T-tuzilmasi - t-structure

Filialida matematika deb nomlangan gomologik algebra, a t-tuzilma ning xususiyatlarini aksiomatizatsiya qilish usulidir abeliya subkategori a olingan kategoriya. A t- tuzilma ${ displaystyle { mathcal {D}}}$ ikkita kichik toifadan iborat ${ displaystyle ({ mathcal {D}} ^ { leq 0}, { mathcal {D}} ^ { geq 0})}$ a uchburchak toifasi yoki barqaror cheksizlik toifasi kohomologiyasi ijobiy, mos ravishda salbiy darajalarda yo'qoladigan komplekslar g'oyasini mavhumlashtiradigan. Turli xil bo'lishi mumkin t- bir xil toifadagi tuzilmalar va bu tuzilmalar orasidagi o'zaro bog'liqlik algebra va geometriyaga ta'sir qiladi. A tushunchasi t- tuzilish Beylinson, Bernshteyn, Deligne va Gabber onlarning ishlarida paydo bo'lgan buzuq taroqlar.^[1]

Ta'rif

Uchburchakli toifani aniqlang ${ displaystyle { mathcal {D}}}$ tarjima funktsiyasi bilan ${ displaystyle [1]}$. A t-tuzilma kuni ${ displaystyle { mathcal {D}}}$ juftlik ${ displaystyle ({ mathcal {D}} ^ { leq 0}, { mathcal {D}} ^ { geq 0})}$ har biri izomorfizm ostida barqaror bo'lgan to'liq quyi toifalarning, quyidagi uchta aksiomani qondiradigan.

1. Agar X ning ob'ekti hisoblanadi ${ displaystyle { mathcal {D}} ^ { leq 0}}$ va Y ning ob'ekti hisoblanadi ${ displaystyle { mathcal {D}} ^ { geq 0}}$, keyin ${ displaystyle operatorname {Hom} _ { mathcal {D}} (X, Y [-1]) = 0.}$
2. Agar X ning ob'ekti hisoblanadi ${ displaystyle { mathcal {D}} ^ { leq 0}}$, keyin X[1] shuningdek ob'ekti hisoblanadi ${ displaystyle { mathcal {D}} ^ { leq 0}}$. Xuddi shunday, agar Y ning ob'ekti hisoblanadi ${ displaystyle { mathcal {D}} ^ { geq 0}}$, keyin Y[-1] shuningdek ${ displaystyle { mathcal {D}} ^ { geq 0}}$.
3. Agar A ning ob'ekti hisoblanadi ${ displaystyle { mathcal {D}}}$, keyin taniqli uchburchak mavjud ${ displaystyle X to A to Y [-1] to X [1]}$ shu kabi X ning ob'ekti hisoblanadi ${ displaystyle { mathcal {D}} ^ { leq 0}}$ va Y ning ob'ekti hisoblanadi ${ displaystyle { mathcal {D}} ^ { geq 0}}$.

Bu pastki toifalar ekanligini ko'rsatish mumkin ${ displaystyle { mathcal {D}} ^ { leq 0}}$ va ${ displaystyle { mathcal {D}} ^ { geq 0}}$ kengaytmalari ostida yopilgan ${ displaystyle { mathcal {D}}}$. Xususan, ular cheklangan to'g'ridan-to'g'ri summalar ostida barqaror.

Aytaylik ${ displaystyle ({ mathcal {D}} ^ { leq 0}, { mathcal {D}} ^ { geq 0})}$ a t- tuzilma ${ displaystyle { mathcal {D}}}$. Bunday holda, har qanday butun son uchun n, biz aniqlaymiz ${ displaystyle { mathcal {D}} ^ { leq n}}$ to'liq subkategori bo'lish ${ displaystyle { mathcal {D}}}$ ob'ektlari shaklga ega ${ displaystyle X [-n]}$, qayerda ${ displaystyle X}$ ning ob'ekti hisoblanadi ${ displaystyle { mathcal {D}} ^ { leq 0}}$. Xuddi shunday, ${ displaystyle { mathcal {D}} ^ { geq n}}$ ob'ektlarning to'liq subkategori ${ displaystyle Y [-n]}$, qayerda ${ displaystyle Y}$ ning ob'ekti hisoblanadi ${ displaystyle { mathcal {D}} ^ { geq 0}}$. Qisqacha aytganda, biz aniqlaymiz

${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {D}} ^ { leq n} & = { mathcal {D}} ^ { leq 0} [- n], { mathcal {D} } ^ { geq n} & = { mathcal {D}} ^ { geq 0} [- n]. end {aligned}}}$

Ushbu yozuv bilan yuqoridagi aksiomalar quyidagicha yozilishi mumkin:

1. Agar X ning ob'ekti hisoblanadi ${ displaystyle { mathcal {D}} ^ { leq 0}}$ va Y ning ob'ekti hisoblanadi ${ displaystyle { mathcal {D}} ^ { geq 1}}$, keyin ${ displaystyle operatorname {Hom} _ { mathcal {D}} (X, Y) = 0.}$
2. ${ displaystyle { mathcal {D}} ^ { leq 0} subseteq { mathcal {D}} ^ { leq 1}}$ va ${ displaystyle { mathcal {D}} ^ { geq 0} supseteq { mathcal {D}} ^ { geq 1}}$.
3. Agar A ning ob'ekti hisoblanadi ${ displaystyle { mathcal {D}}}$, keyin taniqli uchburchak mavjud ${ displaystyle X dan A dan Y dan Xgacha [1]}$ shu kabi X ning ob'ekti hisoblanadi ${ displaystyle { mathcal {D}} ^ { leq 0}}$ va Y ning ob'ekti hisoblanadi ${ displaystyle { mathcal {D}} ^ { geq 1}}$.

The yurak yoki yadro ning t-tuzilma bu to'liq kategoriyadir ${ displaystyle { mathcal {D}} ^ { heartsuit}}$ ikkalasidagi narsalardan iborat ${ displaystyle { mathcal {D}} ^ { leq 0}}$ va ${ displaystyle { mathcal {D}} ^ { geq 0}}$, anavi,

${ displaystyle { mathcal {D}} ^ { heartsuit} = { mathcal {D}} ^ { leq 0} cap { mathcal {D}} ^ { geq 0}.}$

A yuragi t-tuzilma abeliya toifasi (Holbuki, uchburchak toifasi qo'shimchali, ammo deyarli hech qachon abeliya emas) va u kengaytmalar ostida barqaror.

