Doimiy kenglik yuzasi - Surface of constant width

Savol, Veb Fundamentals.svgMatematikada hal qilinmagan muammo:
Bir xil doimiy kenglikdagi barcha shakllar orasida minimal hajm qancha?
(matematikada ko'proq hal qilinmagan muammolar)

Yilda geometriya, a doimiy kenglik yuzasi a qavariq ikki qarama-qarshi parallel orasidagi masofa bilan o'lchanadigan kenglikuning chegarasiga tegadigan samolyotlar, ikkita parallel tekislikning yo'nalishidan qat'iy nazar bir xil bo'ladi. Ulardan biri ma'lum bir yo'nalishda sirtning kengligini parallelliklar orasidagi perpendikulyar masofa deb belgilaydi perpendikulyar o'sha yo'nalishga. Shunday qilib, doimiy kenglikdagi sirt $ a $ ning uch o'lchovli analogidir doimiy kenglikning egri chizig'i, parallel teginish chiziqlari juftlari orasidagi doimiy masofaga ega bo'lgan ikki o'lchovli shakl.

Ta'rif

Umuman olganda, har qanday ixcham qavariq tanasi D berilgan yo'nalishda bir juft parallel qo'llab-quvvatlovchi tekislikka ega. Qo'llab-quvvatlaydigan tekislik - bu D chegarasini kesib o'tuvchi, ammo D ning ichki qismi bo'lmagan tekislik. Biri tananing kengligini avvalgidek aniqlaydi. Agar D ning kengligi barcha yo'nalishlarda bir xil bo'lsa, u holda tananing doimiy kengligi bor va uning chegarasini doimiy kenglik yuzasi deb ataydi va tananing o'zi a deb ataladi sferoform.

Misollar

A soha, doimiy radiusli va shunday diametrli sirt, doimiy kenglikdagi sirtdir.

Umumiy e'tiqodga zid ravishda Reuleaux tetraedri bu emas doimiy kenglikdagi sirt. Biroq, Reuleaux tetraedr qirralarining pastki qismlarini tekislashning ikki xil usuli mavjud. Meissner tetraedrasi, doimiy kenglikdagi yuzalar. Ushbu shakllar taxmin qilingan Bonnesen va Fenchel (1934) bir xil doimiy kenglikdagi barcha shakllar orasida minimal hajmga ega bo'lish, ammo bu taxmin hal qilinmagan.

Hammasi orasida inqilob sirtlari bir xil doimiy kenglikda, minimal hajmga ega bo'lgan shakl a bilan siljiydi Reuleaux uchburchagi uning simmetriya o'qlaridan biri atrofida aylanadigan (Campi, Colesanti va Gronchi 1996 yil ); aksincha, maksimal hajmga ega bo'lgan soha.

Xususiyatlari

Har bir parallel proektsiya doimiy kenglikdagi sirtning a doimiy kenglikning egri chizig'i. By Barbier teoremasi Shunday qilib, doimiy kenglikning har bir yuzasi ham doimiyning yuzasi ekanligi kelib chiqadi atrofi, bu erda shaklning atrofi uning parallel proektsiyalaridan birining perimetri. Aksincha, Hermann Minkovskiy doimiy atrofning har bir yuzasi ham doimiy kenglikdagi sirt ekanligini isbotladi (Hilbert va Kon-Vossen 1952 yil ).

Adabiyotlar

  • Bonnesen, Tommi; Fenchel, Verner (1934), Teorie der konvexen Körper, Springer-Verlag, 127-139-betlar.
  • Kampi, Stefano; Kolesanti, Andrea; Gronchi, Paolo (1996), "Qavariq jismlar hajmining minimal muammolari", Qisman differentsial tenglamalar va qo'llanmalar: Karlo Puchchi sharafiga to'plangan hujjatlar, Sof va amaliy matematikadan ma'ruza matnlari, yo'q. 177, Marsel Dekker, 43-55 betlar.
  • Guilfoyl, Brendan; Klingenberg, Vilgelm (2009), "S2- doimiy kenglikdagi tekis yuzalar ", Tbilisi matematikasi. J., 2: 1–17, arXiv:0704.3248, Bibcode:2007arXiv0704.3248G
  • Xilbert, Devid; Kon-Vossen, Stefan (1952), Geometriya va tasavvur (2-nashr), "Chelsi", 216-217-betlar, ISBN  978-0-8284-1087-8.
  • Maynsner, Ernst; Shilling, Fridrix (1912), "Drei Gipsmodelle von Flächen konstanter Breite", Matematika Z. Fizika., 60: 92–94.

Tashqi havolalar