Tannaka - Kerin ikkiligi - Tannaka–Krein duality

Yilda matematika, Tannaka - Kerin ikkiligi nazariya a ning o'zaro ta'siriga tegishli ixcham topologik guruh va uning toifasi ning chiziqli tasvirlar. Bu tabiiy kengaytma Pontryagin ikkilik, ixcham va diskret o'rtasida kommutativ topologik guruhlar, ixcham lekin nojo'ya. Nazariya ikki kishi, Sovet matematikasi uchun nomlangan Mark Grigorievich Kerin va yaponlar Tadao Tannaka. Tomonidan ko'rib chiqilgan komutativ guruhlar holatidan farqli o'laroq Lev Pontryagin, ikkilamchi bo'lmagan tushunchasi ixcham guruh guruh emas, lekin a vakolatxonalar toifasi Π (G) ning cheklangan o'lchovli tasvirlari bilan hosil qilingan ba'zi bir qo'shimcha tuzilishga ega G.

Tannaka va Kerinning ikkilik teoremalari the toifasidan teskari o'tishni tavsiflaydi (G) guruhga qaytish G, guruhni vakolatxonalar toifasidan tiklashga imkon beradi. Bundan tashqari, ular amalda ushbu uslubdagi guruhdan kelib chiqishi mumkin bo'lgan barcha toifalarni to'liq tavsiflaydi. Aleksandr Grothendieck keyinchalik shunga o'xshash jarayon orqali Tannaka ikkilikni amalda ham kengaytirish mumkinligini ko'rsatdi algebraik guruhlar: qarang Tannakian toifasi. Ayni paytda Tannaka va Kerinning asl nazariyasi ishlab chiqilib, takomillashtirildi matematik fiziklar. Tannaka-Kerin nazariyasining umumlashtirilishi, tasvirlarni o'rganish uchun tabiiy asos yaratadi kvant guruhlari, va hozirda kvantgacha kengaytirilmoqda super guruhlar, kvant guruhoidlari va ularning ikkiliklari Hopf algeroidlari.

Tannaka-Kerin ikkilik g'oyasi: guruhning vakolatxonalari toifasi

Pontryagin uchun ikkilik nazariyasida mahalliy ixcham kommutativ guruhlar, guruhga qo'shaloq ob'ekt G bu uning belgilar guruhi ${ displaystyle { hat {G}},}$ uning bir o'lchovli qismidan iborat unitar vakolatxonalar. Agar biz guruhga ruxsat bersak G nokommutativ bo'lish uchun belgi guruhining eng to'g'ridan-to'g'ri analogidir o'rnatilgan ning ekvivalentlik darslari ning qisqartirilmaydi unitar vakolatxonalar ning G. Belgilar mahsulotining analogi bu tasvirlarning tensor mahsuloti. Biroq, ning qisqartirilmaydigan vakolatxonalari G umuman olganda guruhni yoki hatto monoidni shakllantira olmaydi, chunki kamaytirilmaydigan vakolatxonalarning tenzor mahsuloti kamaytirilishi shart emas. Ma'lum bo'lishicha, to'plamni ko'rib chiqish kerak Π (G) barcha cheklangan o'lchovli tasvirlarni va uni a sifatida ko'rib chiqing monoidal kategoriya, bu erda mahsulot odatdagi tenzor mahsulotidir va ikkilangan ob'ekt kontragredentlik vakili.

