Tate gumoni - Tate conjecture

Tate gumoni
	Jon Teyt
Maydon	Algebraik geometriya va sonlar nazariyasi
Gumon qilingan	Jon Teyt
Gumon qilingan	1963
Ma'lum bo'lgan holatlar	bo'linuvchilar yoqilgan abeliya navlari
Oqibatlari	Algebraik tsikllar bo'yicha standart taxminlar

Yilda sonlar nazariyasi va algebraik geometriya, Tate gumoni bu 1963 yil taxmin ning Jon Teyt bu tasvirlab beradi algebraik tsikllar a xilma-xillik ko'proq hisoblanadigan invariant nuqtai nazaridan Galois vakili kuni etale kohomologiyasi. Gipoteza algebraik tsikllar nazariyasining asosiy muammosi. Buni arifmetik analogi deb hisoblash mumkin Hodge taxmin.

Gumonning bayonoti

Ruxsat bering V bo'lishi a silliq proektiv xilma ustidan maydon k uning ustida yakuniy ravishda hosil bo'lgan asosiy maydon. Ruxsat bering k_s bo'lishi a ajratiladigan yopilish ning kva ruxsat bering G bo'lishi mutlaq Galois guruhi Gal (k_s/k) ning k. A tuzatish asosiy raqam ℓ invertatsiya qilinadigan k. Ni ko'rib chiqing b-adik kohomologiya guruhlar (koeffitsientlar b-adik tamsayılar Z_ℓ, skalar keyin kengaytirilgan b-adik raqamlar Q_ℓ) ning asosiy kengaytmasi V ga k_s; bu guruhlar vakolatxonalar ning G. Har qanday kishi uchun men ≥ 0, a kod o'lchovi -men subvariety V (aniqlanishi kerakligi tushuniladi k) kohomologiya guruhining elementini aniqlaydi

{ displaystyle H ^ {2i} (V_ {k_ {s}}, mathbf {Q} _ { ell} (i)) = W}

tomonidan belgilanadi G. Bu yerda Q_ℓ(men ) belgisini bildiradi men^th Teyt burmasi bu Galois guruhining ushbu vakili ekanligini anglatadi G bilan tenglashtiriladi men^th kuchi siklotomik belgi.

The Tate gumoni subspace deb ta'kidlaydi V^G ning V Galois guruhi tomonidan o'rnatildi G kabi kengaytirilgan Q_ℓ- vektor maydoni, kodlashuv sinflari bo'yicha -men ning pastki navlari V. An algebraik tsikl pastki navlarning cheklangan chiziqli kombinatsiyasini anglatadi; shuning uchun ekvivalent bayonot - ning har bir elementi V^G algebraik tsiklning sinfi V bilan Q_ℓ koeffitsientlar.

Ma'lum bo'lgan holatlar

Teyt gumoni bo'linuvchilar (1-o'lchovning algebraik davrlari) asosiy ochiq muammo. Masalan, ruxsat bering f : X → C silliq proektsion sirtdan cheklangan maydon bo'ylab silliq proektsion egri chiziqqa morfizm bo'ling. Deylik, umumiy tola F ning f, bu egri chiziq funktsiya maydoni k(C), yumshoq k(C). Keyin bo'linuvchilar uchun Teyt gumoni X ga teng Birch va Svinnerton-Dayer gipotezasi uchun Jacobian xilma-xilligi ning F.^[1] Aksincha, har qanday silliq murakkab proektsion xilma bo'yicha bo'linuvchilar uchun Xodj gipotezasi ma'lum ( Lefschetz (1,1) - teorema ).

Ehtimol, ma'lum bo'lgan eng muhim holat shundan iboratki, Teyt gipotezasi bo'linuvchilar uchun to'g'ri keladi abeliya navlari. Bu cheklangan dalalardagi abeliya navlari uchun Teyt teoremasi va Faltings sonli maydonlar bo'yicha abeliya navlari uchun Faltings eritmasining bir qismi Mordell gumoni. Zarhin ushbu natijalarni har qanday yakuniy hosil bo'lgan asosiy maydonga etkazdi. Abeliya navlari bo'yicha bo'linuvchilar uchun Teyt gipotezasi har qanday egri hosilaga bo'linuvchilar uchun Teyt taxminini nazarda tutadi. C₁ × ... × C_n.^[2]

Abeliya navlari bo'yicha bo'linuvchilar uchun Tate (ma'lum) gipotezasi abeliya navlari orasidagi gomomorfizmlar haqidagi kuchli bayonotga tengdir. Ya'ni, har qanday abeliya navlari uchun A va B cheklangan hosil qilingan maydon ustida k, tabiiy xarita

{ displaystyle { text {Hom}} (A, B) otimes _ { mathbf {Z}} mathbf {Q} _ { ell} to { text {Hom}} _ {G} left (H_ {1} chap (A_ {k_ {s}}, mathbf {Q} _ { ell} o'ng), H_ {1} chap (B_ {k_ {s}}, mathbf {Q} _ { ell} right) right)}

izomorfizmdir.^[3] Xususan, abeliya navi A gacha aniqlanadi izogeniya tomonidan Galois vakili tomonidan Tate moduli H₁(A_{k_s}, Z_ℓ).

Teyt gumoni ham amal qiladi K3 sirtlari 2 ga xos bo'lmagan xarakterli maydonlar ustida hosil qilingan.^[4] (Tashqi ko'rinishda gipotezaning norivial qismi bo'linuvchilar haqida.) Xarakterli nolda K3 sirtlari uchun Tate gipotezasi Andre va Tankeev tomonidan isbotlangan. 2 emas, balki cheklangan xarakterli maydonlar ustidagi K3 sirtlari uchun Teyt gipotezasi Nygaard tomonidan isbotlangan, Ogus, Charlz, Madapusi Pera va Malik.