Tanlash bilan uchburchak toifasi t-tuzilma ba'zan a deb ham nomlanadi t- toifasi.

O'zgarishlar

A ni aniqlash uchun aniq t-tuzilma, butun sonlarni tuzatish kifoya m va n va aniqlang ${ displaystyle { mathcal {D}} ^ { leq m}}$ va ${ displaystyle { mathcal {D}} ^ { geq n}}$. Ba'zi mualliflar a t- juftlik tuzilishi ${ displaystyle ({ mathcal {D}} ^ { leq 0}, { mathcal {D}} ^ { geq 1})}$.

Ikkala kichik toifalar ${ displaystyle { mathcal {D}} ^ { leq 0}}$ va ${ displaystyle { mathcal {D}} ^ { geq 1}}$ bir-birini aniqlash. Ob'ekt X ichida ${ displaystyle { mathcal {D}} ^ { leq 0}}$ agar va faqat agar ${ displaystyle operatorname {Hom} (X, Y) = 0}$ barcha ob'ektlar uchun Y yilda ${ displaystyle { mathcal {D}} ^ { geq 1}}$va aksincha. Anavi, ${ displaystyle ({ mathcal {D}} ^ { leq 0}, { mathcal {D}} ^ { geq 1})}$ bir-birining chap va o'ng ortogonal qo'shimchalari. Binobarin, ulardan bittasini ko'rsatish kifoya ${ displaystyle { mathcal {D}} ^ { leq 0}}$ va ${ displaystyle { mathcal {D}} ^ { geq 1}}$. Bundan tashqari, ushbu kichik toifalar ta'rifi bilan to'la bo'lganligi sababli, ularning ob'ektlarini ko'rsatish kifoya.

Yuqoridagi yozuv kohomologiyani o'rganishga moslashtirilgan. Maqsad gomologiyani o'rganish bo'lsa, biroz boshqacha yozuvlardan foydalaniladi. A homologik t-tuzilma kuni ${ displaystyle { mathcal {D}}}$ juftlik ${ displaystyle ({ mathcal {D}} _ { geq 0}, { mathcal {D}} _ { leq 0})}$ shunday qilib, agar biz aniqlasak

${ displaystyle ({ mathcal {D}} ^ { leq 0}, { mathcal {D}} ^ { geq 0}) = ({ mathcal {D}} _ { geq 0}, { matematik {D}} _ { leq 0}),}$

keyin ${ displaystyle ({ mathcal {D}} ^ { leq 0}, { mathcal {D}} ^ { geq 0})}$ (kohomologik) t- tuzilma ${ displaystyle { mathcal {D}}}$. Ya'ni, ta'rif bir xil, faqat yuqori indekslar pastki indekslarga va ning rollariga aylantiriladi ${ displaystyle geq}$ va ${ displaystyle leq}$ almashtirildi. Agar biz aniqlasak

${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {D}} _ { geq n} & = { mathcal {D}} _ { geq 0} [n], { mathcal {D}} _ { leq n} & = { mathcal {D}} _ { leq 0} [n], end {aligned}}}$

keyin gomologik uchun aksiomalar t-tuzilma aniq tarzda yozilishi mumkin

1. Agar X ning ob'ekti hisoblanadi ${ displaystyle { mathcal {D}} _ { geq 0}}$ va Y ning ob'ekti hisoblanadi ${ displaystyle { mathcal {D}} _ { leq -1}}$, keyin ${ displaystyle operatorname {Hom} _ { mathcal {D}} (X, Y) = 0.}$
2. ${ displaystyle { mathcal {D}} _ { geq 1} subseteq { mathcal {D}} _ { geq 0}}$ va ${ displaystyle { mathcal {D}} _ { leq 1} supseteq { mathcal {D}} _ { leq 0}}$.
3. Agar A ning ob'ekti hisoblanadi ${ displaystyle { mathcal {D}}}$, keyin taniqli uchburchak mavjud ${ displaystyle X dan A dan Y dan Xgacha [1]}$ shu kabi X ning ob'ekti hisoblanadi ${ displaystyle { mathcal {D}} _ { geq 0}}$ va Y ning ob'ekti hisoblanadi ${ displaystyle { mathcal {D}} _ { leq -1}}$.

Misollar

Tabiiy t-tuzilma

A ning eng asosiy namunasi t-tuzilma bu tabiiy t-tuzilma olingan kategoriya bo'yicha. Ruxsat bering ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ abeliya toifasi bo'ling va ruxsat bering ${ displaystyle D ({ mathcal {A}})}$ uning kelib chiqadigan toifasi bo'ling. Keyin tabiiy t-tuzilma subkategoriyalar juftligi bilan belgilanadi

${ displaystyle { begin {aligned} D ({ mathcal {A}}) ^ { leq 0} & = {X colon forall i> 0, H ^ {i} (X) = 0 }, D ({ mathcal {A}}) ^ { geq 0} & = {X colon forall i <0, H ^ {i} (X) = 0 }. End { tekislangan}}}$

Shundan darrov kelib chiqadi

${ displaystyle { begin {aligned} D ({ mathcal {A}}) ^ { leq n} & = {X n colon forall i> n, H ^ {i} (X) = 0 }, D ({ mathcal {A}}) ^ { geq n} & = {X nuqta forall i$

Bunday holda, a uchun uchinchi aksioma t-tuzilma, ma'lum bir ajratilgan uchburchakning mavjudligi quyidagicha aniq bo'lishi mumkin. Aytaylik ${ displaystyle A ^ { bullet}}$ in qiymatlari bo'lgan kokain kompleksidir ${ displaystyle { mathcal {A}}}$. Aniqlang

${ displaystyle { begin {aligned} tau ^ { leq 0} A ^ { bullet} & = ( cdots to A ^ {- 2} to A ^ {- 1} to ker d ^ {0} to 0 to 0 to cdots), tau ^ { geq 1} A ^ { bullet} & = ( cdots to 0 to 0 to A ^ {0} / ker d ^ {0} to A ^ {1} to A ^ {2} to cdots). end {aligned}}}$

Bu aniq ${ displaystyle tau ^ { geq 1} A ^ { bullet} = A ^ { bullet} / tau ^ { leq 0} A ^ { bullet}}$ va komplekslarning qisqa aniq ketma-ketligi mavjud

${ displaystyle 0 to tau ^ { leq 0} A ^ { bullet} to A ^ { bullet} to tau ^ { geq 1} A ^ { bullet} to 0.}$

Ushbu aniq ketma-ketlik kerakli uchburchakni ta'minlaydi.