A vakillik toifadagi Π (G) monoidaldir tabiiy o'zgarish shaxsdan funktsiya ${ displaystyle id _ { Pi (G)} !}$ o'ziga. Boshqacha qilib aytganda, bu nolga teng bo'lmagan funktsiya bo'lib, u har qanday bilan bog'lanadi ${ displaystyle T Ob , Pi (G)}$ makonining endomorfizmi T va tensor mahsulotlari bilan moslik shartlarini qondiradi, ${ displaystyle phi (T otimes U) = phi (T) otimes phi (U)}$ va o'zboshimchalik bilan aralashgan operatorlar f: T → U, ya'ni, ${ displaystyle f circ phi (T) = phi (U) circ f}$ . To'plam Γ (Π (G) toifadagi barcha vakolatxonalari (G) ko'paytirish bilan ta'minlanishi mumkin φψ (T) = φ (T) ψ (T) va topologiya, unda konvergentsiya aniqlanadi yo'naltirilgan, ya'ni ketma-ketlik ${ displaystyle { phi _ {a} }}$ ba'zilariga yaqinlashadi ${ displaystyle phi}$ agar va faqat agar ${ displaystyle { phi _ {a} (T) }}$ ga yaqinlashadi ${ displaystyle phi (T)}$ Barcha uchun ${ displaystyle T Ob , Pi (G)}$ . Γ (Π (G)) shunday qilib ixcham (topologik) guruhga aylanadi.

Tannaka va Kerin teoremalari

Tannaka teoremasi rekonstruksiya qilish uchun bir usul beradi ixcham guruh G uning vakolatxonalari toifasidan Π (G).

Ruxsat bering G ixcham guruh bo'ling va ruxsat bering F: Π (G) → Vect_C bo'lishi unutuvchan funktsiya cheklangan o'lchovli murakkab ning vakolatxonalari G murakkabga cheklangan o'lchovli vektor bo'shliqlari. Ulardan biri topologiyani qo'yadi tabiiy o'zgarishlar τ: F → F deb belgilash orqali eng qo'pol har bir proektsiyaning oxiri (F) → Oxir (V) tomonidan berilgan ${ displaystyle tau mapsto tau _ {V}}$ (tabiiy o'zgarishlarni qabul qilish ${ displaystyle tau}$ uning tarkibiy qismiga ${ displaystyle tau _ {V}}$ da ${ displaystyle V in Pi (G)}$ ) a doimiy funktsiya. Biz tabiiy o'zgarish deb aytamiz tenzor saqlovchi agar u ahamiyatsiz ko'rinishda identifikatsiya xaritasi bo'lsa Gva agar u tensor mahsulotlarini shu ma'noda saqlasa ${ displaystyle tau _ {V otimes W} = tau _ {V} otimes tau _ {W}}$ . Biz buni ham aytamiz τ bu o'z-o'zini birlashtiruvchi agar ${ displaystyle { overline { tau}} = tau}$ bu erda bar murakkab konjugatsiyani bildiradi. Keyin to'plam ${ displaystyle { mathcal {T}} (G)}$ ning tenzorni saqlaydigan, o'z-o'zidan konjuge bo'lgan tabiiy o'zgarishlarini F Endning yopiq kichik to'plami (F), bu aslida har doim (ixcham) guruh G (ixcham) guruh. Har qanday element x ning G -ni ko'paytirish orqali tenzorni saqlaydigan o'z-o'zidan konjuge tabiiy o'zgarishni keltirib chiqaradi x har bir vakolatxonada va shuning uchun bitta xarita mavjud ${ displaystyle G - { mathcal {T}} (G)}$ . Keyin Tannaka teoremasida ushbu xarita izomorfizm deb aytilgan.

Kreyn teoremasi quyidagi savolga javob beradi: qaysi toifalar ixcham guruhga qo'shaloq ob'ekt sifatida paydo bo'lishi mumkin?

$ T $ tensorli mahsulot va involyutsiya operatsiyalari bilan ta'minlangan cheklangan o'lchovli vektor bo'shliqlarining toifasi bo'lsin. $ Delta $ ning ixcham guruh uchun ikkilamchi ob'ekt bo'lishi uchun quyidagi shartlar zarur va etarli G.

1. Ob'ekt mavjud

{ displaystyle I}

mulk bilan

{ displaystyle I otimes A taxminan A}

barcha ob'ektlar uchun A $ Delta $ (bu izomorfizmgacha noyob bo'lishi shart).

2. Har qanday ob'ekt A ning Π minimal ob'ektlar yig'indisiga ajralishi mumkin.

3. Agar A va B ikkita minimal ob'ekt, keyin Hom homomorfizmlari maydoni_Π(A, B) yoki bir o'lchovli (ular izomorf bo'lganda) yoki nolga teng.

