Vakolatlar yig'indisi - Sums of powers

Yilda matematika va statistika, vakolatlar summasi bir qator kontekstlarda uchraydi:

• Kvadratchalar yig'indisi ko'plab kontekstlarda paydo bo'ladi. Masalan, ichida geometriya, Pifagor teoremasi ikkita kvadrat yig'indisini o'z ichiga oladi; yilda sonlar nazariyasi, lar bor Legendrning uch kvadrat teoremasi va Jakobining to'rt kvadrat teoremasi; va statistika, dispersiyani tahlil qilish miqdorlarning kvadratlarini yig'ishni o'z ichiga oladi.
• Faolxabarning formulasi ifodalaydi ${ displaystyle 1 ^ {k} + 2 ^ {k} + 3 ^ {k} + cdots + n ^ {k}}$ in polinom sifatida nyoki muqobil ravishda Bernulli polinomida.
• Fermaning to'rtburchaklar uchburchagi teoremasi uchun musbat tamsayılarda echim yo'qligini bildiradi ${ displaystyle a ^ {4} = b ^ {4} + c ^ {2}.}$
• Fermaning so'nggi teoremasi ta'kidlaydi ${ displaystyle x ^ {k} + y ^ {k} = z ^ {k}}$ musbat tamsayılarda mumkin emas k>2.
• A tenglamasi superellipse bu ${ displaystyle | x / a | ^ {k} + | y ​​/ b | ^ {k} = 1}$. The aylana ish ${ displaystyle k = 4, a = b}$.
• Eylerning taxminlar kuchi yig'indisi (inkor qilingan) yig'indisi bo'lgan holatlarga tegishli n butun sonlar, har biri a k^th butun sonning kuchi boshqasiga teng k^th kuch.
• The Fermat-kataloniya gumoni Quvvatlari mutlaqo teng bo'lmasligi kerak bo'lgan har bir sonning kuchi bo'lgan ikkita ko'plikli tamsayılar yig'indisi kuch bo'lgan yana bir butun songa tenglasha oladigan uchta kuchning o'zaro qarama-qarshiligi kamroq bo'ladigan misollarning cheksizligi mavjudligini so'raydi. 1dan.
• Bealning taxminlari har bir kuchi butun sonning 2 dan katta bo'lgan kuchlari, albatta teng bo'lmasligi kerak bo'lgan ikkita ko'plikli tamsayılar yig'indisi, 2 dan katta bo'lgan boshqa bir butun songa tenglasha oladimi degan savolga tegishli.
• The Jakobi-Madden tenglamasi bu ${ displaystyle a ^ {4} + b ^ {4} + c ^ {4} + d ^ {4} = (a + b + c + d) ^ {4}}$ butun sonlarda.
• The Prouhet-Tarri-Escott muammosi ikkita to'plamning yig'indisini ko'rib chiqadi k^th ning bir nechta qiymatlari uchun teng bo'lgan butun sonlarning kuchlari k.
• A taksik raqami - bu ikkita ijobiy uchinchi kuchlarning yig'indisi sifatida ifodalanadigan eng kichik butun son n aniq yo'llar.
• The Riemann zeta funktsiyasi har bir kuchga ko'tarilgan musbat tamsayılarning o'zaro yig'indisi s, qayerda s haqiqiy qismi 1 dan katta bo'lgan murakkab son.
• The Lander, Parkin va Selfridge gipotezasi ning minimal qiymatiga taalluqlidir m + n yilda ${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} ^ {k} = sum _ {j = 1} ^ {m} b_ {j} ^ {k}.}$
• Waring muammosi har bir natural son uchunmi yoki yo'qligini so'raydi k bog'liq musbat tamsayı mavjud s shundayki, har bir natural son ko'pi bilan yig'indidir s k^th natural sonlarning kuchlari.
• Ning ketma-ket vakolatlari oltin nisbat φ Fibonachchi takrorlanishiga rioya qiling:

${ displaystyle varphi ^ {n + 1} = varphi ^ {n} + varphi ^ {n-1}.}$

• Nyutonning o'ziga xosliklari yig'indisini ifodalang k^th polinomdagi barcha ildizlarning kuchlari, ko'pburchakdagi koeffitsientlar bo'yicha.
• The arifmetik progresiyadagi sonlar kublari yig'indisi ba'zan yana bir kub bo'ladi.
• The Fermat kubi, unda uchta kubning yig'indisi boshqa kubga teng bo'lib, umumiy echimga ega.
• The quvvat yig'indisi nosimmetrik polinom nosimmetrik polinomlar uchun qurilish blokidir.
• The barcha mukammal kuchlarning o'zaro ta'sirlari yig'indisi dublikatlar (shu jumladan 1) 1 ga teng.
• The Erduss-Mozer tenglamasi, ${ displaystyle 1 ^ {k} + 2 ^ {k} + cdots + m ^ {k} = (m + 1) ^ {k}}$ qayerda ${ displaystyle m}$ va ${ displaystyle k}$ musbat tamsayılar, 1 dan boshqa echimlar yo'q deb taxmin qilinadi¹ + 2¹ = 3¹.
• The uch kubikning yig'indisi 9 yoki 9 modullariga tenglasha olmaydi, ammo qolgan barcha sonlarni ushbu shaklda ifodalash mumkinmi yoki yo'qmi noma'lum.
• Vakolatlar yig'indisi S_m(z, n) = z^m + (z+1)^m + ... + (z+n−1)^m Bernulli polinomlari bilan bog'liq B_m(z) tomonidan (∂_n−∂_z) S_m(z, n) = B_m(z) va (∂_2λ−∂_Z) S_2k+1(z, n) = Ŝ′_k+1(Z) qayerda Z = z(z-1), ph = S₁(z, n), Ŝ_k+1(Z) ≡ S_2k+1(0, z).^[1]
• tarkibidagi atamalar yig'indisi geometrik qatorlar bu ${ displaystyle sum _ {k = i} ^ {n} z ^ {k} = { frac {z ^ {i} -z ^ {n + 1}} {1-z}}}$

Shuningdek qarang

• Diofant tenglamasi

Adabiyotlar

• Reznik, Bryus va Rouse, J. "Ikki kubning summasida", Int. J. Raqamlar nazariyasi, 7 (2011), 1863-1882, MR2854220.