Ushbu misolni aniq toifalarga (Quillen ma'nosida) umumlashtirish mumkin.^[2] Shunga o'xshash narsalar ham mavjud tchegaralangan, yuqorida chegaralangan va quyida keltirilgan toifalar uchun tuzilmalar. Agar ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ ning abeliya subkategori ${ displaystyle { mathcal {A}}}$, keyin to'liq pastki toifaga ${ displaystyle D _ { mathcal {C}} ({ mathcal {A}})}$ ning ${ displaystyle D ({ mathcal {A}})}$ kohomologiyasi joylashgan komplekslardan tashkil topgan ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ shunga o'xshash narsaga ega t- uning yuragi bo'lgan tuzilish ${ displaystyle { mathcal {C}}}$.^[3]

Buzuq sochlar

Toifasi buzuq taroqlar ta'rifi bo'yicha, deb atalmish yadrodir buzuq t-tuzilishi a ustidagi to'shak toifasining olingan toifasi bo'yicha murakkab analitik makon X yoki (l-adic pog'onalari bilan ishlash) an algebraik xilma cheklangan maydon ustida. Yuqorida aytib o'tilganidek, standart t-tuzilishning yuragi oddiy darajadagi g'unajinlarni o'z ichiga oladi, ular 0 darajaga jamlangan komplekslar deb qaraladi. Masalan, algebraik egri chiziqdagi (ehtimol singular) buzg'uncha to'shaklari toifasi X (yoki shunga o'xshash tarzda ehtimol singular sirt), xususan, shakl ob'ektlarini o'z ichiga oladigan tarzda ishlab chiqilgan

${ displaystyle i _ {*} F_ {Z}, j _ {*} F_ {U} [1]}$

qayerda ${ displaystyle i: Z to X}$ nuqta kiritish, ${ displaystyle F_ {Z}}$ oddiy shof, ${ displaystyle U}$ silliq ochiq subkema va ${ displaystyle F_ {U}}$ bu mahalliy doimiy sheaf U. Ning o'lchamiga ko'ra siljish mavjudligiga e'tibor bering Z va U navbati bilan. Ushbu siljish buzuq qoziqlar toifasini keltirib chiqaradi o'zini yaxshi tutgan singular bo'shliqlarda. Ushbu toifadagi oddiy narsalar kesishgan kohomologiya kamaytirilmaydigan lokal tizimda koeffitsientli subvariety pog'onalari.Bu t-tuzilma Beylinson, Bernshteyn va Deligne tomonidan kiritilgan.^[4] Beylinson tomonidan yurakning kelib chiqadigan toifasi ko'rsatilgan ${ displaystyle D ^ {b} (Perv (X))}$ aslida asl hosilalar toifasiga tengdir. Bu uchburchak toifaga bir nechta aniq t-tuzilmalar berilishi mumkinligi haqidagi umumiy haqiqatning misoli.^[5]

Baholangan modullar

A-dan yuqori (darajalangan) modullar toifasidagi t-strukturaning nostandart namunasi gradusli uzuk yuragi komplekslardan iborat xususiyatga ega

${ displaystyle dots to P ^ {n} to P ^ {n + 1} to dots}$

qayerda ${ displaystyle P ^ {n}}$ uning (darajalangan) darajasi bilan yaratilgan moduldir n. Geometrik t-struktura deb nomlangan ushbu t-strukturada muhim rol o'ynaydi Koszul ikkilik.^[6]

Spektrlar

Toifasi spektrlar yuqoridagi ma'noda bitta ob'ekt tomonidan yaratilgan t tuzilishi bilan ta'minlangan, ya'ni shar spektri. Kategoriya ${ displaystyle Sp ^ { leq 0}}$ biriktiruvchi spektrlarning toifasi, ya'ni manfiy bo'lganlar homotopiya guruhlari g'oyib bo'lmoq. (Gomotopiya nazariyasi bilan bog'liq sohalarda kohomologik konvensiyalardan farqli o'laroq, gomologik konvensiyalardan foydalanish odatiy holdir, shuning uchun bu holda ularni almashtirish odatiy holdir "${ displaystyle leq}$"tomonidan"${ displaystyle geq}$"Ushbu konvensiyadan foydalanib, biriktiruvchi spektrlar toifasi yozuvlari bilan belgilanadi ${ displaystyle Sp ^ { geq 0}}$.)

Motivlar

Nazariyasidagi taxminiy misol motivlar deb nomlangan motivatsion t-tuzilish. Uning (taxminiy) mavjudligi ma'lum narsalar bilan chambarchas bog'liqdir algebraik tsikllar bo'yicha standart taxminlar kabi yo'qolgan gumonlar, masalan Beylinson-Soul gumoni.^[7]

Qisqartirish funktsiyalari

Yuqoridagi tabiiy misolda t- abeliya toifasidagi tuzilma, uchinchi aksioma bilan kafolatlangan ajratilgan uchburchak kesilgan. Komplekslar toifasidagi operatsiyalar sifatida kesmalar ${ displaystyle tau _ { leq 0} A ^ { bullet}}$ va ${ displaystyle tau _ { geq 1} A ^ { bullet}}$ funktsional va natijada olingan komplekslarning qisqa aniq ketma-ketligi tabiiydir ${ displaystyle A ^ { bullet}}$. Buning yordamida olingan toifada qisqartirish funktsiyalari mavjudligini va ular tabiiy ajralib turadigan uchburchakni keltirib chiqarishini ko'rsatish mumkin.