Agar ushbu shartlarning barchasi bajarilsa, u holda kategoriya Π = Π (G), qaerda G $ Delta $ ning tasvirlar guruhi.

Umumlashtirish

Tannaka-Kerin ikkilik nazariyasiga bo'lgan qiziqish 1980-yillarda kashf etilishi bilan qayta tiklandi kvant guruhlari ishida Drinfeld va Jimbo. Kvant guruhini o'rganishning asosiy yondashuvlaridan biri uning cheklangan o'lchovli tasvirlari orqali davom etadi va ular o'xshash toifani tashkil etadi. nosimmetrik monoidal toifalar Π (G), lekin ko'proq umumiy turi, naqshli monoidal kategoriya. Ma'lum bo'lishicha, Tannaka-Kerin tipidagi yaxshi ikkilik nazariyasi ham bu holatda mavjud va kvant guruhlari nazariyasida ham kvant guruhlarini, ham ularning vakilliklarini o'rganish mumkin bo'lgan tabiiy muhitni ta'minlash orqali muhim rol o'ynaydi. Ko'p o'tmay, naqshli monoidal toifalarning turli xil namunalari topildi ratsional konformal maydon nazariyasi. Tannaka-Kerin falsafasi shuni ko'rsatadiki, konformal maydon nazariyasidan kelib chiqadigan to'qilgan monoidal toifalarni kvant guruhlaridan ham olish mumkin va bir qator maqolalarida Kajdan va Lushtsig bu haqiqatan ham shunday ekanligini isbotladilar. Boshqa tomondan, ba'zi kvant guruhlaridan kelib chiqadigan to'qilgan monoidal toifalar Reshetixin va To'raev tomonidan tugunlarning yangi invariantlarini qurishda qo'llanilgan.

Doplicher - Roberts teoremasi

The Doplicher - Roberts teoremasi (sababli Serxio Doplicher va Jon E. Roberts ) Repni xarakterlaydi (G) xususida toifalar nazariyasi, turi sifatida kichik toifa toifasidagi Xilbert bo'shliqlari.^[1] Xilbert bo'shliqlarida ixcham guruh unitar vakolatxonalarining bunday kichik toifalari:

qat'iy nosimmetrik monoidal C * - toifasi konjugatlar bilan
ega bo'lgan pastki toifaga ega subobyektlar va to'g'ridan-to'g'ri summalar, shunday qilib, ning endomorfizmlarining C * -algebrasi monoidal birlik tarkibida faqat skalar mavjud.

Shuningdek qarang

Gelfand - Neymar teoremasi

Izohlar

^ Doplicher, S .; Roberts, J. (1989). "Yilni guruhlar uchun yangi ikkilik nazariyasi". Mathematicae ixtirolari. 98 (1): 157–218. Bibcode:1989InMat..98..157D. doi:10.1007 / BF01388849.

Tashqi havolalar

Miko Durdevichning kvant asosiy to'plamlari va Tannaka-Kerin ikkiliklari (buzilgan havola: qarang ushbu sahifa ustida ArXiv o'rniga, yoki [https://archive.org/details/arxiv-q-alg9507018 ushbu sahifa Orqaga qaytish mashinasi )
Alfons Van Daele tomonidan o'zgarmas integralli kvant guruhlari (Tannaka-Kerin ishtirok etadi)
Andre Joyal va Ross ko'chasi, Tannaka ikkilik va kvant guruhlariga kirish, II qismda Kategoriya nazariyasi, materiallar, Komo 1990 yil, eds. A. Carboni, M. C. Pedicchio va G. Rosolini, Matematikadan ma'ruza yozuvlari 1488, Springer, Berlin, 1991, 411–492.

[1] Doplicher, S .; Roberts, J. (1989). "Yilni guruhlar uchun yangi ikkilik nazariyasi". Mathematicae ixtirolari. 98 (1): 157–218. Bibcode:1989InMat..98..157D. doi:10.1007 / BF01388849.

[1]