Supermodule - Supermodule

Yilda matematika, a super modul a Z₂-darajali modul ustidan superring yoki superalgebra. Supermodullar paydo bo'ladi super chiziqli algebra bu kontseptsiyani o'rganish uchun matematik asos super simmetriya yilda nazariy fizika.

Supermodullar a komutativ superalgebra ning umumlashtirilishi sifatida qarash mumkin super vektor bo'shliqlari ustidan (sof hatto) maydon K. Supermodullar ko'pincha super vektorli bo'shliqlarga qaraganda super chiziqli algebrada muhim rol o'ynaydi. Buning sababi shundaki, ko'pincha skalerlar maydonini toq o'zgaruvchilarga qo'shish kerak bo'ladi yoki foydalidir. Bunda dalalardan komutativ superalgebralarga va vektor bo'shliqlaridan modullarga o'tiladi.

Ushbu maqolada barcha superalgebralar taxmin qilinadi assotsiativ va yagona agar boshqacha ko'rsatilmagan bo'lsa.

Rasmiy ta'rif

Ruxsat bering A sobit bo'ling superalgebra. A o'ng supermodule ustida A a o'ng modul E ustida A bilan to'g'ridan-to'g'ri summa parchalanish (masalan abeliy guruhi )

${ displaystyle E = E_ {0} oplus E_ {1}}$

elementlari bo'yicha ko'paytma A qondiradi

${ displaystyle E_ {i} A_ {j} subseteq E_ {i + j}}$

Barcha uchun men va j yilda Z₂. Kichik guruhlar E_men keyin to'g'ri A₀-modullar.

Ning elementlari E_men deb aytilgan bir hil. The tenglik bir hil elementning x, | bilan belgilanadix|, uning mavjudligiga qarab 0 yoki 1 ga teng E₀ yoki E₁. Paritet 0 elementlari deyiladi hatto va tenglik 1 bo'lishi kerak g'alati. Agar a bir hil skalar va x ning bir hil elementidir E keyin |x·a| bir hil va |x·a| = |x| + |a|.

Xuddi shunday, chap supermodullar va super modullar sifatida belgilanadi chap modullar yoki bimodullar ustida A ularning skaler ko'paytmalari aniq tartibda baholarni hurmat qiladi. Agar A bu superkommutativ, keyin har bir chap yoki o'ng supermodul tugadi A belgilash orqali ajoyib modul sifatida qaralishi mumkin

${ displaystyle a cdot x = (- 1) ^ {| a || x |} x cdot a}$

bir hil elementlar uchun a ∈ A va x ∈ Eva chiziqli ravishda kengaytiriladi. Agar A sof hattoki bu oddiy ta'rifga qisqartiradi.

Gomomorfizmlar

A homomorfizm supermodullar orasidagi a modul homomorfizmi bu baholashni saqlaydi E va F to'g'ri supermodullar bo'ling A. Xarita

${ displaystyle phi: E dan F ,}$

bu supermodul gomomorfizmi, agar

• ${ displaystyle phi (x + y) = phi (x) + phi (y) ,}$
• ${ displaystyle phi (x cdot a) = phi (x) cdot a ,}$
• ${ displaystyle phi (E_ {i}) subseteq F_ {i} ,}$

Barcha uchun a∈A va barchasi x,y∈E. Barcha modullarning homomorfizmlari to'plami E ga F Hom bilan belgilanadi (E, F).

Ko'pgina hollarda, supermodulalar orasidagi katta morfizmlar sinfini ko'rib chiqish zarur yoki qulaydir. Ruxsat bering A superkommutativ algebra bo'ling. Keyin barcha supermodullar tugadi A tabiiy uslubda superbimodul sifatida qaraladi. Supermodullar uchun E va F, ruxsat bering Uy(E, F) barchaning makonini bildiradi to'g'ri A-chiziqli xaritalar (ya'ni barcha modul homomorfizmlari E ga F undirilmagan huquq sifatida qaraladi A-modullar). Tabiiy baho mavjud Uy(E, F) bu erda hatto homomorfizmlar ham baholashni saqlaydi

${ displaystyle phi (E_ {i}) subseteq F_ {i}}$

toq gomomorfizmlar esa baholashni teskari yo'naltiradi

${ displaystyle phi (E_ {i}) subseteq F_ {1-i}.}$

Agar φ ∈ bo'lsa Uy(E, F) va a ∈ A u holda bir hil

${ displaystyle phi (x cdot a) = phi (x) cdot a qquad phi (a cdot x) = (- 1) ^ {| a || phi |} a cdot phi (x).}$

Ya'ni, juft homomorfizmlar ham o'ng, ham chap chiziqli, g'alati gomomorfizm esa o'ng chiziqli, ammo chap antilinear (baholash avtomorfizmiga nisbatan).

To'plam Uy(E, F) ustiga bimodul tuzilishi berilishi mumkin A sozlash orqali

${ displaystyle { begin {aligned} (a cdot phi) (x) & = a cdot phi (x) ( phi cdot a) (x) & = phi (a cdot x ). end {hizalangan}}}$

Yuqoridagi baho bilan Uy(E, F) nihoyat supermodulga aylanadi A uning juft qismi barcha oddiy supermodul homomorfizmlari to'plamidir

${ displaystyle mathbf {Hom} _ {0} (E, F) = mathrm {Hom} (E, F).}$

Tilida toifalar nazariyasi, barcha supermodullarning sinfi tugadi A shakllantiradi a toifasi morfizm sifatida super modul homomorfizmlari bilan. Ushbu turkum a nosimmetrik monoidal yopiq kategoriya super tensor mahsuloti ostida kimning ichki Hom funktsiyasi tomonidan berilgan Uy.

Adabiyotlar

• Deligne, Per; Jon V. Morgan (1999). "Supersimmetriya bo'yicha eslatmalar (Jozef Bernshteynga ergashgan holda)". Kvant maydonlari va torlari: matematiklar uchun dars. 1. Amerika matematik jamiyati. 41-97 betlar. ISBN  0-8218-2012-5.
• Manin, Y. I. (1997). O'lchov maydonlari nazariyasi va kompleks geometriya ((2-nashr) tahrir). Berlin: Springer. ISBN  3-540-61378-1.
• Varadarajan, V. S. (2004). Matematiklar uchun super simmetriya: kirish. Matematikadan ma'ruza darslari 11. Amerika matematik jamiyati. ISBN  0-8218-3574-2.