Aslida, bu umumiy hodisaning namunasidir. A uchun aksiomalar bo'lsa-da t-tuzilma qisqartirish funktsiyalari mavjudligini taxmin qilmaydi, bunday funktsiyalar har doim tuzilishi mumkin va mohiyatan noyobdir. Aytaylik ${ displaystyle { mathcal {D}}}$ bu uchburchak toifadir va bu ${ displaystyle ({ mathcal {D}} ^ { leq 0}, { mathcal {D}} ^ { geq 0})}$ a t-tuzilma. Aniq bayonot shuki, inklyuziya funktsiyalari

${ displaystyle { begin {aligned} iota ^ { leq n} colon & { mathcal {D}} ^ { leq n} to { mathcal {D}}, iota ^ { geq n} colon & { mathcal {D}} ^ { geq n} to { mathcal {D}} end {aligned}}}$

tan olish qo'shni. Bu funktsiyalar

${ displaystyle { begin {aligned} tau ^ { leq n} colon & { mathcal {D}} to { mathcal {D}} ^ { leq n}, tau ^ { geq n} colon & { mathcal {D}} to { mathcal {D}} ^ { geq n} end {aligned}}}$

shu kabi

${ displaystyle { begin {aligned} iota ^ { leq n} dashv tau ^ { leq n}, tau ^ { geq n} dashv iota ^ { geq n}. oxiri {hizalanmış}}}$

Bundan tashqari, har qanday ob'ekt uchun ${ displaystyle A}$ ning ${ displaystyle { mathcal {D}}}$, noyob mavjud

${ displaystyle d in operator nomi {Hom} ^ {1} ( tau ^ { geq 1} A, tau ^ { leq 0} A)}$

shu kabi d va qo'shimchalarning birligi va birligi birgalikda ajratilgan uchburchakni aniqlaydi

${ displaystyle tau ^ { leq 0} A dan A to tau ^ { geq 1} A { stackrel {d} { to}} tau ^ { leq 0} A [1 ].}$

Noyob izomorfizmgacha, bu shaklning noyob ajralib turadigan uchburchagi ${ displaystyle X dan A dan Y dan Xgacha [1]}$ bilan ${ displaystyle X}$ va ${ displaystyle Y}$ ob'ektlari ${ displaystyle { mathcal {D}} ^ { leq 0}}$ va ${ displaystyle { mathcal {D}} ^ { geq 1}}$navbati bilan. Ushbu uchburchak mavjudligidan kelib chiqadigan narsa ${ displaystyle A}$ yotadi ${ displaystyle { mathcal {D}} ^ { leq n}}$ (resp. ${ displaystyle { mathcal {D}} ^ { geq n}}$) agar va faqat agar ${ displaystyle tau ^ { geq n + 1} (A) = 0}$ (resp. ${ displaystyle tau ^ { leq n-1} (A) = 0}$).

Ning mavjudligi ${ displaystyle tau ^ { leq 0}}$ siljish va qarama-qarshi toifalarni olish orqali boshqa qisqartirish funktsiyalari mavjudligini anglatadi. Agar ${ displaystyle A}$ ning ob'ekti hisoblanadi ${ displaystyle { mathcal {D}}}$, a uchun uchinchi aksioma t-tuzilma an mavjudligini tasdiqlaydi ${ displaystyle X}$ yilda ${ displaystyle { mathcal {D}} ^ { leq 0}}$ va morfizm ${ displaystyle X dan A} gacha$ ma'lum bir ajratilgan uchburchakka mos kelish. Har biriga ${ displaystyle A}$, shunday uchburchaklardan birini aniqlang va aniqlang ${ displaystyle tau ^ { leq 0} (A) = X}$. A uchun aksiomalar t-tuzilma shuni anglatadiki, har qanday ob'ekt uchun ${ displaystyle T}$ ning ${ displaystyle { mathcal {D}} ^ { leq 0}}$, bizda ... bor

${ displaystyle operatorname {Hom} (T, X) cong operatorname {Hom} (T, A),}$

morfizm tomonidan qo'zg'atiladigan izomorfizm bilan ${ displaystyle X dan A} gacha$. Ushbu eksponatlar ${ displaystyle X}$ ma'lum bir universal xaritalash muammosining echimi sifatida. Qo'shni funktsiyalar bo'yicha standart natijalar shuni anglatadiki ${ displaystyle X}$ noyob izomorfizmgacha noyobdir va uni aniqlashning o'ziga xos usuli mavjud ${ displaystyle tau ^ { leq 0}}$ uni to'g'ri qo'shimchaga aylantiradigan morfizmlar to'g'risida. Bu mavjudligini isbotlaydi ${ displaystyle tau ^ { leq 0}}$ va shuning uchun barcha qisqartirish funktsiyalari mavjud.

A uchun takroriy qisqartirish t-tuzilma komplekslar uchun takroriy qisqartirishga o'xshaydi. Agar ${ displaystyle n leq m}$, keyin tabiiy o'zgarishlar mavjud

${ displaystyle { begin {aligned} tau ^ { leq n} & to tau ^ { leq m}, tau ^ { geq n} & to tau ^ { geq m} , end {hizalangan}}}$

bu tabiiy ekvivalentlarni keltirib chiqaradi

${ displaystyle { begin {aligned} tau ^ { leq n} & { stackrel { sim} { to}} tau ^ { leq n} circ tau ^ { leq m} , tau ^ { geq m} & { stackrel { sim} { to}} tau ^ { geq m} circ tau ^ { geq n}, tau ^ { geq n} circ tau ^ { leq m} & { stackrel { sim} { to}} tau ^ { leq m} circ tau ^ { geq n}. oxiri {hizalanmış}}}$

Kogomologiya funktsiyalari

The nth kohomologiya funktsiyasi ${ displaystyle H ^ {n}}$ sifatida belgilanadi

${ displaystyle H ^ {n} = tau ^ { leq 0} circ tau ^ { geq 0} circ [n].}$

Nomidan ko'rinib turibdiki, bu uchburchak kategoriya uchun odatiy ma'noda kohomologik funktsiya. Ya'ni har qanday taniqli uchburchak uchun ${ displaystyle X to Y to Z to X [1]}$, biz a uzoq aniq ketma-ketlik

${ displaystyle cdots to H ^ {i} (X) to H ^ {i} (Y) to H ^ {i} (Z) to H ^ {i + 1} (X) to cdots.}$

