle: = x ^ { prime} (x)}$.

Televizorda ta'rif

Aytaylik X a topologik vektor maydoni (TVS) maydon ustidan ${ displaystyle { mathbb {F}}}$ haqiqiy (${ displaystyle { mathbb {R}}}$) yoki murakkab (${ displaystyle { mathbb {C}}}$) raqamlar. Ruxsat bering ${ displaystyle { mathcal {B}}}$ ning har qanday asosiy tizimi bo'lishi cheklangan to'plamlar ning X (ya'ni cheklangan kichik to'plamlar to'plami X har bir cheklangan kichik to'plami X ba'zilarining pastki qismidir ${ displaystyle B in { mathcal {B}}}$); ning barcha chegaralangan kichik to'plamlari to'plami X ahamiyatsiz chegaralangan to'plamlarning asosiy tizimini tashkil qiladi X. Kelib chiqadigan yopiq mahallalarning asosi ${ displaystyle X ^ { prime}}$ tomonidan berilgan qutblar:

${ displaystyle B ^ { circ}: = left {x ^ { prime} in X ^ { prime}: sup _ {x in B} left | x ^ { prime} left (x right) right | leq 1 right }}$

kabi B oralig'ida ${ displaystyle { mathcal {B}}}$). Bu to'plam tomonidan berilgan mahalliy konveks topologiyasi seminarlar kuni ${ displaystyle X ^ { prime}}$:${ displaystyle left | x ^ { prime} right | _ {B}: = sup _ {x in B} left | x ^ { prime} left (x right) right |}$kabi B oralig'ida ${ displaystyle { mathcal {B}}}$.

Agar X bu normal keyin shunday bo'ladi ${ displaystyle X_ {b} ^ { prime}}$ va ${ displaystyle X_ {b} ^ { prime}}$ aslida a bo'ladi Banach maydoni. Agar X normaga ega bo'lgan normalangan bo'shliq ${ displaystyle | cdot |}$ keyin ${ displaystyle X ^ { prime}}$ kanonik me'yorga ega (the operator normasi ) tomonidan berilgan ${ displaystyle left | x ^ { prime} right |: = sup _ { | x | leq 1} left | x ^ { prime} (x) right |}$; ushbu normani keltirib chiqaradigan topologiya ${ displaystyle X ^ { prime}}$ kuchli dual topologiya bilan bir xil.

Xususiyatlari

Ruxsat bering X mahalliy konveks TVS bo'ling.

• Qavariq, muvozanatli, kuchsiz ixcham kichik to'plami X' chegaralangan ${ displaystyle X_ {b} ^ { prime}}$.^[1]
• Ning har bir zaif chegaralangan kichik to'plami X' juda chegaralangan.^[2]
• Agar X a barreli bo'shliq keyin XTopologiyasi kuchli dual topologiya bilan bir xil b(X, X') va Mackey topologiyasi kuni X.
• Agar X o'lchovli mahalliy konveks oralig'i, keyin kuchli dual X bu bornologik agar va faqat shunday bo'lsa infrabarreled, agar bo'lsa va faqat shunday bo'lsa bochkada.^[3]
• Agar X u holda mahalliy konveks TVS Hausdorff hisoblanadi (X, b(X, X')) bu o'lchovli agar va faqat hisoblanadigan to'plam mavjud bo'lsa ℬ ning cheklangan kichik to'plamlari X har bir cheklangan kichik to'plami X ning ba'zi bir elementlarida mavjud ℬ.^[4]

Shuningdek qarang

• Ikki tomonlama topologiya
• Ikki tomonlama tizim
• Topologiyalar ro'yxati
• Qutb topologiyasi - chegaralangan quyi to'plamlarning ba'zi pastki to'plamlarida bir xil konvergentsiyaning er-xotin kosmik topologiyasi
• Kuchli topologiya
• Kuchli topologiya (qutbli topologiya) - chegaralangan kichik to'plamlar bo'yicha bir xil yaqinlashuvning ikki fazoviy topologiyasi
• Chiziqli xaritalar bo'shliqlari bo'yicha topologiyalar

Adabiyotlar

Bibliografiya

• Narici, Lourens; Bekenshteyn, Edvard (2011). Topologik vektor bo'shliqlari. Sof va amaliy matematik (Ikkinchi nashr). Boka Raton, FL: CRC Press. ISBN  978-1584888666. OCLC  144216834.
• Shefer, Helmut H.; Volf, Manfred P. (1999). Topologik vektor bo'shliqlari. GTM. 8 (Ikkinchi nashr). Nyu-York, NY: Springer Nyu-York Imprint Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Triv, Fransua (2006) [1967]. Topologik vektor bo'shliqlari, tarqalishi va yadrolari. Mineola, N.Y .: Dover nashrlari. ISBN  978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.
• Vong (1979). Shvarts bo'shliqlari, yadro bo'shliqlari va tensor mahsulotlari. Berlin Nyu-York: Springer-Verlag. ISBN  3-540-09513-6. OCLC  5126158.