Kvadratchalar yig'indisi - Sum of squares function

Yilda sonlar nazariyasi, kvadratlar funktsiyasi yig'indisi bu arifmetik funktsiya sonini beradi vakolatxonalar berilgan ijobiy uchun tamsayı $n$ ning yig'indisi sifatida $k$ kvadratchalar, bu erda faqat tartibida farq qiladigan vakolatxonalar chaqiriqlar yoki kvadratchalar sonidagi belgilarda har xil deb hisoblanadi va bilan belgilanadi $r k (n)$ .

Ta'rif

The funktsiya sifatida belgilanadi

{ displaystyle r_ {k} (n) = | {(a_ {1}, a_ {2}, ldots, a_ {k}) in mathbb {Z} ^ {k} : n = a_ {1} ^ {2} + a_ {2} ^ {2} + cdots + a_ {k} ^ {2} } |}

qayerda ${ displaystyle | , |}$ belgisini bildiradi kardinallik a o'rnatilgan. Boshqa so'zlar bilan aytganda, $r k (n)$ bu usullarning soni $n$ yig'indisi sifatida yozilishi mumkin $k$ kvadratchalar.

Masalan, ${ displaystyle r_ {2} (1) = 4}$ beri ${ displaystyle 1 = 0 ^ {2} + ( pm 1) ^ {2} = ( pm 1) ^ {2} + 0 ^ {2}}$ bu erda har bir yig'indida ikkita belgi birikmasi mavjud, shuningdek ${ displaystyle r_ {2} (2) = 4}$ beri ${ displaystyle 2 = ( pm 1) ^ {2} + ( pm 1) ^ {2}}$ to'rtta belgi kombinatsiyasi bilan. Boshqa tarafdan, ${ displaystyle r_ {2} (3) = 0}$ chunki 3ni ikkita kvadratning yig'indisi sifatida ifodalashning imkoni yo'q.

Formulalar

k = 2

A yozish usullari soni tabiiy son ikki kvadrat yig'indisi sifatida berilgan $r 2 (n)$ . Bu aniq tomonidan berilgan

{ displaystyle r_ {2} (n) = 4 (d_ {1} (n) -d_ {3} (n))}

qayerda $d 1 (n)$ soni bo'linuvchilar ning $n$ qaysiki uyg'un 1 ga modul 4 va $d 3 (n)$ ning bo'luvchilar soni $n$ 3 modulga mos keladigan 4. Jami yordamida ifodani quyidagicha yozish mumkin:

{ displaystyle r_ {2} (n) = 4 sum _ {d mid n d , equiv , 1,3 { pmod {4}}} (- 1) ^ {(d-1) ) / 2}}

Bosh vazir faktorizatsiya ${ displaystyle n = 2 ^ {g} p_ {1} ^ {f_ {1}} p_ {2} ^ {f_ {2}} cdots q_ {1} ^ {h_ {1}} q_ {2} ^ {h_ {2}} cdots}$ , qayerda ${ displaystyle p_ {i}}$ ular asosiy omillar shaklning ${ displaystyle p_ {i} equiv 1 { pmod {4}},}$ va ${ displaystyle q_ {i}}$ shaklning asosiy omillari ${ displaystyle q_ {i} equiv 3 { pmod {4}}}$ boshqa formulani beradi

{ displaystyle r_ {2} (n) = 4 (f_ {1} +1) (f_ {2} +1) cdots}

, agar barchasi eksponentlar

{ displaystyle h_ {1}, h_ {2}, cdots}

bor hatto. Agar bitta yoki bir nechtasi bo'lsa

{ displaystyle h_ {i}}

bor g'alati, keyin

{ displaystyle r_ {2} (n) = 0}

.

k = 3

Gauss buni isbotladi kvadratcha raqam $n > 4$ ,

{ displaystyle r_ {3} (n) = { start {case} 24h (-n), & { text {if}} n equiv 3 { pmod {8}}, 0 & { text { if}} n equiv 7 { pmod {8}}, 12h (-4n) & { text {aks holda}}, end {case}}}

qayerda $h (m)$ belgisini bildiradi sinf raqami butun son $m$ .

k = 4

Namoyish qilish usullari soni $n$ to'rt kvadrat yig'indisi tufayli edi Karl Gustav Yakob Yakobi va bu uning 4 ga bo'linmaydigan barcha bo'linuvchilarining yig'indisidan sakkiz marta ko'pdir, ya'ni.