Algebraik topologiyadagi dasturlarda kohomologiya funktsiyalari belgilanishi mumkin ${ displaystyle pi _ {n}}$ o'rniga ${ displaystyle H ^ {n}}$. Kogomologiya funktsiyalari yurakdagi qadriyatlarni qabul qiladi ${ displaystyle { mathcal {D}} ^ { heartsuit}}$. Yuqoridagi takrorlangan qisqartirish identifikatsiyalaridan biriga ko'ra, tabiiy ekvivalentgacha uni aniqlashga tengdir

${ displaystyle H ^ {n} = tau ^ { geq 0} circ tau ^ { leq 0} circ [n].}$

Tabiiy uchun t- olingan kategoriya bo'yicha tuzilish ${ displaystyle D ({ mathcal {A}})}$, kohomologiya funktsiyasi ${ displaystyle H ^ {n}}$ kvazi-izomorfizmgacha, odatiy hisoblanadi nkompleksning kohomologik guruhi. Biroq, komplekslar funktsiyalari sifatida qaraladi, bu shunday emas to'g'ri. Masalan, ${ displaystyle H ^ {0}}$ tabiiy ravishda aniqlanganidek t-tuzilma. Ta'rifga ko'ra, bu shunday

${ displaystyle { begin {aligned} H ^ {0} (A ^ { bullet}) & = tau ^ { leq 0} ( tau ^ { geq 0} (A ^ { bullet})) & = tau ^ { leq 0} ( cdots to 0 to A ^ {- 1} / ker d ^ {- 1} to A ^ {0} to A ^ {1} cdots) & = ( cdots to 0 to A ^ {- 1} / ker d ^ {- 1} to ker d ^ {0} to 0 to cdots). oxiri {hizalanmış}}}$

Ushbu kompleks daraja bo'yicha nolga teng emas ${ displaystyle -1}$ va ${ displaystyle 0}$, shuning uchun bu kompleksning nol kohomologiya guruhi bilan bir xil emasligi aniq ${ displaystyle A ^ { bullet}}$. Biroq, ahamiyatsiz bo'lmagan differentsial in'ektsiya hisoblanadi, shuning uchun yagona ahamiyatsiz kohomologiya darajasi ${ displaystyle 0}$, qaerda ${ displaystyle ker d ^ {0} / operatorname {im} d ^ {- 1}}$, majmuaning nol kohomologiya guruhi ${ displaystyle A ^ { bullet}}$. Shundan kelib chiqadiki, ning ikkita mumkin bo'lgan ta'riflari ${ displaystyle H ^ {0} (A ^ { bullet})}$ kvazi-izomorfikdir.

A t-tuzilma buzilib ketmaydigan agar barchaning chorrahasi bo'lsa ${ displaystyle { mathcal {D}} ^ { leq n}}$, shuningdek, barchaning kesishishi ${ displaystyle { mathcal {D}} ^ { geq n}}$, faqat nol narsalardan iborat. Degeneratsiya uchun t-tuzilma, funktsiyalar to'plami ${ displaystyle {H ^ {n} } _ {n in mathbf {Z}}}$ konservativ hisoblanadi. Bundan tashqari, bu holda, ${ displaystyle { mathcal {D}} ^ { leq n}}$ (resp. ${ displaystyle { mathcal {D}} ^ { geq n}}$) ushbu ob'ektlarning to'liq subkategori bilan aniqlanishi mumkin ${ displaystyle A}$ buning uchun ${ displaystyle H ^ {i} (A) = 0}$ uchun ${ displaystyle i> n}$ (resp. ${ displaystyle i$).

Aniq funktsiyalar

Uchun ${ displaystyle i = 1,2}$, ruxsat bering ${ displaystyle { mathcal {D}} _ {i}}$ sobit bo'lgan uchburchak toifasi bo'ling t-tuzilma ${ displaystyle ({ mathcal {D}} _ {i} ^ { leq 0}, { mathcal {D}} _ {i} ^ { geq 0})}$ Aytaylik ${ displaystyle F colon { mathcal {D}} _ {1} to { mathcal {D}} _ {2}}$ aniq funktsiyadir (odatdagi ma'noda uchburchak kategoriyalar uchun, ya'ni tabiiy ekvivalentga qadar u tarjima bilan o'tadi va ajratilgan uchburchaklarni saqlaydi). Keyin ${ displaystyle F}$ bu:

• Chapda t- aniq agar ${ displaystyle F ({ mathcal {D}} _ {1} ^ { geq 0}) subseteq { mathcal {D}} _ {2} ^ { geq 0}}$,
• To'g'ri t- aniq agar ${ displaystyle F ({ mathcal {D}} _ {1} ^ { leq 0}) subseteq { mathcal {D}} _ {2} ^ { leq 0}}$va
• t- aniq agar u ikkala chap va o'ng bo'lsa t- aniq.

Agar buni ko'rish oddiy bo'lsa ${ displaystyle F}$ to'liq sodiq va t- aniq, keyin ob'ekt ${ displaystyle A}$ ning ${ displaystyle { mathcal {D}} _ {1}}$ ichida ${ displaystyle { mathcal {D}} _ {1} ^ { leq 0}}$ (resp. ${ displaystyle { mathcal {D}} _ {1} ^ { geq 0}}$) agar va faqat agar ${ displaystyle FA}$ ichida ${ displaystyle { mathcal {D}} _ {2} ^ { leq 0}}$ (resp. ${ displaystyle { mathcal {D}} _ {2} ^ { geq 0}}$). Agar shunday bo'lsa, buni ko'rish oddiy ${ displaystyle G colon { mathcal {D}} _ {2} to { mathcal {D}} _ {3}}$ yana bir chap (o'ng tomonning o'ng tomoni) t- aniq funktsiya, so'ngra kompozitsiya ${ displaystyle G circ F}$ chapda ham (o'ng tomon o'ng tomoni) t- aniq.

