Yuqori qo'shilish - Superadditivity

Yilda matematika, a ketma-ketlik {a_n}, n ≥ 1, deyiladi o'ta ilg'or agar u qoniqtirsa tengsizlik

${ displaystyle a_ {n + m} geq a_ {n} + a_ {m}}$

Barcha uchun m va n. Haddan tashqari ketma-ketliklardan foydalanishning asosiy sababi quyidagilar lemma sababli Maykl Fekete.^[1]

Lemma: (Fekete) Har bir o'ta qo'shimcha ketma-ketlik uchun {a_n}, n ≥ 1, the chegara lim a_n /n mavjud va sup ga teng a_n /n. (Chegara ijobiy cheksiz bo'lishi mumkin, masalan, ketma-ketlik uchun a_n = logn!.)

Xuddi shunday, a funktsiya f bu o'ta ilg'or agar

${ displaystyle f (x + y) geq f (x) + f (y)}$

Barcha uchun x va y ichida domen ning f.

Masalan, ${ displaystyle f (x) = x ^ {2}}$ manfiy bo'lmagan uchun juda qo'shimcha funktsiya haqiqiy raqamlar chunki kvadrat ning ${ displaystyle x + y}$ kvadratidan har doim kattaroq yoki tengdir ${ displaystyle x}$ ning kvadrati ${ displaystyle y}$, salbiy bo'lmagan haqiqiy sonlar uchun ${ displaystyle x}$ va ${ displaystyle y}$.

Fekete lemmasining analogini ushlab turadi yordamchi Fekete lemmasining kengaytmalari mavjud, ular yuqoridagi o'ta qo'shiluvchanlik ta'rifini hamma uchun ushlab turishni talab qilmaydi. m va n. Fekete lemmasida mavjud bo'lgan chegaraga yaqinlashish tezligini chiqarishga imkon beradigan natijalar ham mavjud, agar u ham biron bir o'ta soddalik va subadditivlik bo'lsa. Ushbu mavzuning yaxshi ekspozitsiyasini Stil (1997) da topish mumkin.^[2][3]

"O'ta qo'shimchalar" atamasi a funktsiyalari uchun ham qo'llaniladi mantiqiy algebra qaerda haqiqiy raqamlarga ${ displaystyle P (X lor Y) geq P (X) + P (Y)})$, kabi kamroq ehtimolliklar.

Agar f juda qo'shimchali funktsiya bo'lib, agar 0 uning domenida bo'lsa, demak f(0) ≤ 0. Buni ko'rish uchun yuqoridagi tengsizlikni oling: ${ displaystyle f (x) leq f (x + y) -f (y)}$. Shuning uchun ${ displaystyle f (0) leq f (0 + y) -f (y) = 0.}$

Haddan tashqari funktsiyaning manfiyligi yordamchi.

Haddan tashqari funktsiyalarga misollar

• The aniqlovchi manfiy bo'lmagan uchun juda qo'shimchalar Ermit matritsasi, ya'ni agar ${ displaystyle A, B in { text {Mat}} _ {n} ( mathbb {C})}$ u holda salbiy bo'lmagan Hermitiyaliklar ${ displaystyle det (A + B) geq det (A) + det (B)}$.

Bu Minkovskiy determinant teoremasidan kelib chiqadi, u umuman aytganda ${ displaystyle det ( cdot) ^ {1 / n}}$ o'ta qo'shimchalar (teng ravishda, konkav )^[4] noan'anaviy Hermitian matritsalari uchun n: Agar ${ displaystyle A, B in { text {Mat}} _ {n} ( mathbb {C})}$ u holda salbiy bo'lmagan Hermitiyaliklar ${ displaystyle det (A + B) ^ {1 / n} geq det (A) ^ {1 / n} + det (B) ^ {1 / n}}$.

• O'zaro ma'lumot
• Horst Alzer isbotladi ^[5] bu Hadamardning gamma funktsiyasi H(x) barcha haqiqiy sonlar uchun haddan tashqari qo'shimcha hisoblanadi x, y bilan x, y ≥ 1.5031.

Shuningdek qarang

• Choket ajralmas
• Subadditivlik

Adabiyotlar

Izohlar

• Dyörgi Polya va Gabor Szego. (1976). Tahlildagi masalalar va teoremalar, 1-jild. Springer-Verlag, Nyu-York. ISBN  0-387-05672-6.

Ushbu maqola Superaddidity-dan materiallarni o'z ichiga oladi PlanetMath, ostida litsenziyalangan Creative Commons Attribution / Share-Alike litsenziyasi.