{ displaystyle r_ {4} (n) = 8 sum _ {d , mid , n, 4 , nmid , d} d.}

Vakil $n = 2 k m$ , qayerda m toq tamsayı, uni ifodalash mumkin ${ displaystyle r_ {4} (n)}$ jihatidan bo'luvchi funktsiyasi quyidagicha:

{ displaystyle r_ {4} (n) = 8 sigma (2 ^ { min {k, 1 }} m).}

k = 8

Jakobi ham topdi aniq formula ish uchun $k = 8$ :

{ displaystyle r_ {8} (n) = 16 sum _ {d , mid , n} (- 1) ^ {n + d} d ^ {3}.}

Yaratuvchi funktsiya

The ishlab chiqarish funktsiyasi ning ketma-ketlik ${ displaystyle r_ {k} (n)}$ sobit uchun $k$ bilan ifodalanishi mumkin Jacobi theta funktsiyasi:^[1]

{ displaystyle vartheta (0; q) ^ {k} = vartheta _ {3} ^ {k} (q) = sum _ {n = 0} ^ { infty} r_ {k} (n) q ^ {n},}

qayerda

{ displaystyle vartheta (0; q) = sum _ {n = - infty} ^ { infty} q ^ {n ^ {2}} = 1 + 2q + 2q ^ {4} + 2q ^ {9 } + 2q ^ {16} + cdots.}

Raqamli qiymatlar

Uchun dastlabki 30 qiymat ${ displaystyle r_ {k} (n), ; k = 1, nuqta, 8}$ quyidagi jadvalda keltirilgan:

n	=	r₁(n)	r₂(n)	r₃(n)	r₄(n)	r₅(n)	r₆(n)	r₇(n)	r₈(n)
0	0	1	1	1	1	1	1	1	1
1	1	2	4	6	8	10	12	14	16
2	2	0	4	12	24	40	60	84	112
3	3	0	0	8	32	80	160	280	448
4	2²	2	4	6	24	90	252	574	1136
5	5	0	8	24	48	112	312	840	2016
6	2×3	0	0	24	96	240	544	1288	3136
7	7	0	0	0	64	320	960	2368	5504
8	2³	0	4	12	24	200	1020	3444	9328
9	3²	2	4	30	104	250	876	3542	12112
10	2×5	0	8	24	144	560	1560	4424	14112
11	11	0	0	24	96	560	2400	7560	21312
12	2²×3	0	0	8	96	400	2080	9240	31808
13	13	0	8	24	112	560	2040	8456	35168
14	2×7	0	0	48	192	800	3264	11088	38528
15	3×5	0	0	0	192	960	4160	16576	56448
16	2⁴	2	4	6	24	730	4092	18494	74864
17	17	0	8	48	144	480	3480	17808	78624
18	2×3²	0	4	36	312	1240	4380	19740	84784
19	19	0	0	24	160	1520	7200	27720	109760
20	2²×5	0	8	24	144	752	6552	34440	143136
21	3×7	0	0	48	256	1120	4608	29456	154112
22	2×11	0	0	24	288	1840	8160	31304	149184
23	23	0	0	0	192	1600	10560	49728	194688
24	2³×3	0	0	24	96	1200	8224	52808	261184
25	5²	2	12	30	248	1210	7812	43414	252016
26	2×13	0	8	72	336	2000	10200	52248	246176
27	3³	0	0	32	320	2240	13120	68320	327040
28	2²×7	0	0	0	192	1600	12480	74048	390784
29	29	0	8	72	240	1680	10104	68376	390240
30	2×3×5	0	0	48	576	2720	14144	71120	395136

Shuningdek qarang

Jakobining to'rt kvadrat teoremasi

Adabiyotlar

^ Milne, Stiven S (2002). "Kirish". Kvadratlarning aniq yig'indilarining cheksiz oilalari formulalari, Jakobi elliptik funktsiyalari, davomli kasrlar va Shur funktsiyalari. Springer Science & Business Media. p. 9. ISBN 1402004915.

Tashqi havolalar

Vayshteyn, Erik V. "Kvadratchalar yig'indisi". MathWorld.

[1] Milne, Stiven S (2002). "Kirish". Kvadratlarning aniq yig'indilarining cheksiz oilalari formulalari, Jakobi elliptik funktsiyalari, davomli kasrlar va Shur funktsiyalari. Springer Science & Business Media. p. 9. ISBN 1402004915.

[1]