Bir tomonlama o'rganish motivatsiyasi t- aniqlik xususiyati shundaki, ular yuraklarda bir tomonlama aniqlik xususiyatlariga olib keladi. Ruxsat bering ${ Displaystyle iota _ {i} ^ { heartsuit}} yo'g'on ichak { mathcal {D}} _ {i} ^ { heartsuit} to { mathcal {D}} _ {i}}$ qo'shilish bo'lishi. Keyin kompozitsion funktsiya mavjud

${ displaystyle {} ^ {p} F = H ^ {0} circ F circ iota _ {1} ^ { heartsuit} colon { mathcal {D}} _ {1} ^ { heartsuit} to { mathcal {D}} _ {2} ^ { heartsuit}.}$

Agar shunday bo'lsa, buni ko'rsatish mumkin ${ displaystyle F}$ chapda (o'ng tomon o'ng) aniq, keyin ${ displaystyle {} ^ {p} F}$ shuningdek chap (o'ng tomon o'ng) aniq, va agar shunday bo'lsa ${ displaystyle G}$ chapga ham (o'ng. o'ng) aniq, keyin ${ displaystyle {} ^ {p} (G circ F) = ({} ^ {p} G) circ F}$.

Agar ${ displaystyle F}$ chapda (o'ng tomon o'ng tomonda) t- aniq, va agar ${ displaystyle A}$ ichida ${ displaystyle { mathcal {D}} ^ { leq 0}}$ (resp. ${ displaystyle { mathcal {D}} ^ { geq 0}}$), keyin tabiiy izomorfizm mavjud ${ displaystyle {} ^ {p} F (H ^ {0} A) { stackrel { sim} { to}} H ^ {0} F (A)}$ (resp. ${ displaystyle H ^ {0} F (A) { stackrel { sim} { to}} {} ^ {p} F (H ^ {0} A)}$).

Agar ${ displaystyle (T ^ {*}, T _ {*}) ikki nuqta { mathcal {D}} _ {1} leftrightarrows { mathcal {D}} _ {2}}$ bilan aniq funktsiyalar mavjud ${ displaystyle T ^ {*}}$ qo'shni chap ${ displaystyle T _ {*}}$, keyin ${ displaystyle T ^ {*}}$ to'g'ri t- agar shunday bo'lsa va aniq bo'lsa ${ displaystyle T _ {*}}$ chapda t- aniq va bu holda, ${ displaystyle ({} ^ {p} T ^ {*}, {} ^ {p} T _ {*})}$ qo'shma funktsiyalar juftligi ${ displaystyle { mathcal {D}} _ {1} ^ { heartsuit} leftrightarrows { mathcal {D}} _ {2} ^ { heartsuit}}$.

Ning inshootlari t- tuzilmalar

Ruxsat bering ${ displaystyle ({ mathcal {D}} ^ { leq 0}, { mathcal {D}} ^ { geq 0})}$ bo'lishi a t- tuzilma ${ displaystyle { mathcal {D}}}$. Agar n butun son, keyin the tarjima tomonidan n t-tuzilma ${ displaystyle ({ mathcal {D}} ^ { leq n}, { mathcal {D}} ^ { geq n})}$. The ikkilamchi t-tuzilma bo'ladi t- tuzilishi qarshi turkum ${ displaystyle { mathcal {D}} ^ { text {op}}}$ tomonidan belgilanadi ${ displaystyle (({ mathcal {D}} ^ { leq 0}) ^ { text {op}}, ({ mathcal {D}} ^ { geq 0}) ^ { text {op} })}$.

Ruxsat bering ${ displaystyle { mathcal {D}} '}$ uchburchak toifasining uchburchak osti toifasi bo'ling ${ displaystyle { mathcal {D}}}$. Agar ${ displaystyle ({ mathcal {D}} ^ { leq 0}, { mathcal {D}} ^ { geq 0})}$ a t- tuzilma ${ displaystyle { mathcal {D}}}$, keyin

${ displaystyle (({ mathcal {D}} ') ^ { leq 0}, ({ mathcal {D}}') ^ { geq 0}) = ({ mathcal {D}} ' cap { mathcal {D}} ^ { leq 0}, { mathcal {D}} ' cap { mathcal {D}} ^ { geq 0})}$

a t- tuzilma ${ displaystyle { mathcal {D}} '}$ agar va faqat agar ${ displaystyle { mathcal {D}} '}$ qisqartirish funktsiyasi ostida barqaror ${ displaystyle tau ^ { leq 0}}$. Ushbu shart bajarilganda t-tuzilma ${ displaystyle (({ mathcal {D}} ') ^ { leq 0}, ({ mathcal {D}}') ^ { geq 0})}$ deyiladi induktsiya qilingan t-tuzilma. Induktsiya uchun qisqartirish va kohomologiya funktsiyalari t-structure - bu cheklov ${ displaystyle { mathcal {D}} '}$ ulanganlarning ${ displaystyle { mathcal {D}}}$. Natijada, shu jumladan ${ displaystyle { mathcal {D}} '}$ yilda ${ displaystyle { mathcal {D}}}$ bu t- aniq va ${ displaystyle ({ mathcal {D}} ') ^ { heartsuit} = { mathcal {D}} ^ { heartsuit}} cap { mathcal {D}}'}$.

Buzuq shinalar toifasini qurish uchun a ni aniqlay olish muhimdir t-bu makonda lokal ravishda ishlash orqali bo'shliq ustidagi to'shaklar toifasiga tuzilish. Buning imkoni bo'lishi uchun zarur bo'lgan aniq sharoitlarni quyidagi sozlamalarga qisqartirish mumkin. Uchta uchburchak toifasi va ikkita morfizm mavjud deylik

${ displaystyle { mathcal {D}} _ {F} { stackrel {i _ {*}} { to}} { mathcal {D}} { stackrel {j ^ {*}} { to}} { mathcal {D}} _ {U}}$

quyidagi xususiyatlarni qondirish.