Totaro (2017) Teyt gumonining ma'lum bo'lgan holatlarini o'rganish.

Tegishli taxminlar

Ruxsat bering X cheklangan hosil qilingan maydon bo'ylab silliq proektsion xilma bo'lishi k. The yarim semiklik gipotezasi Galois guruhining vakili ekanligini bashorat qilmoqda G = Gal (k_s/k) ning b-adik kohomologiyasi bo'yicha X yarim sodda (ya'ni to'g'ridan-to'g'ri yig'indisi qisqartirilmaydigan vakolatxonalar ). Uchun k xarakterli 0, Moonen (2017) Teyt gumoni (yuqorida aytib o'tilganidek) ning yarim soddaligini anglatadi

{ displaystyle H ^ {i} left (X times _ {k} { overline {k}}, mathbf {Q} _ { ell} (n) right).}

Uchun k buyurtmaning cheklanganligi q, Teyt Teyt gumoni va yarim semiklik gipotezasi shuni anglatishini ko'rsatdi kuchli Tate gumoni, ya'ni qutbning tartibi zeta funktsiyasi Z(X, t) da t = q^−j kod o'lchovining algebraik tsikllari guruhi darajasiga teng j modul raqamli ekvivalentlik.^[5]

Hodge gipotezasi singari, Teyt gipotezasi ham Grotendikning taxminlarini anglatadi algebraik tsikllar bo'yicha standart taxminlar. Ya'ni, bu Lefschetz standart gipotezasini nazarda tutadi (Lefshetz izomorfizmining teskarisi algebraik yozishmalar bilan aniqlanadi); diagonalning Künnet komponentlari algebraik ekanligi; va algebraik tsikllarning raqamli ekvivalenti va homologik ekvivalenti bir xil.

Izohlar

^ D. Ulmer. Global funktsional maydonlar bo'yicha arifmetik geometriya (2014), 283-337. Taklif 5.1.2 va Teorema 6.3.1.
^ J. Teyt. Motivlar (1994), 1-qism, 71-83. Teorema 5.2.
^ J. Teyt. Arifmetik algebraik geometriya (1965), 93-110. Tenglama (8).
^ K. Madapusi Pera. Mathematicae ixtirolari. Teorema 1.
^ J. Teyt. Motivlar (1994), 1-qism, 71-83. Teorema 2.9.

Adabiyotlar

André, Yves (1996), "Shiparevich va Teytning giper-Kaxler navlari uchun taxminlari to'g'risida" Matematik Annalen, 305: 205–248, doi:10.1007 / BF01444219, JANOB 1391213
Faltings, Gerd (1983), "Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern", Mathematicae ixtirolari, 73: 349–366, Bibcode:1983InMat..73..349F, doi:10.1007 / BF01388432, JANOB 0718935
Madapusi Pera, K. (2013), "G'alati xarakterdagi K3 sirtlari uchun Tate gumoni", Mathematicae ixtirolari, 201: 625–668, arXiv:1301.6326, Bibcode:2013arXiv1301.6326M, doi:10.1007 / s00222-014-0557-5
Moonen, Ben (2017), Teyt gipotezasiga oid izoh, arXiv:1709.04489v1
Teyt, Jon (1965), "Algebraik tsikllar va zeta funktsiyalarining qutblari", Shilling, O. F. G. (tahr.), Arifmetik algebraik geometriya, Nyu-York: Harper va Row, 93-110 betlar, JANOB 0225778
Teyt, Jon (1966), "Abeliya navlarining cheklangan dalalardagi endomorfizmlari", Mathematicae ixtirolari, 2: 134–144, Bibcode:1966InMat ... 2..134T, doi:10.1007 / bf01404549, JANOB 0206004
Teyt, Jon (1994), "b-adik kohomologiyadagi algebraik tsikllar haqidagi taxminlar", Motivlar, Sof matematikadan simpoziumlar to'plami, 55, Amerika matematik jamiyati, 71-83 betlar, ISBN 0-8218-1636-5, JANOB 1265523
Ulmer, Duglas (2014), "Funksiyalar maydonlari bo'yicha egri chiziqlar va yakobiyaliklar", Global funktsiya maydonlari bo'yicha arifmetik geometriya, Matematikadan ilg'or kurslar - CRM Barcelona, Birkhäuser, 283–337 betlar, doi:10.1007/978-3-0348-0853-8, ISBN 978-3-0348-0852-1
Totaro, Burt (2017), "Teyt gumoni bo'yicha so'nggi yutuqlar", Amerika Matematik Jamiyati Axborotnomasi, Yangi seriyalar, 54 (4): 575–590, doi:10.1090 / buqa / 1588

Tashqi havolalar

Jeyms Milne, Cheklangan maydonlar haqida Tate gumoni (AIM munozarasi).

[1] D. Ulmer. Global funktsional maydonlar bo'yicha arifmetik geometriya (2014), 283-337. Taklif 5.1.2 va Teorema 6.3.1.

[2] J. Teyt. Motivlar (1994), 1-qism, 71-83. Teorema 5.2.

[3] J. Teyt. Arifmetik algebraik geometriya (1965), 93-110. Tenglama (8).

[4] K. Madapusi Pera. Mathematicae ixtirolari. Teorema 1.

[5] J. Teyt. Motivlar (1994), 1-qism, 71-83. Teorema 2.9.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]