• Birlashtirilgan funktsiyalarning uch marta ketma-ketligi mavjud ${ displaystyle (j _ {!}, j ^ {*}, j _ {*})}$ va ${ displaystyle (i ^ {*}, i _ {*}, i ^ {!})}$.
• Funktsiyalar ${ displaystyle i _ {*}}$, ${ displaystyle j_ {!}}$va ${ displaystyle j ^ {*}}$ to'la va sodiq va ular qondirishadi ${ displaystyle j ^ {*} i _ {*} = 0}$.
• Har bir kishi uchun noyob differentsiallar mavjud K yilda ${ displaystyle { mathcal {D}}}$, aniq uchburchaklar

${ displaystyle { begin {aligned} j _ {!} j ^ {*} K & to K to i _ {*} i ^ {*} K to j _ {!} j ^ {*} K [1], i _ {*} i ^ {!} K & to K to j _ {*} j ^ {*} K to i _ {*} i ^ {!} K [1]. end {hizalangan}}}$

Bunday holda, berilgan t- tuzilmalar ${ displaystyle ({ mathcal {D}} _ {U} ^ { leq 0}, { mathcal {D}} _ {U} ^ { geq 0})}$ va ${ displaystyle ({ mathcal {D}} _ {F} ^ { leq 0}, { mathcal {D}} _ {F} ^ { geq 0})}$ kuni ${ displaystyle { mathcal {D}} _ {U}}$ va ${ displaystyle { mathcal {D}} _ {F}}$navbati bilan t- tuzilma ${ displaystyle { mathcal {D}}}$ tomonidan belgilanadi

${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {D}} ^ { leq 0} & = {K in { mathcal {D}} colon j ^ {*} K in { mathcal { D}} _ {U} ^ { leq 0}, i ^ {*} K in { mathcal {D}} _ {F} ^ { leq 0} }, { mathcal {D }} ^ { geq 0} & = {K in { mathcal {D}} n ikki nuqta j ^ {*} K in { mathcal {D}} _ {U} ^ { geq 0}, i ^ {*} K in { mathcal {D}} _ {F} ^ { geq 0} }. end {aligned}}}$

Bu t-tuzilma deyiladi yopishtirish ning t- tuzilmalar U va F. Amalga oshiriladigan holatlar qachon ${ displaystyle { mathcal {D}}}$, ${ displaystyle { mathcal {D}} _ {U}}$va ${ displaystyle { mathcal {D}} _ {F}}$ bo'shliqdagi hosil bo'lgan to'shak toifalari ostida chegaralangan X, ochiq ichki qism Uva yopiq komplement F ning U. Funktsiyalar ${ displaystyle j ^ {*}}$ va ${ displaystyle i _ {*}}$ odatdagi orqaga tortish va oldinga siljish funktsiyalari. Bu, ayniqsa, ko'rib chiqilayotgan o'ralgan halqalar ustidagi modullar qoldirilganda ishlaydi ${ displaystyle { mathcal {O}}}$ kuni X va taroqlar b-adik taroqlar bo'lganda.

Ko'pgina t-tuzilmalar quyidagi fakt yordamida paydo bo'ladi: o'zboshimchalik bilan uchburchak toifasida to'g'ridan-to'g'ri summalar va to'plam ${ displaystyle S_ {0}}$ ning ixcham narsalar yilda ${ displaystyle { mathcal {D}}}$, pastki toifalar

${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {D}} ^ { geq 1} & = {X in { mathcal {D}} colon / operatorname {Hom} (S_ {0} [-) n], X) = 0, n geq 0 }, { mathcal {D}} ^ { leq 0} & = {Y in { mathcal {D}} colon operatorname {Hom } (Y, { mathcal {D}} ^ { geq 1}) = 0 }, end {hizalangan}}}$

t-struktura sifatida ko'rsatilishi mumkin.^[8] Natijada t-tuzilma deyiladi tomonidan yaratilgan ${ displaystyle S_ {0}}$.

Abeliya subkategori berilgan ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ uchburchak toifadagi ${ displaystyle { mathcal {D}}}$, ning pastki toifasini qurish mumkin ${ displaystyle { mathcal {D}}}$ va a t- yuragi bo'lgan ushbu pastki toifadagi tuzilma ${ displaystyle { mathcal {C}}}$.^[9]

Barqaror ∞ toifalarida

Ning boshlang'ich nazariyasi t- tuzilmalar oz o'zgarishi bilan the-toifalar holatiga o'tadi. Ruxsat bering ${ displaystyle { mathcal {D}}}$ barqaror ∞ toifali bo'ling. A t-tuzilma kuni ${ displaystyle { mathcal {D}}}$ a deb belgilangan t- uning homotopiya toifasi bo'yicha tuzilish ${ displaystyle mathrm {h} { mathcal {D}}}$ (bu uchburchak toifasi). A t∞-toifadagi tuzilmani xuddi uchburchakli toifadagi kabi, gomologik yoki kohomologik belgilar bilan belgilash mumkin.

Aytaylik ${ displaystyle { mathcal {D}}}$ homotopiya toifasiga ega bo'lgan ∞-toifadir ${ displaystyle mathrm {h} { mathcal {D}}}$ va bu ${ displaystyle ( mathrm {h} { mathcal {D}} _ { geq 0}, mathrm {h} { mathcal {D}} _ { leq 0})}$ a t- tuzilma ${ displaystyle mathrm {h} { mathcal {D}}}$. Keyin, har bir butun son uchun n, biz aniqlaymiz ${ displaystyle { mathcal {D}} _ { geq n}}$ va ${ displaystyle { mathcal {D}} _ { leq n}}$ ning to'liq pastki toifalari bo'lish ${ displaystyle { mathcal {D}}}$ ob'ektlar tomonidan yoyilgan ${ displaystyle mathrm {h} { mathcal {D}} _ { geq n}}$ va ${ displaystyle mathrm {h} { mathcal {D}} _ { leq n}}$navbati bilan. Aniqlang

${ displaystyle { begin {aligned} iota _ { geq n} & colon { mathcal {D}} _ { geq n} to { mathcal {D}}, iota _ { leq n} & colon { mathcal {D}} _ { leq n} to { mathcal {D}} end {aligned}}}$

inklyuziya funktsiyalari bo'lish. Xuddi uchburchakli toifada bo'lgani kabi, ular o'ng va chap qo'shimchalarini mos ravishda tanlaydilar qisqartirish funktsiyalari

${ displaystyle { begin {aligned} tau _ { geq n} & colon { mathcal {D}} to { mathcal {D}} _ { geq n}, tau _ { leq n} & colon { mathcal {D}} to { mathcal {D}} _ { leq n} end {aligned}}}$

Ushbu funktsiyalar uchburchakli toifadagi holatdagi kabi takrorlanadigan qisqartirish identifikatorlarini qondiradi.

The yurak a t- tuzilma ${ displaystyle { mathcal {D}}}$ ∞-subkategori deb belgilangan ${ displaystyle { mathcal {D}} ^ { heartsuit} = { mathcal {D}} _ { geq 0} cap { mathcal {D}} _ { leq 0}}$. Kategoriya ${ displaystyle { mathcal {D}} ^ { heartsuit}}$ uning homotopiya toifasidagi asabga tengdir ${ displaystyle mathrm {h} { mathcal {D}} ^ { heartsuit}}$. Kogomologiya funktsiyasi ${ displaystyle pi _ {n}}$ deb belgilangan ${ displaystyle tau _ { geq 0} circ tau _ { leq 0} circ [-n]}$yoki unga teng ravishda ${ displaystyle tau _ { leq 0} circ tau _ { geq 0} circ [-n]}$.

Ning mavjudligi ${ displaystyle tau _ { leq n}}$ shuni anglatadiki ${ displaystyle iota _ { leq n}}$ ta'rifi bo'yicha lokalizatsiya funktsiyasidir. Aslida, ular orasida biektsiya mavjud t- tuzilmalar ${ displaystyle { mathcal {D}}}$ va ma'lum turdagi lokalizatsiya funktsiyalari deyiladi t-lokalizatsiya. Bu mahalliylashtirish funktsiyalari L uning asosiy tasviri kengaytma ostida yopiladi, agar shunday bo'lsa ${ displaystyle X to Y to Z}$ bilan tola ketma-ketligi X va Z ning muhim qiyofasida L, keyin Y ning muhim qiyofasida ham mavjud L. Bunday lokalizatsiya funktsiyasini hisobga olgan holda L, mos keladigan t-tuzilma tomonidan belgilanadi

${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {D}} _ { geq 0} & = {A colon colon simeq 0 }, { mathcal {D}} _ { leq - 1} & = {A ikki nuqta LA simeq A }. End {hizalangan}}}$

t-lokalizatsiya funktsiyalari morfizm jihatidan ham tavsiflanishi mumkin f buning uchun Lf ekvivalentlikdir. Morfizmlar to'plami S ∞ toifasida ${ displaystyle { mathcal {D}}}$ bu kvazitsuratlangan agar u barcha ekvivalentlarni o'z ichiga olsa, agar 2-simpleks bo'lsa ${ displaystyle { mathcal {D}}}$ degeneratsiyalanmaydigan qirralarning ikkitasi bilan S ning uchinchi degenerativ bo'lmagan qirrasi bor Sva agar u surish ostida barqaror bo'lsa. Agar ${ displaystyle L colon { mathcal {D}} to { mathcal {D}}}$ mahalliylashtirish funktsiyasi, keyin to'plam S barcha morfizmlardan f buning uchun Lf ekvivalentligi kvazitsuratlangan. Keyin L a t-lokalizatsiya funktsiyasi, agar shunday bo'lsa va faqat S barcha morfizmlarni o'z ichiga olgan eng kichkina kvazitsuratlangan morfizmlar to'plamidir ${ displaystyle {0 to X colon LX simeq 0 }}$.^[10]

Abeliya toifasining kelib chiqadigan toifasi turli xil cheklov sharoitlariga mos keladigan bir nechta kichik toifalarga ega. A t- barqaror ∞-toifadagi tuzilma shu kabi kichik toifalarni yaratish uchun ishlatilishi mumkin. Xususan,

${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {D}} _ {+} & = bigcup _ {n in mathbf {Z}} { mathcal {C}} _ ​​{ leq n}, { mathcal {D}} _ {-} & = bigcup _ {n in mathbf {Z}} { mathcal {C}} _ ​​{ geq n}, { mathcal {D}} _ {b} & = { mathcal {D}} _ {+} cap { mathcal {D}} _ {-}. end {aligned}}}$

Ular barqaror subkategoriyalar ${ displaystyle { mathcal {D}}}$. Biri shunday deydi ${ displaystyle { mathcal {D}}}$ bu cheklangan (berilganga nisbatan) t-tuzilma) agar ${ displaystyle { mathcal {D}} = { mathcal {D}} _ {+}}$, o'ng cheklangan agar ${ displaystyle { mathcal {D}} = { mathcal {D}} _ {-}}$va chegaralangan agar ${ displaystyle { mathcal {D}} = { mathcal {D}} _ {b}}$.

Shuningdek, a ga nisbatan chap yoki o'ng tugallanishni shakllantirish mumkin t-tuzilma. Bu rasmiy ravishda qo'shni yo'naltirilgan chegaralar yoki yo'naltirilgan kolimitlarga o'xshaydi. The chap tugatish ${ displaystyle { hat { mathcal {D}}}}$ ning ${ displaystyle { mathcal {D}}}$ diagrammaning homotopiya chegarasi

${ displaystyle cdots to { mathcal {D}} _ { leq 2} { stackrel { tau _ { leq 1}} { to}} { mathcal {D}} _ { leq 1} { stackrel { tau _ { leq 0}} { to}} { mathcal {D}} _ { leq 0} { stackrel { tau _ { leq -1} } { to}} cdots.}$

To'g'ri bajarish ikki tomonlama aniqlanadi. Chap va o'ng tugallanishlar o'zlarini barqaror ∞-toifalardir, ular kanonikani meros qilib oladi t-tuzilma. Dan kanonik xarita mavjud ${ displaystyle { mathcal {D}}}$ uning har ikkalasiga ham, va bu xarita t- aniq. Biz buni aytamiz ${ displaystyle { mathcal {D}}}$ bu to'liq tugadi yoki to'g'ri to'liq agar kanonik xarita navbati bilan chapga yoki o'ngga to'ldirilsa, ekvivalentdir.

Tegishli tushunchalar

Agar talab bo'lsa ${ displaystyle D ^ { leq 0} subset D ^ { leq 1}}$, ${ displaystyle D ^ { geq 1} subset D ^ { geq 0};}$ o'rniga teskari qo'shilish bilan almashtiriladi

${ displaystyle D ^ { leq 0} supset D ^ { leq 1}}$, ${ displaystyle D ^ { geq 1} supset D ^ { geq 0},}$

va boshqa ikkita aksioma bir xil darajada saqlanib qoldi, natijada hosil bo'lgan tushuncha a deb ataladi birgalikda tuzilish yoki vazn tuzilishi.^[11]

Adabiyotlar